ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 3, с. 519-528
УДК 519.633
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
НАВЬЕ—СТОКСА1)
© 2014 г. А. Ю. Чеботарев
(690950 Владивосток, ул. Суханова, 8, Дальневосточный федеральный ун-т; ИПМ ДВО РАН)
e-mail: chebotarev.ayu@dvfu.ru Поступила в редакцию 14.01.2013 г. Переработанный вариант 09.10.2013 г.
Рассматривается обратная задача для нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве, состоящая в отыскании правой части, являющейся линейной комбинацией данных функционалов, по заданным значениям этих функционалов на решении. Установлены достаточные условия существования решения и показано, что множество решений гомеоморфно конечномерному компакту. В качестве приложений рассмотрена граничная обратная задача для трехмерных уравнений тепловой конвекции вязкой несжимаемой жидкости и обратная задача магнитной гидродинамики. Библ. 18.
Ключевые слова: операторные уравнения Навье—Стокса, уравнения тепловой конвекции, уравнения магнитной гидродинамики, обратные задачи, теоремы существования решений.
DOI: 10.7868/S004446691403003X
1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА НАВЬЕ-СТОКСА
Пусть V и H — вещественные гильбертовы сепарабельные пространства такие, что V z H = = H с V, при этом вложение V с H является плотным, непрерывным и компактным. Здесь H', V' — пространства, сопряженные с H и V. Обозначим, соответственно, через у • у, | • | нормы в V, H, а через (f, v) — значение функционала f е V' на элементе v е V, совпадающее со скалярным произведением в H, если f е H; ((•,•)) — скалярное произведение в пространстве V.
Рассмотрим следующие линейные непрерывные операторы A0 : V ^ V', A1 : H ^ H такие, что
(AoУ, y) >p||y||2, (Aoy, z) = (AqZ, У), (Ay z) <РЫ-|4 P> 0, p> 0. (1)
В дальнейшем, не нарушая общности, считаем, что ((y, z)) = (A0 y, z).
Пусть B : V х V ^ V' — билинейный непрерывный оператор такой, что
(B(y, z), z) = 0 V y, z e V. (2)
Из условия ортогональности (2) следует, что (B(y, z), w) = -(B(y, w), z). Будем предполагать справедливость следующего неравенства, которое соответствует оценкам конвективных членов в трехмерных моделях динамики несжимаемой жидкости:
(B(yi, y2), Уз) < сМ/4 -Ы3/4 Ч 1У21 • УЗ11/4 -\\УЗ\\3/4, (3)
где С1 > 0 не зависит от yk е V.
Пусть A = A0 + A1; B[y] = B(y, y), f e V'. Нелинейное операторное уравнение
Ay + B[y] = f (4)
моделирует стационарные краевые задачи для уравнений Навье—Стокса, уравнений тепловой конвекции и магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости (см. [1]—[5]).
Для постановки обратной задачи рассмотрим линейно-независимую систему функционалов {Q1, Q2,... Qm} из V'. Обозначим через Тm их линейную оболочку и предположим, что неизвестная
1) Работа выполнена при финансовой поддержке ДВФУ и ДВО РАН (проект 12-Ш-А-01М-006).
правая часть в (4) такова, что / - е У т, где е V', и заданы значения указанных функционалов на решении у е V. Таким образом, приходим к следующей постановке задачи.
Задача. Найти а = (аь а2,..., ат) е Кт, у е V, удовлетворяющие условиям
т
Ау + В[у] = + ^ак0к, (Оу,у) = Яу, у = 1,2,..., т, (5)
1
где Я = ..., Ят) е и е V' заданы.
При решении обратных задач для уравнений динамики жидкости требуется находить не только гидродинамические поля, но также и внешние условия, определяющие течение, и для постановки таких задач необходима дополнительная информация о решении уравнений гидродинамики. Задача (5) является абстрактным вариантом постановок обратных задач для уравнений динамики однородной вязкой несжимаемой жидкости, где в качестве дополнительной информации задается конечное число моментов решения, т.е. значений определенных функционалов на решении.
Различные постановки обратных задач для уравнений Навье—Стокса рассмотрены в [6]—[10]. В указанных работах изучены задачи, в которых требуется восстановить плотность внешних сил или некоторые коэффициенты уравнений по интегральному или функциональному переопределению. При этом результаты о разрешимости и единственности решений обратных задач для нелинейных уравнений Навье—Стокса получены при существенных ограничениях, таких как локальность по времени, малость числа Рейнольдса, рассмотрение плоских течений. В последние годы активно изучаются вопросы непрерывной зависимости решений обратных задач для уравнений Навье—Стокса от исходных данных (см. [11]—[13]). Постановки эволюционных обратных задач для уравнений Навье—Стокса, аналогичные задаче (5), рассмотрены в [14], [15].
Основная цель работы состоит в получении условий разрешимости задачи (5), проверка которых для различных моделей гидродинамики позволит получать теоремы существования решений конкретных обратных задач. Полученные условия разрешимости фактически демонстрируют тот факт, что разрешимость задачи (5) зависит от ограниченности множества всех возможных решений. Справедливость указанного факта и разрешимость краевых задач, например, для уравнений Навье—Стокса с однородными краевыми условиями и уравнений тепловой конвекции, которые моделируются уравнением (4), известна (см., например, [1], [3], [16], [17]).
Отметим, что для доказательства существования решения задачи (5) не используются результаты о разрешимости уравнения (4). Сформулированная обратная задача сводится к задаче отыскания неподвижной точки нелинейного оператора, определенного на пересечении ядер функционалов ©1,0>2, ••• От}.
Результат разрешимости задачи (5), несмотря на то, что он устанавливается достаточно просто, позволяет доказывать существование решений различных обратных задач, включая постановки с неизвестными граничными данными. В качестве примера в работе рассмотрена задача для уравнений Буссинеска с неизвестными значениями тепловых потоков через границу. Доказана также разрешимость обратной задачи магнитной гидродинамики с неизвестными сторонними токами, при условии, что размерность т пространства наблюдений достаточно велика.
2. РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Определим пространство Ж = {г е V : (Оу,г) = 0,у = 1,2,..., т}. Пусть пара {а,у} е Кт х V является решением задачи (5). Будем искать у в виде у = г + м, где м е Ж, (Оу,г) = Яу, у = 1,2,..., т. Пусть {гу}т с V — система, биортогональная с системой функционалов {Оу}5", (О,-, Му) = . Тогда в качестве г выберем сумму г = Ъ^Яугу.
Лемма 1. Пусть вектор я = (яъя2, ..., ят) е и элемент /й е V' заданы. Пара {а,у} е Ят х V является решением задачи (5), если и только если выполняются условия
у = г + м, а = (аьа,2,..., а т), а у = (Ау + В[у] - /Л, г) у = 1,2,..., т, (6)
где элемент м е Ж является решением задачи
(А(г + м) + В[г + м] - /¿,0 = 0 У^е Ж. (7)
Доказательство. Пусть м е Ж удовлетворяет условию (7). Поскольку для всех V е V элемент г = V — ^(О;, принадлежит Ж, то для суммы у = w + г получаем равенство
/ т \ т
у + Ау + В[у] - , V - ^ (О;, = 0 или Ау + В[у] - = ^ акОк,
V 1 ) 1
где а; = (Ау + В[у] - /й,г;). Поэтому пара {а, у} е Кт х V есть решение задачи (5).
Обратно, если {а, у} — решение задачи (5), то, полагая w = у — г, из определений Ж и системы {г;}т получаем соотношения (6), (7).
Определим нелинейный оператор Г : Ж ^ Ж, используя равенство
(№), О) = (/, - Аг - Ам - В[г + м], С) УС е Ж. (8)
Тогда, в силу равенства ((у, г)) = (А0у,г), элемент м е Ж является решением задачи (7), если и только если м = Г (м) и, на основании леммы 1, разрешимость задачи (5) эквивалентна существованию неподвижной точки оператора Г.
Лемма 2. Оператор Г вполне непрерывен.
Доказательство. Пусть м12 е Ж, V = м1 - м2. Из определения (8) следует равенство
((Г(М1) - Г(Ы О) = -(А^ + B(v, г + М1) + В(г + мъ V), С) УС е Ж. На основании свойств (1)—(3) получаем оценку
(№) - Г(ЫО) < (КРМ + СК 1/4(||г + + ||г + )М1/4 N13/4)й, (9)
где K — норма оператора вложения пространства V в H. Положим в неравенстве (9) С = = F(w1) - F(w2). Тогда имеем
11^1) - ^2)11 < (Kр| Ч3/4 + ск 1/4(||г + ^11 +1 |г + ^11 )| VI 3/4)| N11/4. (10)
Следствием неравенства (10) является непрерывность оператора Г, а также, в силу компактности вложения пространства V в Н, его компактность. Действительно, если некоторая последовательность {м;} с Ж с V слабо сходится в V, то она ограничена в V и сильно сходится в Н. Полагая м1 = му, м2 = мк в (10), получаем, что последовательность {Г)} фундаментальна в Ж и, значит, оператор Г вполне непрерывен.
Теорема 1. Пусть д = (дьд2,..., дт) е Кт, /й е V' и справедливо условие: найдутся постоянные ^ е (0,1), Сц > 0 и элемент гц е V такие, что
(О;,гД = д;, ; = 1,2,..., т;
2 (11) -(А* + В(г, гД г) < ц||г|| + С ^ е Ж.
Тогда существует решение задачи (5).
Доказательство. Для доказательства существования неподвижной точки вполне непрерывного оператора Г достаточно, на основании принципа Лере—Шаудера (см., например, [1]), показать равномерную по X е [0,1] ограниченность множества решений операторного уравнения мх = Xх). Предположив противное, получим последовательности {Xк} с [0,1], {мхк} с Ж такие,
что
Xк ^ X* е [0,1], м1 к ^+да, к ^+да.
Пусть мк = мХк / м Н . Тогда справедливо равенство
1 ((мьО) = ((Г(мХк(12)
Ак II
Ак
полагая в котором Z = wk, получаем 1 =
Xk ((F(wXk), Wk)) = \(fd - Ar - B[r] %) - ^kiA^k + r), Wk)- (13)
w Xk
w
Переходя к подпоследовательности, заключаем, что wk ^ w слабо в W, сильно в H, ||w|| < 1. В силу условий (1)—(3) имеет место сходимость
(B[Wk], Z) ^ (B[W] Z) V<Z g W; (AiwWk + B(Wk, r), Wk) ^ (Ay> + B(W, r), W). Поэтому предельные переходы в (12), (13) дают равенства
MB[W],Q = 0 VZe W. (14)
1 = -X*(AW + B(W, r), W). (15)
При 0 < < 1 из (14) вытекает, что (B[W], r - гц) = 0. Следовательно, (B(W,r), W) = -(B[W],r) =
= -(B[W], гц) = (B(W, гД W). Положив z = WXk в неравенстве (11) и разделив его на ||wXk|| , получим в пределе неравенство
—(AW + B(W, гД W) < |||Wf < | < 1,
которое противоречит условию (15). Полученное противоречие доказывает теорему.
Отметим, что для анализа граничных обратных задач удобней использовать другую форму условия разрешимости, достаточность которого сразу вытекает из соотношений (14),(15), полученных при доказательстве теоремы 1.
Теорема 2. Пусть q = (q1,q2,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.