РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 11, с. 1285-1294
= ОБЗОР
УДК 621.399; 535.58
ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ И ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ РЕФРАКЦИЯ В ФОТОННЫХ (ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ) КРИСТАЛЛАХ © 2004 г. П. А. Белов, К. Р. Симовский, С. А. Третьяков
Поступила в редакцию 24.04.2003 г.
Представлен детальный обзор обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных (электромагнитных) кристаллах. Рассмотрены вопросы классификации прямых и обратных волн в линейных средах, а также связь этих понятий с эффектом рефракции на границе раздела кристаллической среды и изотропного диэлектрика. Освещена роль ориентации границы раздела по отношению к внутренней геометрии среды. Рассмотрены случаи существования эффекта отрицательной рефракции без обратной волны; а также отрицательной рефракции и возбуждения обратной волны в кристалле, не обладающем магнитными свойствами.
ВВЕДЕНИЕ
Изучаемые в данной статье эффекты обратных волн и отрицательной рефракции присущи изотропной среде, обладающей отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями (е < 0, ц < 0). Такая среда была предложена к рассмотрению в 60-е гг. В.Г. Веселаго [1] (далее -среда Веселаго). В отечественной литературе употребляются такие термины как "левша" [1], среда с приходящими волнами [2], среда с отрицательной дисперсией [3], (см. также обзор русскоязычной литературы [3]). В зарубежных источниках используются такие понятия, как среда с обратными волнами ( backward-wave medium) [4, 5], "левша" (left-handed medium) [6-9], среда с отрицательным индексом рефракции (negative-index media) [10], а также дважды отрицательная среда (double negative medium) [11]. Теоретические предсказания Веселаго были экспериментально проверены группой Р. Шелби и Д. Смита [6-8] в микроволновом диапазоне при помощи одноосного аналога среды Веселаго, состоящего из решетки проводов и резонансных рассеивателей с магнитными свойствами.
Среда Веселаго привлекает исследователей своими потенциальными применениями не меньше, чем своими необычными свойствами. В качестве нескольких наиболее известных применений следует назвать возможность создания идеальной плоской псевдолинзы Д. Пендри [12], а также резонатора Н. Энгета с размером, много меньшим длины волны [13]. (Псевдолинзой мы называем оптическую систему, которая собирает расходящиеся от источника лучи в фокальной точке, но не может собрать параллельный пучек лучей.) Следует отметить, что каждая из предложенных выше систем использует различные свойства среды Веселаго. В псевдолинзе Пендри используется эффект отрицательной рефракции для фокуси-
ровки излучения. При этом эффект обратной волны применяют лишь для того, чтобы в фокусе псевдолинзы волны собрались в фазе, что может быть получено и при помощи прямых волн, обладающих отрицательной рефракцией [14, 15]. Идеальность же линзы Пендри обусловлена свойством усиления затухающих пространственных мод (в данной статье этот эффект не обсуждается). Резонатор Энгета принципиально использует свойства обратной волны, а свойства отрицательной рефракции являются в этом случае вторичными и необязательными. Таким образом, понимание связи между обратными волнами и отрицательной рефракцией становится крайне важным.
Возникает вопрос: могут ли отрицательная рефракция и обратные волны существовать друг без друга и оказывать влияние на поведение электродинамических структур по отдельности? Кроме того, известно, что получить магнитные свойства сред на сверхвысоких частотах крайне сложно. В случае частот, близких к диапазону видимого света, магнитные свойства материалов практически исчезают, так что ц = 1, поэтому в природе не существует сред Веселаго (е < 0, ц < 0). Таким образом, крайне важным является вопрос о возможности получения эффектов обратных волн и отрицательной рефракции в немагнитных материалах. Данная статья отвечает на оба поставленных вопроса, причем положительно. При этом в качестве немагнитных материалов рассматриваются фотонные (электромагнитные) кристаллы (см., например, [16, 17]).
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОНЯТИЙ
Прежде всего определим понятия прямых/обратных волн и положительной/отрицательной рефракции. Ограничимся случаем однородных плоских волн в средах без потерь (волновой век-
(а)
(б)
5
д
Рис. 1. Прямая (а), 5 • д > 0 и обратная (•) волна,
5 • д < 0.
(а)
(б)
Рис. 2. Положительная (а), 5 • кг > 0 и отрицательная (б) рефракция, 5 • кг < 0.
(а)
(б)
Рис. 3. Прямая (а), д • п > 0 и обратная (б), д • п < 0 волна по отношению к границе раздела.
тор веществен). Будем использовать следующую классификацию.
1. По направлению волнового вектора д по отношению к усредненному по времени и периоду
вектору Пойнтинга 5 (см. рис. 1) :
прямая волна - волна, для которой волновой
вектор д и вектор Пойнтинга 5 образуют острый
угол (5 • д > 0);
обратная волна - волна, для которой волновой вектор д и вектор Пойнтинга 5 образуют ту-
пой угол (5 • д < 0).
2. По направлению усредненного по времени и
периоду вектора Пойнтинга 5 преломленной волны по отношению к тангенциальной компоненте кг волнового вектора к плоской волны, падающей на границу раздела из однородного диэлектрика (см. рис. 2):
положителъная рефракция - вектор Пойнтин-га преломленной волны 5 и тангенциальная компонента волнового вектора падающей волны кг образуют острый угол (5 • кг > 0);
отрицателъная рефракция - вектор Пойн-
тинга преломленной волны 5 и тангенциальная компонента волнового вектора падающей волны
кг образуют тупой угол (5 • кг < 0).
3. По направлению волнового вектора д преломленной волны по отношению к границе раздела при рефракции плоской электромагнитной волны, падающей из однородного диэлектрика (см. рис. 3):
прямая волна по отношению к границе разде-
и и
ла - волновой вектор преломленной волны д и внутренняя нормаль к границе раздела среды п образуют острый угол (д • п > 0);
обратная волна по отношению к границе раздела - волновой вектор преломленной волны д и внутренняя нормаль к границе раздела среды
п образуют тупой угол (д • п < 0).
Отметим, что свойство волны быть прямой или обратной определяется исключительно свойствами самой среды без привлечения задачи рефракции. Однако эффекты положительной или отрицательной рефракции, а также прямой или обратной волны по отношению к границе раздела включают необходимость рассмотрения конкретной задачи рефракции. В этом случае огромную роль играет расположение границы раздела относительно внутренней структуры среды.
Преломление на границе изотропного диэлектрика и среды Веселаго является примером, когда, в соответствии с изложенными выше определениями, одновременно наблюдаются эффекты обратной волны, отрицательной рефракции и обратной волны по отношению к границе раздела [1]. Далее рассмотрим возможности наблюдения описанных эффектов по отдельности.
Малые изотропные рассеиватели
Рис. 4. Геометрия фотонного (электромагнитного) кристалла.
2. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
Наиболее интересными структурами, в которых можно наблюдать эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, являются периодические структуры [18, 19]. В частности, некоторые фотонные (электромагнитные) кристаллы [3, 14, 15, 20, 21] при определенных условиях обладают подобными свойствами. В данном разделе рассмотрены основные закономерности проявления таких эффектов в трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллах общего вида. Однако в качестве примера будет рассмотрен элементарный фотонный (электромагнитный) кристалл, образованный трехмерной кубической решеткой а х а х а малых (по сравнению с периодом решетки и длиной волны во вмещающей среде) изотропных рассеивателей, помещенных в изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е (рис. 4).
Как будет показано ниже (см. также [22]), дисперсионное уравнение такой структуры вдали от запрещенных зон может быть записано приближенно в следующем виде:
qx +
2 пт
+1 qy + ■
2 п n
+1 qz +
2 п l
K\ (1)
сов решетки (т.е. удалена от запрещенных зон), то эффективно волна (главная пространственная гармоника) распространяется так же, как во вмещающей изотропной среде. Однако (1) учитывает периодичность кубической решетки за счет членов 2пп/а, так что кроме главной гармоники, лежащей в первой зоне Бриллюэна, учитываются и высшие типы волн.
При анализе рассматриваемой системы удобно пользоваться изочастотными характеристиками кристалла [3] (контурами или поверхностями зависимости компонент волновых векторов среды при фиксированной частоте). В соответствии с (1)
Нормированная частота, ka/(2п) 1.0
0.8
здесь ц = (цх, цу, цг)г - волновой вектор моды кристалла, К = л/ёю/с - волновое число вмещающей среды (с - скорость света в вакууме); т, п, I - произвольные целые числа. Это уравнение адекватно описывает дисперсионные свойства кристалла в глубине зон распространения (первая, вторая и третья частотные полосы на рис. 5). Приближение, которому соответствует уравнение (1), заключается в том, что если частота находится достаточно далеко от пространственных резонан-
0.6
0.4
0.2
/
III у/
\ —
II
?— " \
у I
/ 1 1 \
Г
X
M
Г
Рис. 5. Двумерная дисперсионная диаграмма для фотонного (электромагнитного) кристалла, образованного кубической решеткой малых изотропных рассеивателей (Г = 0, 0, 0)T, X = (п/а, 0, 0)T, М = (п/а, п/а, 0)T- точки первой зоны Бриллюэна); выделены первая I, вторая II и третья III частотные полосы.
поверхности изочастот рассматриваемого кристалла являются сферами с центрами в точках с координатами (2пт/а, 2пп/а, 2п1/а)Т и радиусом К. Эти сферы изочастот не пересекаются при Ка < п (а < Х/2), а при Ка > п образуют множественные пересечения (их количество тем больше, чем больше величина Ка). С практической точки зрения более удобным оказывается использование двумерных изочастотных характеристик в виде контуров, являющихся сечениями изочастотных поверхностей плоскостями. Например, далее будут использоваться изочастоты (дх, ду), соответствующие условию дг = 0. Для рассматриваемого кристалла контуры изочастот являются окружностями с центрами в точках с координатами (2пт/а, 2пп/а) и радиусом К (не пересекающиеся при Ка < п и пересе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.