ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 6, с. 988-1006
УДК 519.634
ОБОСНОВАНИЕ ДВУХМАСШТАБНОГО УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПРОДОЛБНЫ1Х КОЛЕБАНИЙ
ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ИШЛИНСКОГО1}
© 2007 г. А. А. Амосов*, И. А. Гошев**
(111250 Москва, ул. Красноказарменная, 14, МЭИ (ТУ), каф. матем. моделирования)
e-mail: *AmosovAA@mpei.ru, **goshevia@yandex.ru
Поступила в редакцию 19.06.2006 г. Переработанный вариант 12.12.2006 г.
Изучены начально-краевые задачи для системы квазилинейных операторно-дифференци-альных уравнений, описывающие продольные колебания вязкоупругопластического материала Ишлинского с негладкими быстро осциллирующими коэффициентами и начальными данными. Особенностью системы является наличие гистерезисного оператора Прандтля-Ишлинского. Строго обоснован предельный переход к начально-краевым задачам для соответствующей системы двухмасштабных усредненных операторных интегродифференциаль-ных уравнений. Это сделано "в целом" по времени и без предположений о малости данных. Библ. 27.
Ключевые слова: система уравнений продольных колебаний, вязкоупругопластические материалы, метод двухмасштабного усреднения, система квазилинейных операторно-диффе-ренциальных уравнений, начально-краевая задача.
ВВЕДЕНИЕ
В [1] рассмотрена (см. также [2], [3]) задача усреднения системы квазилинейных уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с периодическими быстро осциллирующими свойствами и с помощью метода двухмасштабных асимптотических разложений выведена (на формальном уровне) предельная усредненная система уравнений. Эта система оказалась нестандартной, интегродифференциальной. В уравнениях "быстрая" переменная Е, не исчезла полностью; в математической теории гомогенизации подобные уравнения в настоящее время принято называть двухмасштабными усредненными (см. [4]). В [2] Н.С. Бахваловым была поставлена проблема строгого обоснования предельной системы.
В данной статье дается строгое обоснование двухмасштабного усреднения системы уравнений из [1] в случае среды, являющейся вязкоупругопластическим материалом Ишлинского (см. [5], [6]). Доказывается теорема о сильной предельной связи между решениями неоднородных краевых задач для системы уравнений движения такой среды с быстро осциллирующими коэффициентами и начальными данными и решениями соответствующих задач для системы двухмасштабных усредненных уравнений. В процессе доказательства этой теоремы не только выводится предельная система, но и устанавливается существование ее глобальных обобщенных решений. Подчеркнем, что результаты и о предельной связи, и о существовании решений являются глобальными как по времени, так и по данным (в частности, начальным). При этом упругая составляющая напряжения се1 и коэффициент вязкости V являются общего вида функциями деформации, а также быстрой и медленной переменных. По двум последним аргументам эти функции могут быть разрывны. Это относится и к начальным данным. Ранее аналогичные результаты были доказаны для моделей вязкой баротропной среды (см. [7], [8]), вязкого теплопроводного совершенного газа (см. [9]) и термовязкоупругого тела типа Фойхта (см. [10], [11]).
Самым существенным образом используются подходы к двухмасштабному усреднению и техника, развитые в [7]-[11]. Доказательство также опирается на полученные авторами результаты о глобальных обобщенных решениях системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала Ишлинского (см. [12], [13]). Особенностью данной работы является
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00539).
преодоление трудностей, связанных с присутствием в рассматриваемой системе гистерезисного оператора Прандтля-Ишлинского.
Ранее в [14] рассмотрена проблема усреднения уравнений продольных колебаний упругопла-стического материала Ишлинского. Однако эффект двухмасштабного усреднения здесь не наблюдается. Это объясняется тем, что в рассмотренных уравнениях отсутствует вязкость, а начальные данные равномерно сходятся к своим предельным значениям.
План статьи следующий. В разд. 1 вводятся используемые функциональные пространства и формулируется ряд вспомогательных утверждений. Существенную роль играют теоремы о свойствах широкого класса быстро осциллирующих функций, позволяющие обосновывать усреднение при наличии разрывов как по быстрой, так и по медленной переменным. В разд. 2 вводится оператор Прандтля-Ишлинского и формулируются некоторые его свойства. В разд. 3
и 4 даны, соответственно, постановки трех начально-краевых задач ^ (т = 1, 2, 3) для исходной системы уравнений колебаний с быстро осциллирующими данными и соответствующих задач ^ для системы двухмасштабных усредненных уравнений. Приведены теоремы о существовании и единственности глобальных обобщенных решений задач &£т и . В разд. 5 сформулирован и доказан основной результат работы - теорема о предельной связи между задачами и ^ . Одновременно доказана разрешимость задач ^^ .
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Всюду ниже полагаем 3 = (0, 1), О = (0, X), Q = дТ = О х (0, Т).
Пусть Е - множество конечной меры в К". Примем обозначение
(м>, у)Е = | ^ таЕ.
Е
Пусть В, У - банаховы пространства, М с В и = {у е У | ||у||У < Щ.
Напомним, что функция/: Е —► В называется сильно измеримой (измеримой по Бохнеру), (см. [15], [16]), если существует последовательность простых функций/п : Е —► В таких, что /п(х) —►/х) для почти всех (п.в.) х е Е. Обозначим через ^(Е; М) множество сильно измеримых функций/: Е —► М. Положим ЦД; М) = Ш(Е; М) п Ц^Е; В).
Лемма 1. Пусть/е *Ш(Е; М). Тогда существует последовательность простых функций /п : Е —► Мтаких, что/п(х) —-Ах) для п.в. х е Е.
Доказательство. Так как/е <Ш{Е; В), то существует последовательность простых функций gп : Е —► В таких, что gп(x) —/х) для п.в. х е Е. Функция gп имеет вид
м„
gп(x) = X У"'кХп, к (x),
к = 1
где уп, к е В, Хп, к - характеристические функции измеримых множеств Еп, к таких, что Е = = 1 Ещ к и Еп, к п Еп, т = 0 при к Ф т.
Для каждого уп, к е В существует уп, к е М такой, что
||Уп, к - уп, А В < inf I|Уп, к - Я В +1/«•
у е М
Заметим,что
Nп
/п(х) = X Уп, кХп, к (х)
к = 1
является простой функцией со значениями вМ. Кроме того, ||/п(х) -/(х)||В < 2^п(х) -/х)||В + 1/п —- 0 для п.в. х е Е.
Лемма 2. Пусть f е Ш(Е; M) и отображение 9 : M —► Y непрерывно. Тогда 9(f) е Ш(Е; Y).
Доказательство. В силу леммы 1 существует последовательность простых функций fn : Е —► M таких, что fn(x) —► f(x) для п.в. x е Е. Заметим, что 9(fn) : Е —► Y является простой функцией. Так как отображение 9 непрерывно, то 9(fn(x)) —»- 9(fx)) для п.в. x е П. Следовательно, 9(f) е е Ш(Е; Y).
Следствие 1. Пусть f е Ш(Е; M) и отображение 9 : M —► SN непрерывно. Тогда 9(f) е LJE; Y), причем || 9(f) || £_( е ; y ) < N.
Лемма 3. Пусть f: J X П —► M, f е !^(П; LJJ; M)) и отображение 9 : M —► SNравномерно непрерывно. Тогда 9(f) е LJ(Q,; LJ(J; Y)), причем ||9(f) ||L (П; L j; Y)) < N.
Доказательство. В силу леммы 1 существует последовательность функций fn : J X П —► M, которые являются простыми, если рассматриваются как функции fn : П —»- LJ(J; M). При этом fn(-, x) —► f(-, x) в LJ(J; B) для п.в. x е П.
В силу следствия 1 имеем 9(Д-, x)) е LJ(J; Y) для п.в. x е П. Кроме того, 9(fn) : П —► LJ(J; Y) является простой функцией, причем из равномерной непрерывности отображения 9 следует, что 9(f (■, x)) — 9(Д-, x)) в LJ(J; Y) для п.в. x е П. Таким образом, 9(f) е Ш(П; LJ(J; Y)). Так как ||9(A-, x)) ||ljCJ; Y) < N для п.в. x е П, то 9(f) е Lj(d; Lj(J; Y)) и ||9(f) ||lj(d; lj(j; y)) < N.
Напомним некоторые определения и свойства, связанные с понятием аппроксимативного предела (см. [17], [18]). Пусть Е - измеримое множество в [. Точка ¡0 называется точкой плотности множества Е, если
lim mes[Е n(£0- r, ¡0 + r)]/(2r) = 1.
r ^ 0+
Известно, что почти все точки множества Е являются его точками плотности. Говорят, что функция ф е M(J; B) имеет в точке ¡0 е J аппроксимативный предел, если существует измеримое множество Е(^0) с J, для которого ¡0 является точкой плотности, и в B существует предел
Ншарф(^= ^ Hm фФ.
Обратим внимание на то, что при изменении функции ф на множестве нулевой меры множество точек, в которых существует аппроксимативный предел, и сами значения аппроксимативных пределов не меняются.
Пусть f: J X П —► B. В теории усреднения широко используются быстро осциллирующие функции видаfe(x) = f(xe, x) с £ —► 0+; здесь xe = {x/e - a£} - дробная часть числа x/e - a£, а a£ -некоторая функция параметра e > 0 (в частности, a£ = 0).
Приведенные ниже теоремы 1-3 следуют из результатов работ [19], [9], [11].
Теорема 1. Пусть f: JX П —► B иf е LJ(J; B)). Тогда существуют множество J0 полной меры в J и множество П0 полной меры в П такие, что для всех (¡0, x) е J0 X П0 существует аппроксимативный предел lim apf(^, x). Как следствие, для всякого £ > 0 существует функция
f : П —► B, определенная для п.в. x е П формулой
/(x) = lim арf(t x). (1.1)
Более того,f£ е Ш(П; B) и ||/£(x)||b < ||/(-, x) ||L j; B) для п.в. x е П.
Всюду ниже суперпозиция f£(x) = f(x£, x) понимается в смысле формулы (1.1). На множестве нулевой меры, где предел (1.1) не существует, функцию f£ можно доопределить произвольным образом. Подчеркнем, что изменение функции f на множестве нулевой меры в JX П приводит к изменению f лишь на множестве нулевой меры в П.
Следствие 2. Пусть f: J X П —► B и f е Lq(H; LJ(J; B)) для некоторого q е [1, j]. Тогда имеем f£ еLq(П; B) и ||f||l
,(П; B) < |L/1|Lq(H; Lj(J; B)) .
В случае f: J X П —► [ справедлив важный результат о слабой сходимости f(x) = f(x£, x) к
f (x) = Jf (¡, *
Теорема 2. Пусть f: JX Q —» R иf e Lq(Q; LJ(J)) для некоторого q e [1, j]. Тогда f* e Lq(Q) и f* —► (f) слабо в Lq(Q) при q e [1, j) и *-слабо в LJ(Q) при q = j.
Следствие 3. Пустьf: J X Q —- R и f e Lq(Q; LJJJ)) для некоторого q e [1, j]. Тогдаf* e Lq(Q) иf* —► {f) слабо в Lq(Q) при q e [1, j) и *-слабо в LJ(Q) при q = j.
Следствие 4. nycTbf: JX Q X [0, T] — R иfe LJ(Q; LJ(J; C[0, T])). Тогда дляД*, t) = lim apfS, x, t)
в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.