РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 6, с. 683-688
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2:621.371
ОБРАТНЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
© 2004 г. В. В. Шевченко
Поступила в редакцию 07.10.2003 г.
Рассмотрено прохождение плоской волны через плоскую границу в среду с отрицательными действительными частями диэлектрической и магнитной проницаемостей и прохождение волн через плоскослоистую структуру, содержащую слои с такими средами.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] рассмотрены обратные плоские волны в безграничных однородных изотропных средах с одновременно отрицательными значениями действительных частей диэлектрической и магнитной проницаемостей [2, 3]. Ниже исследована структура обратной плоской волны, возбуждаемой на плоской границе такой среды при падении на границу прямой (обыкновенной) плоской волны. Получены также коэффициенты отражения и прохождения волн при распространении плоских волн через плоскослоистую структуру, содержащую слои, проницаемости сред которых имеют отрицательные действительные части. Для краткости такие среды будем называть отрицательными в отличие от обычных (положительных) сред с положительными действительными частями про-ницаемостей.
1. СТРУКТУРА ПОЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ, ПРОШЕДШЕЙ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ ГРАНИЦУ
На рис. 1 показаны среды 1 и 2, а также направления падающей волны на плоскую границу между двумя средами, отраженной волны и предположительно прошедшей через границу волны. Аналитически при гармонической временшй зависимости полей этих волн описывающие их функции можно представить соответственно в виде
F0 (у, z) = exp '[ю t - kn1( y cos ф1 + z sin ф1 )], F1 (y, z) = R exp i [ю t + kn1 (y cos ф1 - z sin ф1)], (1) F2( y, z) = T exp '[ю t - kn2 (y cos ф2 + z sin ф2)],
где буквой F обозначена компонента поля Ex или Hx в зависимости от поляризации волн, R и T- коэффициенты отражения и прохождения (амплитуду падающей волны считаем равной единице), k = ю/с, ю - круговая частота, с - скорость света, n1, n2 - показатели преломления плоских волн в соответствующих средах. Условия сшивания касательных составляющих полей волн на границе
(при y = 0) приводят к хорошо известному [4, 5] соотношению Снеллиуса
n1sin ф1 = n2sin ф2,
(2)
при этом показатели преломления п1, п2 связаны с относительными проницаемостями сред £1, ц1, е2, ц2 выражениями
/ ч 1/2 , ,1/2
ni = (£1 |) , n2 = (£2^2) •
(3)
Соотношение (2) в случае обычных (прямых) плоских волн и сред без потерь определяет угол преломления прошедшей волны ф2, если задан угол падающей волны ф1. Исследуем структуру поля прошедшей волны в случае, когда вторая среда является отрицательной. При этом среды имеют потери, т.е. проницаемости - комплексные величины:
£1 = £1 + i £1, |1 = |1 + |1,
£2 = £2 + i£2, I2 = |2 +
(4)
где действительные части удовлетворяют соотношениям
£1,11 > 0, £2,|2 < 0,
(5)
У Ф22/
2 /
1 /Ф1 \ z
Рис. 1.
iN"
tv'i
v'' < 0
•N
®N2
v2 = 0
J
N'
®
n2
.V2
Рис. 2.
Рис. 3.
а мнимые - соотношениям
и и и и
£1,^1,82,^2 < 0. (6)
В этом случае также комплексные и величины
I . и I . и /гтч
п1 = п1 + т1, п2 = п2 + т2, (7)
где [1]
п\ > 0, п2 < 0, п/, п'2 < 0. (8)
При комплексных п1, п2 соотношение (2) и функция поля прошедшей волны ^2(у, z) требуют специального рассмотрения, поскольку угол ф2 оказывается тоже комплексным. Угол ф1 при этом считаем действительным, т.е. в первой среде распространяется обычная (прямая) плоская волна.
Рассмотрение поля прошедшей волны в (1) проведем аналогично тому, как исследовано поле, проникающее через границу в электропроводящую среду [4, 5], при этом используем методику анализа волн в среде с 8', < 0, изложенную в [1]. С учетом (2) получим
V2 = v2 + iv'2 = ^cos ф2 = n2 (1-sin2 ф2 )1/2 =
/2 2.2 ч 1/2 ..1/2 = (n2- n1sin ф1) = N ,
где согласно (3)
(9)
« и г\
верхности, для которой < 0: поле экспоненциально спадает при распространении волны во второй среде при у2' < 0. С этого листа комплексная функция \"2 = И1/2 переводит значения N в значения у2 на нижнюю полуплоскость \"2 (рис. 3). В частности, при ф1 = 0 (нормальное падение плоской волны на границу) у2 = (И2)1/2, где N = 82|2. Соответствующие точки показаны на рис. 2 и рис. 3 (ср. рис. 2 и рис. 3 в [1]), из которых видно, что для рассматриваемых сред действительная часть
v2 < 0.
(11)
Как и для волн, проникающих в проводящую среду [4, 5], поле прошедшей во вторую среду волны представляет собой так называемую обобщенную плоскую волну, у которой направление изменения фазы и направление экспоненциального затухания волны не коллинеарны, т.е. составляют некоторый угол. Действительно, пусть экспоненциальное затухание волны происходит в направлении угла а, т.е. в направлении координаты
Уа
y cos а + z sin а.
Поскольку при этом
па cos а = v2, па sin а = n 1 sin ф1,
(12)
(13)
N = N' + iN" = е2ц2- е1ц1 sin ф1,
2
N = е2м.2-е21^2-(е1 М1 -е1 М1)sin фь (10)
2
N = е2М2 + е2М2- (е^ + е1 М1) sin ф1.
На рис. 2 представлена комплексная плоскость N, а точнее, один лист двухлистной римановой по-
то угол а и показатель затухания волны па соответственно равны
íni
а = arctg--sinф1 ] > 0,
Па = V 2
2
2
1 + I -г; | sin ф1
vV2-
1/2
(14)
< 0.
v
Аналогично вычисляются угол и показатель изменения (роста) фазы волны:
в = аг^ [-^т ф1]< 0,
пв = V
42
1 ( 1 -2 1 + ) 8Ш ф1
1/2
(15)
< 0.
Согласно (15), пр < 0, и хотя направление роста фазы коллинеарно оси координаты
ур = у ео8 р + г э1п р,
(16)
происходит рост фазы в направлении, противоположном возрастанию данной координаты. Именно это отличает исследуемую волну от обычной обобщенной плоской волны. Прошедшую во вторую среду волну можно назвать обратной обобщенной плоской волной. В частности, при ф1 = 0, т.е. при нормальном падении волны на границу раздела сред, согласно (9) получим
а = р = 0, па = п2', пр = п2.
(17)
У
\ а
2 рр%
1 / ф1 г
Рис. 4.
В этом случае во второй среде перпендикулярно к границе распространяется простая (не обобщенная) обратная плоская волна [1].
На рис. 4 стрелками представлены направления роста фаз падающей, отраженной и прошедшей волн и направление экспоненциального затухания прошедшей волны, соответствующие результатам (12)-(16). При этом направления экспоненциального затухания падающей и отраженной волн совпадают с направлениями роста фаз, поскольку эти волны являются обычными (не обобщенными) прямыми волнами.
Определим еще для прошедшей волны направление и величину потока энергии (мощности). Для этого вычислим компоненты вектора Умо-ва-Пойнтинга.
На основании (1), (2), (9) компоненты поля прошедшей волны для одной из поляризаций получим из уравнений Максвелла в виде
Ех = у2 (У, г),
—Е =
г ке2 ду
I д У \2r-m = —
где - размерная константа, равная 377 Ом. На основании этих выражений компоненты вектора Умова-Пойнтинга для первой поляризации равны соответственно
Vе — Т7 и* — Ьу = -ЕхН * =
2 |И2
лл! Р2\
К = ЕхН* =
п*
ч \т*\2 •
¡го-*;!р2\ 81пф1, С I
для второй поляризации
го
Ьт = ЕН* = ^ ^2\рт2
У 2 ^ £2
2
го
т г7 гтф _ Ь пи т?т\2
т
Ьг = -ЕуН* =
Р2\ ЯПф1
(20)
(21)
го Н = ^У2
^ Ну к| дг
п1 Э1П ф1
Нг = - ^ду = - -^2, г к | ду | 2
а для другой поляризации -
Нх = У(у, г),
( д Г.
1Е = -
Г0 Еу к £ 2 дг
п1э1п ф
1 у,
(18)
(19)
где звездочка означает комплексное сопряжение, а средние по времени компоненты вектора потока мощности соответственно равны
ье = ^е ьу =
|2V + |2^2 I М 2
2112|2 С0
К
Б, = =
|2п1 + |2пц _е|2 .
2| |22С0
7-?С —
Э1пф1
тт 1„ „т £2^2 + £2^2 5-0 еН2
К = чКеК = -:—^— С \р2\ ,
2 2 £2 2
2
2
е
2
2
= -^е £ =
82 п/ + 82 Щ 2
2182
т-т]2 .
С, 1^2 | Э1Пф/,
где согласно (1), (12)-(14) имеем
|^2|2 = И 2ехр (2 пауа),
22 т 2 т
^ = Т
(23)
■21 = Т I ехр(2паУа),
величины уа и па определены в (12), (14). Следовательно, направления потока энергии можно описать при помощи углов ¥е, ¥т, для которых справедливы соотношения
£
¥ = ^ =
» » и м
| 2п1 + | 2п
£ I V + I V
— 8Ш фl,
т
. т £
^ ¥ = -т
£У
(24)
82 п, + 82 п, 2 1 ^яП ф/,
82 V + 82 V
22
а величины средних потоков энергии соответственно равны
-е -е 2 -е 2 1/2
£ = [(£) + (£) ] ,
Г = [(Гу )2 + (% )2 ]1/2.
(25)
На рис. 4 показан угол ¥. Он оказывается отрицательным при выполнении условий
11 м м 11 11 и
|2п1 + |2п1 < 0, 82п1 + 82п1 < 0,
(26)
Ре т ъ
= ¥ = ¥ = ф2 < 0,
имеет место при
I
п2
п = п 1 -.
(28)
(29)
Этот результат можно получить достаточно просто следующим образом.
При выполнении (29) из равенства (2) следует
п1Э1П ф1 = п2Э1П ф2,
(30)
т.е. угол ф2 оказывается действительным. С учетом этого соотношения согласно (9) имеем
v2 = п2еоэ ф2, v2 = п2еоэ ф2,
(31)
а на основании (14), (15), (24), (29) получим равенства (28).
Таким образом, кроме нормального падания волны на границу раздела сред, и в этом случае прошедшая волна представляет собой простую (не обобщенную) обратную плоскую волну. При этом важно отметить, что последний результат не реализуется, если обе среды имеют потери, поскольку при выполнении соотношений (8) в правой части равенства (29) из него следует, что п'2 > 0, т.е. если первая среда поглощает энергию, то вторая среда должна быть активной и не поглощать, а усиливать энергию волны [1].
2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ
И ПРОХОЖДЕНИЯ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН ЧЕРЕЗ ПЛОСКИЕ ГРАНИЦЫ И ПЛОСКИЕ СЛОИ
Приведем необходимые соотношения, сохраняющие справедливость для рассматриваемых сред при наличии в них потерь. Указанные коэффициенты на границе сред в оптике - коэффициенты Френеля - выводят, как известно [4-7], путем приравнивания касательных к границе составляющих полей падающей, отраженной и прошедшей волн. Представим эти коэффициенты в виде
т.е. при достаточно малых потерях поля волн в средах. Напомним, что рассмотрение проводится при выполнении соотношений (5)-(8).
Из выражений (15), (24) следует, что при 82', |2 = = 0, т.е. при отсутствии потерь во второй среде,
р = ¥е = ¥т < 0, (27)
где учтено соотношение (11).
Другой случай, когда выполняются эти, а также дополнительные равенства
Ке =
21- 22
21 + 2
, Те =
2 г?
2
21 + г2
т т т
„
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.