М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.529.5
ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ ДРЕЙФА ДЛЯ ДВУХФАЗНЫХ ТЕЧЕНИЙ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
© 2014 г. А. А. ОСИПЦОВ*, К. Ф. СИНЬКОВ*,**, П. Е. СПЕСИВЦЕВ*
* Московский научно-исследовательский центр Шлюмберже, Москва ** Московский физико-технический институт, Москва e-mail: aosiptsov@slb.com, ksinkov@slb.com, pspesivtsev@slb.com
Поступила в редакцию 06.09.2013 г.
Рассматривается течение двухфазной смеси жидкости и дисперсной фазы (газа) в трубе круглого сечения с переменным углом наклона к горизонту в приложении к течениям в нефтяных и газовых скважинах. В рамках многоконтинуального подхода представлен вывод асимптотических уравнений модели дрейфа, записанной в виде алгебраического соотношения для скоростей фаз и одного уравнения сохранения импульса смеси в терминах среднеобъемной скорости смеси. Показано, что модель дрейфа в данной формулировке строго следует из законов сохранения в предположении безынерционного проскальзывания фаз и при выполнении одного из следующих условий: либо объемная доля дисперсной фазы мала, либо проскальзыванием фаз можно пренебречь, либо течение происходит в безынерционном режиме, когда ускорением смеси можно пренебречь. Реализован численный алгоритм решения полученных уравнений модели дрейфа на основе метода SIMPLE. Проиллюстрирована возможность моделирования гравитационной сегрегации и восстановления давления при закрытии скважины, а также нестационарного пробкового течения.
Ключевые слова: модель дрейфа, многофазные течения, многоконтинуальный подход, эмульсия, пробковый режим течения.
Интерес к моделированию многофазных течений в трубах обусловлен индустриальными приложениями, в частности, необходимостью контролировать системы охлаждения ядерных реакторов, а также транспортировку жидкостей и газов в нефтяных и газовых скважинах и трубопроводах. В нефтегазовой индустрии широкое распространение получила так называемая модель дрейфа. В изотермической постановке модель основана на упрощенном описании многофазного течения в рамках одного уравнения закона сохранения импульса смеси в целом, записанного в терминах среднеобъемной скорости смеси, законов сохранения массы для фаз, а также алгебраических соотношений, связывающих скорости фаз и скорость смеси через скорости дрейфа фаз. Модель дрейфа для течения в трубопроводе была впервые предложена в литературе в 1960-х годах [1, 2]. Одномерные модели, построенные на основе данного подхода для течений в длинных трубах, широко внедрены в коммерческие симуляторы многофазных течений для нефтегазовых приложений, например PIPESIM, ECLIPSE (Schlum-berger) и др. Варианты модели дрейфа также используются при описании течения суспензии из осаждающихся частиц, где скорость частиц связана со среднеобъемной скоростью суспензии через алгебраическое соотношение с учетом скорости осаждения. Например, в [3] модель дрейфа была построена для двумерной гравитационной конвекции суспензии в сосуде с наклонными стенками. В [4] и [5] асимптотическая модель течения суспензии в трещине гидроразрыва была выведена из полных законов
сохранения, записанных в рамках многожидкостного подхода. Было показано, что в диапазоне параметров, представляющем интерес для нефтесервисных приложений, модель дрейфа применима для течения осаждающейся суспензии в трещине гидроразрыва.
В то же время с конца 1960-х годов началась разработка так называемой многожидкостной модели [6] для многофазных течений в трубах и скважинах, которая построена в рамках многоконтинуального подхода, где совместное течение фаз описывается уравнениями законов сохранения массы и импульса для каждой фазы [7, 8]. Модели на основе многожидкостного подхода внедрены в коммерческие симуляторы, например в OLGA (SPT Group, Schlumberger), LedaFlow (Kongsberg) и MAST (TEA Sistemi).
С точки зрения фундаментальных исследований, представляет интерес вопрос о связи между полной многожидкостной моделью и упрощенной моделью дрейфа, и о границах применимости последней. Проблема в такой постановке ранее не рассматривалась в литературе.
Цель данной работы — строгий вывод модели дрейфа из законов сохранения, записанных в рамках двухжидкостного подхода для каждой фазы и определение границы применимости модели дрейфа в терминах, определяющих безразмерные параметры. При выводе асимптотических уравнений многофазного течения в трубе и обосновании применимости модели дрейфа мы будем следовать методологии, изложенной в [5].
1. Постановка задачи. Рассматривается нестационарное изотермическое течение газожидкостной смеси в длинной трубе круглого сечения с переменным углом наклона к горизонту. Течение считается осесимметричным и незакрученным. Жидкость — непрерывная несущая фаза. Газ — дисперсная фаза, представлен в виде мелких сферических пузырьков одинакового диаметра, взвешенных в жидкости. Газ считается сжимаемым, жидкость — несжимаемой. Процесс поперечной миграции по сечению трубы и слияние пузырьков не рассматриваются, однако учитывается неоднородный профиль объемной концентрации пузырьков, сформировавшийся в результате миграции. Разность давлений внутри пузырьков и в жидкости, обусловленная поверхностным натяжением, не учитывается. Считается, что размеры пузырька много меньше пространственных масштабов изменения поля скорости жидкости и число Рейнольдса обтекания пузырька мало.
Двухфазное течение рассматривается на основе модели двух взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов [9]. Задача описывается законами сохранения массы и импульса в дифференциальной форме, записанными для каждого континуума. Предполагается отсутствие источников массы и массообмена между фазами.
Законы сохранения массы и импульса в дифференциальной форме для газа и жидкости имеют вид [9]
f (а р) + V (а рр, ) = 0 (1.1)
dt
d■ v-
а= -Vp¡ + V • т. + apg + пь?ц (1.2)
dt
^ = ^ + (v. -v)
dt dty '
где индексы i, j = g, l, i ф j обозначают газ и жидкость, a¡, p¡ и vi — объемные доли, плотности и скорости фаз, p. и т. — давления и тензоры вязких напряжений в каждой из фаз, g — ускорение силы тяжести. Обмен импульсом между фазами описывается слагаемыми nbF¡j, где Fgl = F — сила, действующая на отдельный пузырек со стороны жидкости, Flg = - Fgi, а nb — числовая концентрация пузырьков.
Для простоты дальнейшие выкладки проведены для вертикальной трубы, хотя результаты могут быть обобщены на случай наклонной трубы, за исключением течения в окологоризонтальных трубах.
Предполагается, что хаотическим движением пузырьков можно пренебречь и отклонение скорости пузырьков от среднемассовой скорости дисперсной фазы ^ мало, тогда давлением и тензором вязких напряжений в дисперсной фазе можно пренебречь [4]. Наличие дисперсной примеси влияет на тензор напряжений в несущей фазе. В первую очередь дисперсная примесь оказывает влияние на величину сдвиговой вязкости жидкой фазы [10]. С другой стороны, пузыри сжимаемого газа движутся со скоростью, отличной от скорости жидкости, и их объемная доля переменна, поэтому условие Уу I = 0 не выполняется. В этом смысле жидкая фаза, в отличие от жидкости как материала, является сжимаемой. Таким образом, тензор вязких напряжений в жидкой фазе записывается как для вязкой сжимаемой жидкости с коэффициентами сдвиговой ц и объемной С вязкости, зависящими от объемной доли газа
т, = 2ц(а^)(е, -1 Уу,1) + £(с^)Уу,1 (1.3)
где e¡ — тензор скоростей деформации, I — единичный тензор. Определение зависимостей ц (а g) и ^ (а g) представляет отдельную задачу [11], которая обычно решается для нейтрально плавучих частиц без учета межфазного проскальзывания. В дальнейшем считается, что ц(0) = ц0, где ц0 — вязкость чистой жидкости, и ^(аё) Vу, ^ 0 при а^ ^ 0.
Радиус пузырьков ограничен предельным значением Яс, при котором поверхность пузырька теряет сферическую форму, устойчивость и происходит дробление на более мелкие пузырьки [12]
Я < » = 1Ш2 = ю-3 м
3 \pPig
где а — поверхностное натяжение на границе газ—жидкость. В принятых предположениях на отдельный пузырек со стороны жидкости действуют силы Стокса Б^, Архимеда Ба, присоединенных масс Бат и Бассе—Буссинеска БВв. В неочищенных жидкостях влияние поверхностно-активных веществ приводит к тому, что в жидкости вблизи поверхности пузырьков формируется тонкий высоковязкий слой, и в результате мелкие пузырьки движутся как твердые частицы [12]. Тогда выражения для сил могут быть приняты в виде [13]
Б = + БА + Бат + БВВ
= <тцЯ(У, -у Ба = 4пЯ3р, ^
Бат = 2 ПЯ 'р,^ (У I - У g ),
Б =£ Т.2 ГПГ~. !dg ( ) ^т
Бвв = 6Я^ (у , - у g )
- т
Безразмерные переменные вводятся следующим образом (размерные переменные обозначены звездочкой, где требуется отличить их от безразмерных переменных)
(x*,y*, z*) = L ■ (x,y,z), V* = |V
L
0
V* = Uv i, t* = L-t, p* = p0p;-, n=£0-U P°
p* =p0u 2p, ц* = Ц0Ц, Z* = Z oZ, ^, T* Ti
^0 L
где L — характерный линейный масштаб в продольном направлении, U — характерный масштаб скорости, р0 — характерные плотности материалов фаз, ^о — характерная величина объемной вязкости эмульсии и ц (0) = 1.
В безразмерной форме с учетом равенства а* = 4лЛ пь/3 уравнение (2) для газа принимает вид
1т=^(- ¥ *>+БГ
eStPg J1T = ^ ( - vg) + (рg -npi)ez +
+ss4p,í+1 pidh(v¡- v g>)+
+эй^^^(v¡ -vg^T
(1.4)
- т
о
с+ ти тг и гк 4 пз о
Бг =-, Бг = .—, е= —, т = -пк р*
блцо^Г, Ь 3
Здесь Бг — число Стокса, Бг — число Фруда, гм, — характерный радиус трубы, е — отношение поперечного размера к продольному, m — масса пузырька. Сложением уравнений (1.2) для жидкости и газа можно получить Г. л „ , \ „ А
eRe
1 „ dgvg , „ „ d¡v¡)_ Re
Vq dt dt ) Fr
1 , I ,2,
agp+ a¡p¡-¡—¡-1 = — -agpg +a¡p¡ Iez +eVx¡ -eReVp (1.5)
где Re = p0Urw/ц 0 — число Рейнольдса.
Уравнения неразрывности (1.1) в безразмерных переменных имеют тот же вид, что и исходные размерные уравнения.
В литературе известна система уравнений модели дрейфа, которая, в частности, внедрена в симулятор пластовых течений ECLIPSE (Schlumberger) для нестационарной модели течения в скважине [14, 15]
| (Aapi ) + Jz (Аари ) = 0 (1.6)
pm f^ + um д-дг\ = -Т + Pmg C0S 0 + (1.7)
\ dt dz \ dz d
Ug = Qum + Ud (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.