МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Б. А. ЖУКОВ
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Для некоторых классов двумерных задач приводятся преобразования, сохраняющие объем при конечных деформациях. На базе этих преобразований предлагаются варианты постановки задач нелинейной теории упругости, приспособленные для определения формы резинотехнических изделий по заданной конфигурации в деформированном состоянии. В качестве примера приводится решение двух осесимметричных задач. В первой рассчитывается форма резиновой втулки комбинированного резинометалли-ческого шарнира, имеющего в собранном состоянии заданную конфигурацию. Во второй определяется форма резинового элемента амортизатора сжатия цилиндрического в эксплуатационном состоянии.
Ключевые слова: конечные деформации, гиперупругость, несжимаемость, определение формы.
1. Применение канонических преобразований для описания перемещений, сохраняющих объем при конечной деформации. Резиновые элементы изделий при нестесненной деформации проявляют свойства несжимаемости. В данной работе предлагается описание изохорической двумерной деформации. Один из методов отыскания преобразований, сохраняющих объем при плоской деформации, предложен Р. Курантом в [1]. В декартовой пространственной системе координаты точек в отсчетной конфигурации обозначаются (х, у, I), а в текущей конфигурации координаты тех же точек обозначаются через (X, У, Z). Предполагается, что деформация плоская, тогда закон перемещения примет вид
Дифференциальное условие сохранения объема сведется к равенству единице якобиана преобразования (1.1):
В [1] преобразования (1.1) предлагается записывать в параметрической форме
X = X (х, у), У = У (х, у), Z = 7.
(1.1)
Б (X, У) /Б (х, у) = 1
(1.2)
X = X (г, 5), У = У (г, ¿), х = х (г, я), у = у (г, я);
Б (X,У) _ Б (х, у) Б (г, 5) = Б (г, 5)
* 0
(1.3)
При этом условие (1.2) будет выполнено:
Б (X,У) = Б (X,У) Б (х, у) " = 1 Б (х, у) Б (г, я) Б (г, л)]
В [1] предложен конкретный вид (1.3):
X = г + Г'5, У = я - ¥1, х = г - у = я +
= 1
(1.4)
где F(t, s) — произвольная функция своих аргументов. При использовании (1.4) в механике на эту функцию налагаются определенные условия гладкости.
По-видимому, первым преобразования типа (1.4) применил в нелинейной теории упругости А.М. Богородицкий в [2], где были выписаны преобразования Куранта в цилиндрической пространственной системе координат и приведена постановка осесиммет-ричных задач. Искомой функцией является F(t, s), а аргументы интерпретируются как материальные координаты.
Основным недостатком данного подхода является то, что в общем случае заранее неизвестна область изменения параметров (^ s). Частично этот недостаток можно исправить, а заодно и приспособить к решению обратных задач определения формы в случае, когда известна конфигурация части внешней поверхности детали в деформированном состоянии и требуется отыскать конфигурацию этой поверхности до деформации. Последнему и посвящена настоящая статья.
При плоской деформации, сохраняющей объем, сохраняется площадь фигур в плоскости деформации, т.е. сохраняется дифференциальная два-форма [3]:
Знак л обозначает внешнее произведение, одним из свойств которого является антисимметричность а л Ь = -Ь л а ^ а л а = 0. Другими словами, конечное преобразование X = X(х,у), У = У(х,у) является каноническим (в терминологии аналитической механики) и его можно записать с помощью производящей функции. Выбрав в качестве канонических переменных (х, У), получим производящую функцию в виде ¥ = ¥(х,У), а канонические преобразования запишутся в форме: X = ¥'у, у = ¥'х. При этом условие сохранения объема (1.5) выполнится
йх л й¥'х = й¥'У л йУ о йх л (.¥'ХХйх + ¥'ХУйУ) = (¥^хйх + ¥'УУйУ) л йУ о
о ¥х'уйх л йУ = ¥Ухйх л йУ
В качестве канонических переменных можно выбрать другую пару и получить другую производящую функцию ¥ = ¥ (X, у). Для конечных канонических преобразований канонические переменные составляют всегда "смешанные" пары [3]. Канонические переменные принимаются в качестве материальных координат с ясным геометрическим смыслом.
Эта идея обобщается на двумерные задачи, сформулированные в криволинейной системе координат, для которой используем старые обозначения. Но теперь сохраняющаяся два-форма имеет более сложный вид:
Здесь / — функция, зависящая от выбора системы координат. Предположим, что (1.6) можно привести к стандартной форме йQ л йР = йд л йр с помощью преобразований
Через (д, р, I) и Р, I) обозначены координаты точек в отсчетной и текущей конфигурациях в некоторой криволинейной пространственной системе координат. Преобразования, сохраняющие объем, можно записать в двух формах:
йх л йу = йX л й У
(1.5)
/ (X, У) йX л йУ = / (х, у) йх л йу
(1.6)
д = д (х, у), р = р (х, у), ^ = ^ (^7), Р = Р (^7)
(1.7)
Q = ¥Р, р = ¥', ¥ = ¥ (д, Р) д = ¥'р, Р = ¥'а, ¥ = ¥ ^, р)
(1.8)
(1.9)
Доказательство аналогично предыдущему. Геометрический смысл новых независимых переменных определяется в конкретных случаях по (1.7).
В качестве примера рассмотрим случай цилиндрической пространственной системы координат и осесимметричную деформацию. Пусть координаты точек в цилиндрической пространственной системе координат в отсчетной конфигурации обозначены через (г, ф, г), а координаты точек в текущей конфигурации обозначены через (Я, Ф, 7). Тогда закон перемещений имеет вид: R = R(r, г), Ф = ф,7 = 7(г, г) и условие несжимаемости запишется в форме: гйг л dz = ЯйЯ л йХ. Преобразования (1.7) очевидны: q = г2, р = г, Q = Я2, Р = 7. Теперь соотношения (1.8) запишутся в виде
= 4д, я = z = рд, г = г, р = р (д, г)
д , , р-рд г, (1.10)
а формулы (1.9) перейдут в
г = <[р', z = z, я = М г = ре, р = р (е, z) (1.11)
Геометрический смысл материальных координат в первом случае следующий. Первая координата совпадает с квадратом радиальной в отсчетной конфигурации, а вторая с координатой 7 в текущей конфигурации. Во втором случае первая координата совпадает с квадратом радиальной в текущей конфигурации, а вторая с координатой z в от-счетной конфигурации.
2. Описание напряженного состояния и уравнений равновесия. В качестве модели резины используется гиперупругий материал. Такие материалы описываются с помощью потенциала энергии деформации (удельной энергии деформации, отнесенной к единице объема в отсчетной конфигурации). Для простых однородных изотропных несжимаемых материалов потенциал энергии деформации можно задать как функцию двух первых главных инвариантов меры деформации Коши С: Ж = Ж[Д (О), /2 (6)]. 0 0 т
Здесь О = V Я -V Я . Значок Т означает транспонирование, а точка — скалярное про-
0
изведение, Я. — радиус-вектор точек текущей конфигурации, V - оператор Гамильтона в отсчетной конфигурации. Обозначим через г радиус-вектор точек в отсчетной конфигурации, а через V — оператор Гамильтона в текущей конфигурации, тогда тензоры
о
V Я и V г будут взаимообратными.
В целях получения аналитических решений потенциал энергии деформации выбирается в форме Трелоара Ж = 0.5ц/ (О) - 3], где ц — модуль сдвига линейной теории упругости. Тогда общие выражения [4] для несимметричного тензора напряжений
0
Пиолы—Кирхгофа Б и уравнений равновесия V • Б = 0: О = 2 \(йК + !! дЖ ^ к-дЖ О .У К + УУ гт
М/1 д/2) д/2 1
0
V-
'дЖ + /1 дЖ ^ к-дЖ о -V к
V д/1 1 д/2) д/2
+ Уу = 0
примут вид
0 т .. 0 0 Б = Я + 2уУгт , Уу = -^У-УЫ (2.1)
Здесь y — функция гидростатического давления. Исключив во втором уравнении в (2.1) гидростатическое давление с помощью тождества V х Vy = 0, получим уравнение для определения функции F:
0 0
VxV-V R = 0 (2.2)
3. Описание напряженно-деформированного состояния для преобразований (1.10).
Введем радиус-векторы точек в отсчетной и актуальной конфигурациях. Обозначим e = cos ф i + sin ф j, e2 = - sin ф i + cos ф j, тогда получим:
r = y[q e1 + Fk, R = \[f¿ei + Z k
(3.1)
Здесь, ¥ = ¥ (д, Z) — функция, описывающая осесимметричную деформацию, {i, k} — декартов базис. Решение будем проводить полуобратным методом в рамках гипотезы коаксиальных сечений, т.е.
¥ (д, Z) = Zf (д) (3.2)
По (3.1) и (3.2) вычисляются базисные векторы сопряженных базисов материальной системы координат в отсчетной конфигурации:
Г = дг = ТГ е1 + Zf" (д) к, Г2 = дг = 4д е 2 дд 2>/д дф
дг 1
Г3 = — = Г (д)к, и = г • Г2 х Гз = 2 f, (д)
1 1 т Г 2 1 1
r = - r1 х r3 = 2y¡ q e1, r =- r3 x r1 = -¡= e 2
и и Vq
= 1 r1 X r2 = -2Zj~qf" (q) [f • (q)]-1 e1 + [f • (q)]-1 k
Аналогично по R вычисляются базисные векторы сопряженных базисов материальной системы координат в текущей конфигурации:
»1 = 27Ш/(д)]-2е1, И2 =470)е2, Из = к, V = И: • И2 хИз = 2Г'(д)
И1 = 24Щ [Г' (д)]-1 е:, И2 = [[ (д)]-2 е 2, И3 = к
Равенство смешанных произведений базисных векторов в отсчетной и текущей конфигурациях подтверждает сохранение объема. Выражения для базисных векторов поз-
о т
воляют получить выражения для тензоров V И и V г :
0
VR = rkRk = J-q~f'(q)e1e1 + e2e2 . ™e1k kk
f (q) v q f(q) f(q)
VrT = rkRk = e1e1 + Üf. e2e 2 + 2ff'(q) ^ + /(q)kk
v q f (q) \f(q) f (q)
и по (2.1) для несимметричного тензора Пиолы—Кирхгофа
IZfqfXq)^ ^ 1
0.4
0.3
0.2
0.1
/
X = = 2 /
Фиг. 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 а
Фиг. 2
f х«ЯШ)
f ,(q)
+ е 2е
2С2 ■
4YZf "(«) ке + Ц + 2у [/'(«)] /(«) 1 /(«)
кк
(3.3)
Применяя к (3.3) оператор Гамильтона V = г 1д / 3« + г2д/Эф + г3<Э/3Z, вычисляем V- Б и, приравнивая к нулю компоненты полученного вектора, будем иметь уравнения равновесия, из которых находится функция гидростатического давления у:
^ = ^(«/(q)2) 1f ,(q)(/(q)2 + qV,(q)2 - 2q2/(«)f"(q) - 2qf(q)/(«)) дq 4
дт^ =/ z
дZ
/ ,(q) 0 (q/"(«))- 2«/"(q)2 щ
& = 0 дф
(3.4)
Уравнение (2.2) приводится к виду
/'(«)о («/"(«)) - 2«/"(«)2 = /'(«)2С1 а«
(3.5)
где С1 — произвольная константа.
4. Решение задачи определения конфигурации резиновой втулки комбинированного шарнира, которая в собранном состоянии имеет цилиндрическую форму. Обозначения размеров втулки и шарнира приведено на фиг. 1. Вводятся следующие безразмерные величины: х = Я2/Яо, Хо = Я1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.