ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 28-32
УСТОЙЧИВОСТЬ
УДК 621.81-25.001.4
ОБОСНОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОДВЕСА
© 2007 г. В. С. Востоков, В. С. Горбунов, Н. Г. Кодочигов, С. В. Лебедева, А. В. Ходыкин
Нижний Новгород, ОКБ Машиностроения, Волжская государственная академия водного транспорта
Поступила в редакцию 17.11.05 г., после доработки 31.10.06 г.
Выполнен комплекс аналитических исследований устойчивости полного электромагнитного подвеса методом Ляпунова. Результаты показали, что динамическая мехатронная система "ротор + система управления электромагнитными подшипниками" устойчива без дополнительных мер по линеаризации магнитной силы.
Введение. Исследованию характера движения ротора в электромагнитных подшипниках посвящено большое количество работ. Достаточно сказать, что с определенной периодичностью проводятся международные конференции по роторо-динамике. Наибольшее количество публикаций связано с различными способами линеаризации магнитной силы (введение токов смещения [1, 2], специальных нелинейностей [3], использование компенсаторов нелинейности и т.д.) и методами управления (включение фильтров [4], оптимальное управление [5, 6], Fuzzy Logic [7]). Ряд публикаций посвящен доказательствам устойчивости динамической системы методом Ляпунова [3, 8].
В системе электромагнитного подвеса имеется несколько нелинейностей:
квадратичная зависимость магнитной силы от тока управления;
гиперболическая связь магнитной силы с величиной воздушного зазора;
эффект насыщения железа радиального электромагнита;
подача повышенного напряжения электропитания на электромагнит до момента достижения заданной величины управляющего тока.
С точки зрения задачи устойчивости нулевого состояния равновесия наиболее значима нелинейность магнитной силы от тока управления, поскольку в этом состоянии ток управления равен нулю и производная от квадратичной функции зависимости магнитной силы от тока управления также превращается в нуль.
В последнее время появился ряд публикаций [9-12], в которых методом Ляпунова доказывается устойчивость нулевого состояния равновесия с учетом некоторых нелинейностей (квадратичной зависимости магнитной силы от тока управления;
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы Минобразования РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 гг.)", проект РНП.2.1.2.3556.
эффекта насыщения железа радиального электромагнита) и гироскопических перекрестных связей. Однако для аналитических исследований используется одномассовая модель ротора, удерживаемого одним электромагнитным подшипником. Данная работа посвящена выявлению условий, при которых возможно доказать устойчивость нулевого состояния равновесия системы в целом и в первую очередь жесткого ротора на двух электромагнитных подшипниках.
1. Устойчивость нулевого состояния равновесия полного электромагнитного подвеса. 1.1. Математическая модель электромагнитного подвеса ротора. Рассматривается вертикальный ротор, поддерживаемый двумя электромагнитными подшипниками. Не используется ток смещения, поэтому в работе находятся только обмотки электромагнита, противоположные смещению ротора. Управление движением ротора вдоль его оси организовано традиционным образом и в статье не исследуется, предполагается слабое влияние сил вертикального направления на горизонтальную составляющую.
Используется полная математическая модель ротора с учетом гироскопических перекрестных связей, включающая уравнения динамики в координатах центра масс и углов поворота. Исходная модель полного электромагнитного подвеса с уравнениями поступательного и колебательного движений имеет вид [2]
A а + ВCQ. = Mа, mx = Fx, .. Н (1.1)
A в - a C Q, = Me, my = Fy,
где a - угловой поворот ротора в плоскости yz (рисунок) ; в - его угловой поворот в плоскости xz; x и y - координаты центра масс; А - момент инерции ротора относительно каждой из осей, лежащих в экваториальной плоскости ротора; m -масса ротора; С - момент инерции ротора относительно центральной оси вращения; D. - абсолют-
ная угловая частота вращения ротора вокруг центральной оси; Ех, ¥у _ силы от радиального электромагнитного подшипника, направленные по осям х и у; Ма, Мр _ моменты от радиального электромагнитного подшипника, действующие по углам а и р.
1.2. Структура системы управления. В математической модели системы управления не учтены инерционности датчика и тока в обмотке электромагнита. Исследуется централизованное регулирование, когда управление по центру масс не приводит к возникновению момента сил, а управление по углу не вызывает смещения центра масс. Таким образом, уравнения (1.1) получаются не связанными друг с другом перекрестными связями по координатам. Рассматриваются уравнения для пропорционально-дифференциального регулятора. Положение центра масс и углы поворота при централизованном управлении жестким ротором вычисляются по измеренному перемещению ротора в электромагнитных подшипниках относительно центральной оси статора. Отсюда
- - _— - -—-
хав аа, хан — а, хан хав,
где а _ расстояние от верхнего подшипника до центра масс ротора; — _ расстояние от нижнего подшипника до центра масс ротора; хав, хан _ вычисленные перемещения ротора (относительно центральной оси статора) соответственно в верхнем и нижнем подшипниках при неподвижном центре масс. Уравнения по ур и в аналогичные.
Силы и моменты от электромагнитов примут вид
Fx
^х 2к1 1ц.м. х^ц.м. х|,
Ма = -к1(4в|4в|а - 4н|4н| — ),
(1.2)
Упрощенная схема ротора в электромагнитном подшипнике
где к1 - Ь0/2х0; Ь0 _ индуктивность обмотки электромагнита при центральном положении ротора; 1ц м. х _ ток управления по центру масс; 1ан, 1ав _ токи управления по углу; х0 _ номинальный воздушный зазор в электромагните.
Уравнение (1.2) записано в предположении (х0 ± Ах)2 ~ х0 (данное допущение справедливо, так как работает тот из двух электромагнитов, в котором зазор больше х0). Здесь Ах _ перемещение роторной части подшипника относительно центральной оси статора. Выражения для Еу и Мр _ подобные.
Перейдем от (1.1) в переменных а, р к новым уравнениям в переменных хав, урв в соответствии с соотношениями а - хав/я; р - урв/я
Х-0-А СО = -кх(4в|/ав|а - 4н|4н| —) =
= -к
3 , и3 а + —
1 2 ав
а
/„,и, ^А СО =
ха
33
а + —
= -к1(1рв|1р,а -1рн|1рн|—) = -к1-2—Ь-1Ь
а
тх = -2к 11ц.м. х^ц.м. х ,
(1.3)
-^ц.м х крхх + кйхх, 1ав = кра ха в + кйа хав,
1рв = кРрур, + к^рурв,
где крх, кск - пропорциональный и дифференциальный коэффициенты регулятора по центру масс; кра, крр; кЛ, к^ - пропорциональный и дифференциальный коэффициенты регулятора по углам а и р. Все коэффициенты кр и кс} (с индексами) положительны. Уравнения для у, 1цм. у - аналогичные.
Таким образом, уравнения при предполагаемом централизованном управлении становятся независимыми, что позволяет воспользоваться ранее полученными результатами для одного уравнения второго порядка [9, 10].
1.3. Исследование устойчивости системы. Управление осуществляется независимо по углу наклона ротора и по отклонению центра масс от центральной оси. Легко показать, что систему (1.3) можно преобразовать в два уравнения:
ш1 1
ц.м х* ц.м. X
+ 2кк £(| 1 \т
+ 1 крх-/-( гц.м. X1]
3 "рхшх
= —4к!к^х|!ц.м. X (
х ц.м. х ц.м х
2
) =
3
3
_[!ав!а
1 Рв1 Рв ]
-к1 х
х { [кра( |!а,1 ав1 ав) + 2кйа\!ав| (!ав) ] + + [крр(|/р, 1рв/рв) + 2к,в\/Рв|()2] },
в которых искомыми переменными являются токи управления /ц.м. х, 1ц.м. у, 1а,, 1рв. Функция Ляпунова имеет вид
V = ш-
ш
2 к1 т
_1 { к 11 11
рх ц.м. х ц.м. х
+
, V2
+ к 11 И2 } + А — + А --¿В-
+ ^руК ц.м. у1 ц.м. у I + + А т „
12
■ -1 ав
к к
2 а 2 а
Ь х (1-4)
х{ к
ра| 1аВ1 ав + крр|1 Рв|1 Рв} > 0
и соответственно производная от нее, взятая в силу исходных уравнений, равна
а
х
асимптотическая устойчивость нелинейной системы полного электромагнитного подвеса. Следует заметить, что устойчивость доказана в переменнЫХ 1ц.м. х; 1ав, 1вв, но 1ав = крахав + kdа.хав и, следовательно, крахав + кЛа ххав —- 0. Очевидно, что
хав —► 0 при t —► а значит, можно утверждать, что имеет место устойчивость в переменных а,
а. Аналогичные рассуждения справедливы и для
х, х, у, у, в.
2. Устойчивость системы при учете инерции нарастания тока управления в обмотке электромагнита. Для упрощения изложения рассмотрим случай удержания ротора по одной координате (например, для координаты х). Уравнение для токов управления с учетом инерционности тока в обмотке электромагнитного подшипника будет иметь вид
к„х + к^х, = т1 +1,
(2.1)
где кр, кс! - соответственно пропорциональный и дифференциальный коэффициенты регулятора;
т - постоянная времени обмотки электромагнита: ¿0
т = —; Я - сопротивление обмотки электромаг-Я
нитного подшипника.
Введем безразмерную величину ? = Т. Уравнение (2.1) приводятся к виду
& ,т kddx ,
— +1 =--5- + к„х.
Аналогично преобразуем (1.1)
шd2 х ¿0
(2.2)
= -р-ш.
Подставляя в (2.2)
d2 х
4к 1 {^х^ц.м. х|1 ц.м. х + кdy\/ц.м. у|"•ц.м. у } 2к 1
а
х {^в! 1ав + kdp| 1Рв|^Рв} < 0.
При этом
ЦП) = 31111, а ^(IЩ) = 2| 1\1.
На основании выше приведенного можно сделать заключение о том, что, состояние равновесиЯ х = у = 1ц.м. х = 1ц.м. у = 1ав = 1Рв = 1ан = 1Рн = 0 асимптотически устойчиво. Таким образом, доказана
2 х0
2
¿0Т
2 х0ш
11,
получим
21 , d/
^¿0 2 х0 ш
ИИ + к„
(2.3)
Обозначая выражения перед |1|1 и |(| /|/)d? как с и И,получим
+ + с|1|1 + И |(| 1|1 )d? = 0
а
3
3
или
U+%+i( h 1(| 717 >dt)
(2.4)
+ hJ(|I|I)dt = -(с - h)|I|I. Умножая правую и левую части (2.4) на -* + h J(| I|I) dt , приходим к уравнению:
г( dl
d
di + h J(| AI )dt
x
(h J(| I|I) dt-
""Г+ (±-JT x
3 2 h
d + h J(| AI) dt
или
d + h J(| AI) dt
v =
"-h I AH+("-h)x
3 2 b
(2.5)
пропорциональных х, приводит к тому, что нулевое состояние равновесия становится неустойчивым. Вместе с тем появляется дополнительное состояние равновесия при к2х = к11\А = к1 . Здесь к2 - коэффициент пропорциональности между силой и смещением ротора от центрального положения.
Устойчивость нового состояния равновесия уже возможн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.