ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1183-1195
УДК 519.633.9
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ МЛАДШИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2015 г. Т. И. Бухарова, В. Л. Камынин
(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, НИЯУ МИФИ) e-mail: bukharova_t@mail.ru, vlkamynin2008@yandex.ru Поступила в редакцию 01.12.2014 г.
Изучается обратная задача восстановления коэффициента поглощения из L2 в многомерном уравнении теплопроводности при некотором дополнительном условии интегрального наблюдения. При этом предполагается принадлежность младших коэффициентов уравнения пространству Лебега. Установлены достаточные условия существования, единственности и устойчивости к возмущению входных данных решения обратной задачи. Эти условия сформулированы в виде легко проверяемых неравенств. Библ. 13.
Ключевые слова: коэффициентная обратная задача, параболические уравнения, условие интегрального наблюдения, условия существования и единственности решения, устойчивость решения.
DOI: 10.7868/S0044466915070054
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваются вопросы существования, единственности и устойчивости относительно возмущения входных данных решения обратной задачи об определении пары функций {u(t, x), y(t)} для параболического уравнения
n
ut - a ( t, x )A u + ^ bi( t, x)u%i + Y(t)u = f(t, x), (t, x) e Q = [0, T] xfi, (1.1)
i = 1
с начальными и граничными условиями
u(0, x) = u0(x), x eQ; u(t, x) = 0, (t, x) e [0, T] x dQ, (1.2)
и дополнительным условием интегрального наблюдения
^u(t, x)ffl(x)dx = ф(t), t e[0, T]. (1.3)
n
Здесь Q — ограниченная область в [Rn с гладкой границей dQ, функции a(t, x), b(t, x), f(t, x), u0(x), ю(х), ф(0 являются известными.
Такого рода задачи возникают при исследовании тепловых, диффузионных процессов в случае, когда ряд физических характеристик рассматриваемой среды недоступен для непосредственного измерения. В то же время возможно получение дополнительной информации о характере самого процесса. В частности, задаваемое в настоящей работе дополнительное условие (1.3) с физической точки зрения может, например, означать измерение температуры исследуемой среды с помощью датчика, производящего усреднение по области.
Особенностью предлагаемой постановки задачи является то, что коэффициенты b(t, х) предполагаются неограниченными в Q функциями, равно как и неизвестный коэффициент y(t).
В разд. 2 доказана теорема существования обобщенного решения задачи (1.1)—(1.3), которая в силу нелинейности данной обратной задачи носит локальный по времени характер. Попутно доказана и локальная теорема единственности. Получение данных результатов основано на доказательстве сжимаемости специального нелинейного оператора, входящего в уравнение для нахождения неизвестного коэффициента у(1). Это позволяет в дальнейшем применить метод итераций для приближенного нахождения данного коэффициента, что важно для возможного численного решения рассматриваемой обратной задачи.
В разд. 3 установлена теорема единственности обобщенного решения обратной задачи, которая носит уже глобальный характер.
В разд. 4 получена оценка устойчивости решения обратной задачи относительно изменений правой части /(?, х), начальной функции и0(х) и функции ф(?) из условия переопределения. Тем самым, при наложенных в работе условиях на входные данные обратной задачи (1.1)—(1.3) эта задача становится корректно разрешимой, что может быть, например, использовано при ее численном решении.
Коэффициентным обратным задачам с различными дополнительными условиями посвящена обширная литература. Что же касается обратной задачи определения коэффициента в младшем члене параболического уравнения с условием интегрального наблюдения вида (1.3), то укажем работы [1]—[5] и др.
Отметим, что, в отличие от настоящей работы, в [1], [2] старшие коэффициенты уравнения не зависят от 1, в [3], [4] рассмотрены параболические уравнения с дивергентной главной частью и с ограниченными младшими коэффициентами, в [5] рассмотрен случай параболического уравнения на плоскости с ограниченными младшими коэффициентами (само уравнение может быть высокого порядка).
Также отметим еще работы [6]—[10], где, в том числе, изучались обратные задачи определения младшего коэффициента, но с иными, нежели (1.3), дополнительными условиями.
В дальнейшем будем использовать обозначения
п
Ых = и\ + ... + иХп, Ыхх = ^ и^, о (г 1, гг) = [ ?ь гг ]хп, о < гх < г2 < Т;
I,] = 1
при этом 0(0, 1) = 0(0, 0(0, Т) = 0.
Банаховы пространства Ьр(0.), Ьр(0(1х, 12)), ЬГ([1Ъ ^]), Х^; 12, Хр(О)) = Ьр>Г(0(1Х, 12)), Ж (О),
Ж2 (0(11,12)), Ж ([0, Т]) с соответствующими нормами будем понимать в общепринятом смысле (см. [11]).
Через ЖХ 0 (0(11, 12)) будем обозначать подпространство функций 1(1, х) е ЖХ'Х (0(11,12)), которые обращаются в нуль на [11, 12] х дО.
Также будем использовать хорошо известные неравенства: арифметическое неравенство Ко-ши
\аЬ\ <-а2 + -2!-Ь2 Уб> 0, а, Ь е Я, (1.4)
Х Х б
и неравенство Пуанкаре—Стеклова
Ы 1(П) <0Х|| 1х\\¡х(п) V е ^х(О), 0 = 0(О) > 0. (1.5)
Относительно исходных данных задачи (1.1)—(1.3) будем предполагать, что входящие в них функции измеримы и удовлетворяют следующим условиям:
(A) 0 < a1 < a(t, x) < a2;
(B) b(t, x) e Z2(0, T; LM(Q)) = LM, 2(G), i = 1, 2, ..., n,
max \\b\\Lm 2(G(ti> ,2)) < Kb(t1, t^ Kb(0, T) = Kb,
i = 1, 2,n
(C) f(t, x) e L2(Q), |[/||l2(g) < Kf;
0 J „ „
(D) uo(x) e W (Q), ||u0||£2(П) < K
(E) |®(x)| < Kffl, fo(t)| >Фо > 0, ||Ф'||^2([0> r]) < K* ;
(F) Ju 0 (x)®(x)dx = ф(0).
n
Здесь a1, a2, K* , ф0, Kffl = const > 0, K* = const > 0, Kb(t1, t2) — неотрицательная величина, зависящая от t1 и t2, причем из условия (В) следует, что Kb(t1, t2) ^ 0 при t1 — t2 ^ 0.
Определение. Обобщенным решением обратной задачи (1.1)—(1.3) будем называть пару функций
1 2
{u(t, x), y(t)}, u(t, x) e W2,0 (Q), y(t) e L2(0, T) таких, что эти функции удовлетворяют уравнению (1.1) почти всюду в Q, a u(t,x) удовлетворяет условиям (1.2), (1.3).
Для исследования обратной задачи (1.1)—(1.3) нам понадобятся разрешимость прямой задачи (1.1), (1.2) при известной функции y(t) e L2(0, T) и некоторые оценки обобщенного решения u(t, x) этой задачи.
Для полноты изложения приведем доказательство соответствующей теоремы.
Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (A)—(D). Пусть y(t) e L2(0, T) — известная функция, причем
\\L2(0, T)
< R.
(1.6)
Тогда существует единственное обобщенное решение х) е ^ 0 (О) прямой задачи (1.1), (1.2) и для него справедлива оценка
"u"w2'2 (Q)
< с(R){|f L2(Q) + llu0|| L2(n) } ,
(1.7)
где c(R) = const > 0 зависит от n, Т, mes Q, констант из условий (А)—^), а также от R.
Доказательство. Докажем сначала априорную оценку (1.7) при условии, что решение задачи (1.1), (1.2) существует.
Умножим (1.1) на —Au и проинтегрируем по Q(t1, t2). После интегрирования по частям с учетом условий (А), (1.6) и применения неравенства (1.4), получим
12 2 1
2IIux('ь • l2(П) + aJ A4L2(q(h, tj) < 2IIux(t1' '
llL2(n) + X i = 1
J bi(t, x)u„ Audxdt
Q (t1, '2)
i* 2 i* 12 n + 1
J y(t)ujxdt + J f(t, x)Audxdt< ux(tb • )||l2W + -y e||A.
1, У Q(tl, t2)
n
+ X J b2(t'x)uldxdt + fL2(q(t1,t2)) + tisyLi]gJk(^ • L2(n)R(12-11)
Q( 11, <2)
u||L2Q( (2) +
1/2
(1.8)
i = 1Q ( ti, h)
Положим в (1.8) s = a1/(n + 1), тогда имеем неравенство
1
211 ux( t2, • L2(n) + aril AuIIl2(Q( t1, t2))- 211 ux\4- n |L2(n)
12
,< - ux(h,
+ sup ||u,(t, • )||L2(n)R(12 - t1 )1/2 + X Ц fb2(t, x)u2Xi
t1 <t<t2 2a1 JVJ
12 i = 1 л n
n + 1 2
2a1
"L2 (Q( h, t2)) \
+
dx
(1.9)
dt.
У
I = 1 (1 П
Для оценки последнего слагаемого в (1.9) воспользуемся условием (В). В результате получим
t1 n
N t2/ N
fb2(t, x)u2dx dt< J supb2(t, x) fu2dx ,
J " У vx en „ '
dt < K2('ъ t2) sUP |K(t, • )|L2(n).
U < t < ^
n
+
n2
Подставляя эту оценку в (1.9), приходим к неравенству
2II Ux (t2, ' ¿2(П) + '41 АЫИ L2(Q( 1t2)) < ^ll ux ( 'ь ' )|| i2(n> + f L (ö( 'i, '2)) +
+ (R(t2 - 'i)1/2 + K](ti, '2)} sup \\ux(t, • )||L.
[ 2ai Jt1 < t < t2
(1.10)
Следуя [11, с. 164—166], разобьем отрезок [0, Т] на частичные отрезки [тк -1, тк] длины Ах, 0 = т0 < <т1 < ... < тт = Т(последний отрезок [тт-1, тт], возможно, длины, меньшей Ат), так, чтобы
пах (ЯАт1/2 + пп-++-2к1(тк_ 1,то}< 2. (1.11)
1,..., 4 2а1 ] 4
max
k
Тогда из (1.10) получим оценку
1 sup II ux( t, • ^(П) + fllAU WC*- i,Tk)) < ^ Ux(Tk - 1, • ^(П) + Q(Tk- 1,Tk)) , (1.12)
Tk - 1 < t <Tk 1
из которой, очевидно, следует, что
sup \\ux(t, • )||L2(0) + IIAu\\L2(Q) < C1 (R)[||U0||L2(O) + If L2(Q)].
0 < t < T
Учитывая еще известное неравенство
lluJl2(q) < Aull l2(Q)
11 11Х
(см., например, [12, с. 210]) и оценку Цм^^ в силу уравнения (1.1), получаем искомую оценку (1.7).
Имея оценку (1.7), стандартным методом (например продолжением по параметру) получаем однозначную разрешимость прямой задачи (1.1)—(1.2) в Ж2,0 (0). Теорема 1.1 доказана.
2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Выведем операторное уравнение для неизвестного коэффициента у(1). Для удобства положим
Дг) = |Г(г, х)ю(х)йх. (2.1)
п
Пусть у(?) — произвольная функция из Х2([0, Т]). Умножим уравнение (1.1) на ю(х) и проинтегрируем по области О. Учитывая условие (1.3) и обозначение (2.1), приходим к соотношению
у( г) = —-—(д г) - ф' (г) + |а (г, х)Амю(х) йх - ^ |Ь;(г, х) мхю(х) йх >. (2.2)
^ п ' = 1 п ^
Введем нелинейный оператор М : Х2([0, Т]) ^ Х2([0, Т]) при помощи формулы
М(у) = —1_(дг) - —'(г) + |а( г, х)Амю(х) йх - ^ |Ь;(г, х) их.ю(х) йх1, (2.3)
^ п ' =1 п ^
где и(1, х) — обобщенное решение прямой задачи (1.1)—(1.2) с выбранным коэффициентом у(?) в уравнении (1.1).
В силу предположений (А)—(Е) и теоремы 1.1 оператор М определен корректно. В результате соотношение (2.2) можно переписать в виде уравнения
у = М (у). (2.4)
Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (А)—^). Тогда для того чтобы пара {и^, x), у(0} была обобщенным решением обратной задачи (1.1)—(1.3), необходимо и достаточно, чтобы эта пара удовлетворяла соотношениям (1.1), (1.2), (2.4).
Доказательство. Необходимость доказана выше при выводе с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.