АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 92, № 8, с. 693-696
УДК 521.11+521.16
ОБОБЩЕННЫЕ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ В ЗАДАЧЕ О ДВОЙНОЙ ПЛАНЕТЕ
© 2015 г. А. А. Зленко*
Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет, Москва, Россия Поступила в редакцию 19.12.2014 г.; принята в печать 13.03.2015 г.
Рассматривается эволюционная система уравнений движения двух вязкоупругих шаров в поле притяжения тяжелой материальной точки. Найдены стационарные решения этой системы. Они представляют собой обобщение типа Ll и L2 известных коллинеарных точек либрации. В этом движении центры масс двух шаров находятся на одной прямой с тяжелой материальной точкой. Вращательное движение шаров синхронизировано в резонансе 1 : 1 друг с другом и с их поступательным движением. Доказана неустойчивость полученных стационарных решений.
DOI: 10.7868/80004629915080095
1. ВВЕДЕНИЕ
Эта работа является продолжением работы [1]. В ней мы построили небесномеханическую модель приливной эволюции системы Земля—Луна на основе задачи о двойной планете. Это означает, что размеры планет значительно меньше расстояния между ними, которое, в свою очередь, значительно меньше расстояния от их центра масс до притягивающего центра — тяжелой материальной точки. Массы шаров значительно меньше массы тяжелой материальной точки, а также масса одного из шаров значительно больше массы другого шара. Центры масс двух вязкоупругих шаров движутся по квазикруговым орбитам вокруг их барицентра, который описывает квазикруговую орбиту вокруг притягивающего центра. Оси вращения шаров перпендикулярны плоскости их орбиты. Деформированное состояние шаров описывается классической теорией упругости малых деформаций и моделью вязких сил Кельвина—Фойхта. Построенная в [1] небесномеханическая модель является малопараметрической, и тем не менее она дает качественно значимые результаты приливной эволюции системы Земля-Луна без привлечения сложных физических теорий. Эта модель согласуется с палеонтологическими данными, астрономическими наблюдениями и результатами других теорий. В ней впервые представлена возможная гипотетическая эволюция вращательного движения Земли и Луны.
Основой небесномеханической модели [1] является эволюционная система уравнений, которая численно интегрировалась на космогонических интервалах времени. В данной же работе мы будем
E-mail:aldrzlenko@gmail.com
аналитически исследовать стационарные решения эволюционной системы.
2. НАХОЖДЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
Эволюционная система уравнений движения двух вязкоупругих шаров как двойной планеты в поле притяжения тяжелой материальной точки имеет вид [2—3]
Со i = clw\&/3 [ki(ui - и3) + k2 (wi - 04)], (1)
02 = C20i6/3[ki (Ш2/ш)2 (о2 - О3) +
+ k2 (mi/m)2 (С2 - 04)],
Соз = C3kiO4 (wi - W3) + (m2/m)2 w4 (02 - 03)],
004 = c4k2O4 (wi - w4) + (mi/m)2 w4 (w2 - w4)],
где wi — угловая скорость орбитального движения центра масс двойной планеты (двух вязкоупругих тел) вокруг притягивающего центра, о2 — угловая скорость обращения планет вокруг их барицентра, о3 и о4 — угловые осевые скорости вращения первого и второго тела, соответственно (точка сверху над угловой скоростью — производная по времени).
Коэффициенты ci, c2, c3, c4 имеют следующий вид:
ci = 54/-2/3m-i, (2)
С2 = 54G-2/3mi/3m-im-i, C3 = 18A-i, C4 = 18A-i,
694
ЗЛЕНКО
где m1 — масса первого тела, m2 — масса второго тела, m = m1 + m2, G — универсальная гравитационная постоянная, f = GM, M — масса тяжелой материальной точки, Ai = 0.4miri20 (i = 1,2) — моменты инерции первого и второго шаров, ri0 — их радиусы. В нашей модели введенные массы удовлетворяют следующему неравенству:
m2 < mi < M. (3)
Параметры ki зависят от вязких и упругих свойств тел, их плотности и размеров:
ki = XiPiDi 2/Ei, (4)
где xi — коэффициент внутренней вязкости i-го тела (i = 1, 2), pi — плотность, Ei — модуль Юнга, vi — коэффициент Пуассона,
4nrJ0 (1 + Vi) (9vi + 13)
где
D
i2
105 (5щ + 7)
Система (1) имеет первый интеграл момента количества движения:
„ _1 -1/3 . „ _1 -1/3 .
3с1 + 3c2 и2 +
+ c-1W3 + c-1 U4 = K.
hu + b2u-1/3 = K (и),
b1 = Á1 + A2,
b2 = G2/3 т-1/3Ш1Ш2 + f 2/3m.
Момент количества движения можно рассматривать как функцию и. Найдем
dK 1, 4/3
du 3
(9)
Из (7) следует, что К и и имеют одинаковые знаки, так как Ъ1 и Ъ2 больше нуля (8). Рассмотрим случай, когда К > 0 (случай К < 0 рассматривается аналогично). Из (9) вытекает, что производная обращается в нуль при
и = и* = (3b1 ¡b2)-3/4
(10)
(5)
Ее стационарные решения удовлетворяют следующему соотношению:
и1 = и2 = из = и4 = и. (6)
Значения и найдем, подставив (6) в (5) и получив уравнение
(7)
При этом значении K (ш) имеет минимум
Kmin = K (ш*) = 4 (bib3/27)1/4 , (11)
так как на интервале (0, ш*) функция K (ш) убывает, а на интервале (ш*, +ж) — возрастает.
Как известно, расстояние R2 между центрами масс тел в нашей модели удовлетворяет следующему допущению:
По < R2 < Ri, (12)
где R1 — расстояние между притягивающим центром и барицентром тел. Оценим расстояние R2 между центрами масс тел, когда ш = ш* с учетом (3), (8), (10), (12):
й2* = {/Gm/uül = \JGm/ (Sb\/b2)~3^2 = = y/m[ 3 (Ai + A2)]3/2/ {т-113тхт2 + M2/3m)3/2 < yjm [3 (Ai + A2)]3/2 / (Mm3/2) = = д/1.2 (mirlo +ш2г|0)/(м1/3ш1/6) < \J2Лтг\0/ (м1/3т1/6) < у/2Л (т/М)1/3 rw < П0.
Отсюда мы видим, что это расстояние много меньше радиуса первого шара, что физически невозможно. Следовательно, при стационарных значениях ш > ш* движение тел противоречит нашей модели, так как R2 < R2*.
Более того, в реальных задачах
Rr <R2 < Ri, (13)
где Rr — предел Роша [4]. В наших обозначениях: Rr = (3pi/Р2 )1/3 rio. (14)
Отсюда и из (13) следует уточненный интервал для и:
их = у/Ст/Щ < и < у/Ст/Е3к = ш2. (15)
Исходя из (15) с учетом (7) можно указать границы изменения момента количества движения К (и) в стационарных решениях:
Ъи + Ъ2и-1/3 < К (и) < Ъ1и1 + Ъ2и-1/3. (16)
Зафиксируем некоторое конкретное значение К = К0 в интервале (16). Сделаем замену $ =
0>22 = C2uf/3
ОБОБЩЕННЫЕ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ
= ш1/3. Тогда уравнение (7) даст нам неполное уравнение четвертой степени:
V4 + ^ + г = 0, (17)
где
695
Ko
q = -
G2/3m-i/3
Ai + A2'
Г =
3m1m2
+ f2/3
Ö23 = С2^16/3
m
Ai + A2
Решая это уравнение методом Феррари [5], по лучим
3
и = ua =
где
* = H + Vlir
9Л2 , /m3
+ lifJ +
If'
Us
ki (m2/m) +
+ Ä2 (mi/m)2 (^1 - C4U-4/3/c2
k2C4 (mi/m)2 /c3 - ki (m2/m)2 ®31 = kiC3U4,
a32 = kiC3U4 (m2/m)2
Ö33 = -kiC3 U
1 + (m2/m)2
(18)
Составим характеристическое уравнение систе мы (20):
Л3 + ai Л2 + а2Л + а3 = 0,
где
ai = - (aii + ai2 + ai3),
a2 =
(22) (23)
aii ai2 + aii ai3 + a22 a23
a2i a22 a3i ai3 a32 a33
pi = -4r, qi = -q .
Итак, нами найдены стационарные решения us (18).
3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
В работе [6] мы исследовали устойчивость стационарных решений численно, так как данная задача является многопараметрической. Здесь же мы это сделаем аналитически. Запишем систему уравнений в вариациях, соответствующую системе эволюционных уравнений (1). Для этого введем новые переменные
(г = 1 - 4). (19)
a3 = -
aii ai2 ai3 a2i a22 a23 a3i a32 a33
Вычислим произведение корней характеристиче ского уравнения А1А2А3 = —а3. В результате гро моздких преобразований получаем:
А1А2А3 = С1С2СЗЙ1^2^41/3 X
(24)
х -j ki (m2/m)2 1 + (mi/m)2
+
+ k2 (mi/m)2 1 + (m2/m)2 D (ua)/(3A2)
Представим эволюционные уравнения в новых переменных xi. Затем линеаризуем эти уравнения и выразим x4 через xi, x2, x3 из интеграла момента количества движения (5). В результате получим систему уравнений в вариациях:
dX/dt = AX, (20)
где X = (xi,x2,x3)T, а элементы aij (i = 1 - 3, j = = 1 - 3) матрицы A имеют следующие значения:
aii = cioi6/3 (ki + k2 - k2C4w-4/3/ci) , (21) ai2 = -k2CiC4W4/C2, ai3 = cioi6/3 (k2C4/C3 - ki), a2i = -k2C2C4w4 (mi/m)2 /ci,
где
D (ш) = Ъ2ш-1/3 - 3biUs, (25)
а коэффициенты ci, c2, c3, к\, k2 определены в (2) и (4), коэффициенты bi, Ъ2 — в (8).
Из выражения (24) следует, что знак произведения AiA2A3 зависит от знака D (ш8). Вычислим производную
dD (ш8) /dus = -b2W-4/3/3 - 3bi < 0. (26)
Отсюда вытекает, что функция D (ш8) убывает. Если ш8 = ш* (см. формулу (10)), то D (ш8) = 0. Это означает, что в интервале
0 <Ш8 <ш* (27)
произведение AiA2A3 > 0 и существует хотя бы один положительный корень характеристического уравнения. Однако интервал (27) содержит интервал стационарных значений (15). Следовательно, в интервале (15) стационарные решения неустойчивы по Ляпунову.
696
ЗЛЕНКО
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Геометрический и механический смысл найденных стационарных решений заключается в том, что центры масс всех трех тел находятся на одной прямой, и в своем вращательном движении два тела обращены одной стороной на тяжелую материальную точку и друг на друга. Это означает, что вращательное движение шаров синхронизировано в резонансе 1 : 1 друг с другом, с их поступательным движением вокруг барицентра и с движением барицентра вокруг тяжелой материальной точки.
Итак, доказана неустойчивость полученных стационарных решений. Если сравнивать их с известными коллинеарными точками либрации в ограниченной круговой задаче трех тел, то найденные стационарные решения можно назвать обобщенными точками либрации типа L1 и L2 в задаче о двойной планете. Обобщенными — потому, что третье тело имеет ненулевую массу, и участвует еще и вращательное движение тел. Положение центра масс тела с меньшей массой соответствует точкам либрации L1 иL2. Аналог с точкой либрации L3 отсутствует в силу постановки задачи.
Как известно, коллинеарные точки либрации в ограниченной круговой задаче трех тел для Солнца
и Земли удалены от Земли примерно на 1.5 млн км. Если взять данные для Солнца, Земли и Луны, то тело с массой Луны может находиться в обобщенных точках либрации на расстоянии около 2.1 млн км. от Земли. В данное стационарное состояние Земля и Луна прийти не могут в силу своих начальных данных, и у них совсем другая эволюционная картина развития [ 1].
Полученные стационарные решения могут найти свое применение в реальных задачах небесной механик
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.