научная статья по теме ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ МЛАДШИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Математика

Текст научной статьи на тему «ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ МЛАДШИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1183-1195

УДК 519.633.9

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ МЛАДШИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© 2015 г. Т. И. Бухарова, В. Л. Камынин

(115409 Москва, Каширское шоссе, 31, НИЯУ МИФИ) e-mail: bukharova_t@mail.ru, vlkamynin2008@yandex.ru Поступила в редакцию 01.12.2014 г.

Изучается обратная задача восстановления коэффициента поглощения из L2 в многомерном уравнении теплопроводности при некотором дополнительном условии интегрального наблюдения. При этом предполагается принадлежность младших коэффициентов уравнения пространству Лебега. Установлены достаточные условия существования, единственности и устойчивости к возмущению входных данных решения обратной задачи. Эти условия сформулированы в виде легко проверяемых неравенств. Библ. 13.

Ключевые слова: коэффициентная обратная задача, параболические уравнения, условие интегрального наблюдения, условия существования и единственности решения, устойчивость решения.

DOI: 10.7868/S0044466915070054

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассматриваются вопросы существования, единственности и устойчивости относительно возмущения входных данных решения обратной задачи об определении пары функций {u(t, x), y(t)} для параболического уравнения

n

ut - a ( t, x )A u + ^ bi( t, x)u%i + Y(t)u = f(t, x), (t, x) e Q = [0, T] xfi, (1.1)

i = 1

с начальными и граничными условиями

u(0, x) = u0(x), x eQ; u(t, x) = 0, (t, x) e [0, T] x dQ, (1.2)

и дополнительным условием интегрального наблюдения

^u(t, x)ffl(x)dx = ф(t), t e[0, T]. (1.3)

n

Здесь Q — ограниченная область в [Rn с гладкой границей dQ, функции a(t, x), b(t, x), f(t, x), u0(x), ю(х), ф(0 являются известными.

Такого рода задачи возникают при исследовании тепловых, диффузионных процессов в случае, когда ряд физических характеристик рассматриваемой среды недоступен для непосредственного измерения. В то же время возможно получение дополнительной информации о характере самого процесса. В частности, задаваемое в настоящей работе дополнительное условие (1.3) с физической точки зрения может, например, означать измерение температуры исследуемой среды с помощью датчика, производящего усреднение по области.

Особенностью предлагаемой постановки задачи является то, что коэффициенты b(t, х) предполагаются неограниченными в Q функциями, равно как и неизвестный коэффициент y(t).

В разд. 2 доказана теорема существования обобщенного решения задачи (1.1)—(1.3), которая в силу нелинейности данной обратной задачи носит локальный по времени характер. Попутно доказана и локальная теорема единственности. Получение данных результатов основано на доказательстве сжимаемости специального нелинейного оператора, входящего в уравнение для нахождения неизвестного коэффициента у(1). Это позволяет в дальнейшем применить метод итераций для приближенного нахождения данного коэффициента, что важно для возможного численного решения рассматриваемой обратной задачи.

В разд. 3 установлена теорема единственности обобщенного решения обратной задачи, которая носит уже глобальный характер.

В разд. 4 получена оценка устойчивости решения обратной задачи относительно изменений правой части /(?, х), начальной функции и0(х) и функции ф(?) из условия переопределения. Тем самым, при наложенных в работе условиях на входные данные обратной задачи (1.1)—(1.3) эта задача становится корректно разрешимой, что может быть, например, использовано при ее численном решении.

Коэффициентным обратным задачам с различными дополнительными условиями посвящена обширная литература. Что же касается обратной задачи определения коэффициента в младшем члене параболического уравнения с условием интегрального наблюдения вида (1.3), то укажем работы [1]—[5] и др.

Отметим, что, в отличие от настоящей работы, в [1], [2] старшие коэффициенты уравнения не зависят от 1, в [3], [4] рассмотрены параболические уравнения с дивергентной главной частью и с ограниченными младшими коэффициентами, в [5] рассмотрен случай параболического уравнения на плоскости с ограниченными младшими коэффициентами (само уравнение может быть высокого порядка).

Также отметим еще работы [6]—[10], где, в том числе, изучались обратные задачи определения младшего коэффициента, но с иными, нежели (1.3), дополнительными условиями.

В дальнейшем будем использовать обозначения

п

Ых = и\ + ... + иХп, Ыхх = ^ и^, о (г 1, гг) = [ ?ь гг ]хп, о < гх < г2 < Т;

I,] = 1

при этом 0(0, 1) = 0(0, 0(0, Т) = 0.

Банаховы пространства Ьр(0.), Ьр(0(1х, 12)), ЬГ([1Ъ ^]), Х^; 12, Хр(О)) = Ьр>Г(0(1Х, 12)), Ж (О),

Ж2 (0(11,12)), Ж ([0, Т]) с соответствующими нормами будем понимать в общепринятом смысле (см. [11]).

Через ЖХ 0 (0(11, 12)) будем обозначать подпространство функций 1(1, х) е ЖХ'Х (0(11,12)), которые обращаются в нуль на [11, 12] х дО.

Также будем использовать хорошо известные неравенства: арифметическое неравенство Ко-ши

\аЬ\ <-а2 + -2!-Ь2 Уб> 0, а, Ь е Я, (1.4)

Х Х б

и неравенство Пуанкаре—Стеклова

Ы 1(П) <0Х|| 1х\\¡х(п) V е ^х(О), 0 = 0(О) > 0. (1.5)

Относительно исходных данных задачи (1.1)—(1.3) будем предполагать, что входящие в них функции измеримы и удовлетворяют следующим условиям:

(A) 0 < a1 < a(t, x) < a2;

(B) b(t, x) e Z2(0, T; LM(Q)) = LM, 2(G), i = 1, 2, ..., n,

max \\b\\Lm 2(G(ti> ,2)) < Kb(t1, t^ Kb(0, T) = Kb,

i = 1, 2,n

(C) f(t, x) e L2(Q), |[/||l2(g) < Kf;

0 J „ „

(D) uo(x) e W (Q), ||u0||£2(П) < K

(E) |®(x)| < Kffl, fo(t)| >Фо > 0, ||Ф'||^2([0> r]) < K* ;

(F) Ju 0 (x)®(x)dx = ф(0).

n

Здесь a1, a2, K* , ф0, Kffl = const > 0, K* = const > 0, Kb(t1, t2) — неотрицательная величина, зависящая от t1 и t2, причем из условия (В) следует, что Kb(t1, t2) ^ 0 при t1 — t2 ^ 0.

Определение. Обобщенным решением обратной задачи (1.1)—(1.3) будем называть пару функций

1 2

{u(t, x), y(t)}, u(t, x) e W2,0 (Q), y(t) e L2(0, T) таких, что эти функции удовлетворяют уравнению (1.1) почти всюду в Q, a u(t,x) удовлетворяет условиям (1.2), (1.3).

Для исследования обратной задачи (1.1)—(1.3) нам понадобятся разрешимость прямой задачи (1.1), (1.2) при известной функции y(t) e L2(0, T) и некоторые оценки обобщенного решения u(t, x) этой задачи.

Для полноты изложения приведем доказательство соответствующей теоремы.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия (A)—(D). Пусть y(t) e L2(0, T) — известная функция, причем

\\L2(0, T)

< R.

(1.6)

Тогда существует единственное обобщенное решение х) е ^ 0 (О) прямой задачи (1.1), (1.2) и для него справедлива оценка

"u"w2'2 (Q)

< с(R){|f L2(Q) + llu0|| L2(n) } ,

(1.7)

где c(R) = const > 0 зависит от n, Т, mes Q, констант из условий (А)—^), а также от R.

Доказательство. Докажем сначала априорную оценку (1.7) при условии, что решение задачи (1.1), (1.2) существует.

Умножим (1.1) на —Au и проинтегрируем по Q(t1, t2). После интегрирования по частям с учетом условий (А), (1.6) и применения неравенства (1.4), получим

12 2 1

2IIux('ь • l2(П) + aJ A4L2(q(h, tj) < 2IIux(t1' '

llL2(n) + X i = 1

J bi(t, x)u„ Audxdt

Q (t1, '2)

i* 2 i* 12 n + 1

J y(t)ujxdt + J f(t, x)Audxdt< ux(tb • )||l2W + -y e||A.

1, У Q(tl, t2)

n

+ X J b2(t'x)uldxdt + fL2(q(t1,t2)) + tisyLi]gJk(^ • L2(n)R(12-11)

Q( 11, <2)

u||L2Q( (2) +

1/2

(1.8)

i = 1Q ( ti, h)

Положим в (1.8) s = a1/(n + 1), тогда имеем неравенство

1

211 ux( t2, • L2(n) + aril AuIIl2(Q( t1, t2))- 211 ux\4- n |L2(n)

12

,< - ux(h,

+ sup ||u,(t, • )||L2(n)R(12 - t1 )1/2 + X Ц fb2(t, x)u2Xi

t1 <t<t2 2a1 JVJ

12 i = 1 л n

n + 1 2

2a1

"L2 (Q( h, t2)) \

+

dx

(1.9)

dt.

У

I = 1 (1 П

Для оценки последнего слагаемого в (1.9) воспользуемся условием (В). В результате получим

t1 n

N t2/ N

fb2(t, x)u2dx dt< J supb2(t, x) fu2dx ,

J " У vx en „ '

dt < K2('ъ t2) sUP |K(t, • )|L2(n).

U < t < ^

n

+

n2

Подставляя эту оценку в (1.9), приходим к неравенству

2II Ux (t2, ' ¿2(П) + '41 АЫИ L2(Q( 1t2)) < ^ll ux ( 'ь ' )|| i2(n> + f L (ö( 'i, '2)) +

+ (R(t2 - 'i)1/2 + K](ti, '2)} sup \\ux(t, • )||L.

[ 2ai Jt1 < t < t2

(1.10)

Следуя [11, с. 164—166], разобьем отрезок [0, Т] на частичные отрезки [тк -1, тк] длины Ах, 0 = т0 < <т1 < ... < тт = Т(последний отрезок [тт-1, тт], возможно, длины, меньшей Ат), так, чтобы

пах (ЯАт1/2 + пп-++-2к1(тк_ 1,то}< 2. (1.11)

1,..., 4 2а1 ] 4

max

k

Тогда из (1.10) получим оценку

1 sup II ux( t, • ^(П) + fllAU WC*- i,Tk)) < ^ Ux(Tk - 1, • ^(П) + Q(Tk- 1,Tk)) , (1.12)

Tk - 1 < t <Tk 1

из которой, очевидно, следует, что

sup \\ux(t, • )||L2(0) + IIAu\\L2(Q) < C1 (R)[||U0||L2(O) + If L2(Q)].

0 < t < T

Учитывая еще известное неравенство

lluJl2(q) < Aull l2(Q)

11 11Х

(см., например, [12, с. 210]) и оценку Цм^^ в силу уравнения (1.1), получаем искомую оценку (1.7).

Имея оценку (1.7), стандартным методом (например продолжением по параметру) получаем однозначную разрешимость прямой задачи (1.1)—(1.2) в Ж2,0 (0). Теорема 1.1 доказана.

2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Выведем операторное уравнение для неизвестного коэффициента у(1). Для удобства положим

Дг) = |Г(г, х)ю(х)йх. (2.1)

п

Пусть у(?) — произвольная функция из Х2([0, Т]). Умножим уравнение (1.1) на ю(х) и проинтегрируем по области О. Учитывая условие (1.3) и обозначение (2.1), приходим к соотношению

у( г) = —-—(д г) - ф' (г) + |а (г, х)Амю(х) йх - ^ |Ь;(г, х) мхю(х) йх >. (2.2)

^ п ' = 1 п ^

Введем нелинейный оператор М : Х2([0, Т]) ^ Х2([0, Т]) при помощи формулы

М(у) = —1_(дг) - —'(г) + |а( г, х)Амю(х) йх - ^ |Ь;(г, х) их.ю(х) йх1, (2.3)

^ п ' =1 п ^

где и(1, х) — обобщенное решение прямой задачи (1.1)—(1.2) с выбранным коэффициентом у(?) в уравнении (1.1).

В силу предположений (А)—(Е) и теоремы 1.1 оператор М определен корректно. В результате соотношение (2.2) можно переписать в виде уравнения

у = М (у). (2.4)

Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (А)—^). Тогда для того чтобы пара {и^, x), у(0} была обобщенным решением обратной задачи (1.1)—(1.3), необходимо и достаточно, чтобы эта пара удовлетворяла соотношениям (1.1), (1.2), (2.4).

Доказательство. Необходимость доказана выше при выводе с

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком