ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1365-1377
УДК 519.633.9
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКА И КОЭФФИЦИЕНТА В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ1-*
© 2007 г. В. В. Соловьёв
(115409 Москва, Каширское ш., 31, МИФИ)
e-mail: solovevv@mail.ru
Поступила в редакцию 17.12.2006 г. Переработанный вариант 26.12.2006 г.
Исследуются обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении, заданном в прямоугольнике. В качестве дополнительной информации о решении прямой задачи (переопределении) считается известным след ее решения на отрезке внутри прямоугольника. Для изучаемых обратных задач получены достаточные условия существования и единственности (глобальные). Исследование проводится в классе непрерывно дифференцируемых функций, производные которых удовлетворяют условию Гёльдера. Библ. 16.
Ключевые слова: обратные задачи, эллиптическое уравнение.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть 0 < а < 1, I > 0, < 0 < д2, где I, q2 - фиксированные числа. На плоскости с декартовыми координатами (х, у) рассмотрим прямоугольник П = {(х, у) : 0 < х < I, q1 < у < q2}. Боковые границы прямоугольника будем обозначать через Т1 = {0} х q2), Т2 = {/} X q2).
Для формулировки обратных задач, изучаемых в данной работе, определим некоторые функциональные пространства. Для этого будем пользоваться общепринятыми обозначениями пространств непрерывных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера (см., например, [1, с. 57], [2, с. 29]). Как обычно, если О с К2 - ограниченная область, то С2 + а(О) - пространство функций, имеющих внутри О все непрерывные производные до второго порядка включительно, при этом вторые производные предполагаются локально-непрерывными по Гёльдеру с показателем а. Определим пространства функций:
С2 + а(П) = С2 + а(П)п С (П)п С2 (Пи Тх и Т2), С2 + а( 0,1) = С2 + а( 0,1 )п С2 [ 0,1 ], Са(0,1) = Са(0,1) п С[0,1], С_[0,1] = {с(х) : с е С[0,1], с(х) < 0, х е [0,1]},
Са(0,1) = Са(0,1) п С_[0,1], Са[0,1] = Са[0,1] п С_[0,1], Са(П) = Са(П) п С(П). Всюду далее знаком нормы без дополнительных индексов обозначается обычная 8ир-норма.
В прямоугольнике П рассмотрим две тесно связанные между собой обратные задачи.
— 2 + а — а
Задача 1. Определить пару функций (и,/) е С (П) х С (0, I) из условий -Дм(х, у) = с(х)и(х, у) + /(х)И(х, у) + £(х, у), (х, у) е П, и(х, у) = (р(х, у), (х, у)е дП, (1)
и(х, 0) = х(х), х е [0,1]. (2)
— 2 + а —а
Задача 2. Определить пару функций (и, с) е С (П) х С- (0, I) из условий
-Дм(х, у) = с(х)и(х, у) + £(х, у), (х, у) е П, и(х, у) = ((х, у), (х, у) е дП, (3)
и(х, 0) = х(х), х е [0,1]. (4)
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00401).
В условиях (1), (2) величина с < 0, h, q, ф, х - заданные достаточно гладкие функции. В условиях (3), (4) величины g, ф, х - заданные достаточно гладкие функции. Приведем здесь для полноты изложения и дальнейших ссылок формулировки теорем существования и единственности для прямых задач (1), (3), следующих из [1, с. 108, с. 112, с. 107] (там даны результаты для более общих областей и более общих уравнений).
Теорема 0. Пусть с е Са [0, Г], g е Са( П), ф е С(ЭП). Тогда существует единственное решение прямой задачи (3) в классе функций u е C2 + а(П) n C(П). При этом если ф е C2 + а(Тх) n C2 + а(Т2), то u е C2 + а(П и Т и Т2), откуда следует uQ, 0) е C2 + а[0, /] с C2 + а (0, I).
Теорема 00. Пусть c е C" (0, l), g е Ca (П), ф е С(ЭП). Тогда существует единственное решение прямой задачи (3) в классе функций u е C2 + а(П) n C(П).
Обратные задачи вида (1), (2) и (3), (4) изучались для различных типов уравнений многими авторами (подробную библиографию и историю вопроса (см. в [3]-[10]).
Задача 1 изучалась автором в работе [11] для случая области с гладкой границей в предположении c = 0. Для нее там доказана теорема существования и единственности при некоторых ограничениях на заданные функции и область (прямоугольник требованиям, наложенным на область в [11], не удовлетворяет).
В [16] задача 1 рассматривалась для областей существенно более общего вида, в более узком классе функций (u, f) е C2 + а(П и Тх и Т2) n C(П) х Са[0, /]. Для задачи 1 в этом классе функций там доказана справедливость альтернативы Фредгольма и - во второй части работы - доказаны теоремы, дающие различные достаточные условия для однозначной разрешимости задачи 1. Доказанные в этой работе теоремы носят характер разрешимости в "малом", т.е. в качестве условий разрешимости выступают требования малости I или большой по модулю величины коэффициента с. Как и в [16] при изучении задачи 1, для функции f строится некоторое уравнение II рода в функциональном пространстве. В настоящей статье оно получается способом, отличным от способа в [16], при этом появляется возможность рассмотреть это уравнение в пространстве C[0, Г] вместо Ca[0, Г]. При изучении полной непрерывности оператора, входящего в построенное уравнение II рода, в [16] используются оценки Шаудера, а в настоящей статье - оценки "1 + а", специфические для n = 2, т.е. используется принципиально другая методика изучения задачи 1 по сравнению с [16]. Все это позволяет получить для задачи 1 глобальные условия однозначной разрешимости (без требования малости). Кроме того, предлагаемая методика дает возможность получить достаточные условия однозначной разрешимости коэффициентной задачи 2.
2. ФОРМУЛИРОВКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АЛЬТЕРНАТИВЫ ФРЕДГОЛЬМА
ДЛЯ ЗАДАЧИ 1
Определим следующее линейное множество троек функций:
G = {(g, ф, X) : g е Са(П), ф е С(ЭП) n C2 + а( Ti )n C2 + а( T2), х е C2 + а( 0,I),
ф( 0, 0) = х( 0), ф( I, 0) = х( I)}.
Заметим, что условия ф(0, 0) = х(0), ф(/, 0) = х(1) являются необходимыми для существования решения прямой задачи (1) в рассматриваемом классе функций и носят характер условий согласования исходных данных.
Теорема 1 (альтернатива Фредгольма). Пусть с е Са [0, /], h, hyy е Са(П), |h(x, 0)| > h0 > 0, x е е [0, /]. Тогда для задачи 1 верно одно из двух утверждений:
1) задача 1 имеет единственное решение для любой тройки функций (g, ф, х) е G;
2) при g = 0, ф = 0, X = 0 задача 1 имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Определим необходимые для дальнейших рассмотрений функциональные пространства:
— 2 + а —2 + а
Co (0,1) = {X : хе C (0,1), х(0) = х(I) = 0}.
— 2 + а
Сформулируем задачу 1 при g = 0, ф = 0, х е C0 (0, l).
— 2 + а
Задача 10. Для произвольной функции % е С0 (0, /) определить пару функций (и, /) е
— 2 + а — — а
е С (П) х С (0, /) из условий
-Ди = си + /И, (х, у)е П, и(х, у) = 0, (х, у)е дП, (5)
и(х, 0) = х(х), х е [0,/]. (6)
Лемма 1. Теорема 1 верна для задачи 1 тогда и только тогда, когда она верна для задачи 10, т.е. верно одно из двух утверждений:
— 2 + а
1) задача 10 имеет единственное решение для любой функции % е С0 (0, /);
2) при % = 0 задача 10 имеет нетривиальное решение.
Доказательство этой и последующих лемм см. далее в специальном разделе.
Из леммы 1 следует, что для доказательства теоремы 1 достаточно доказать альтернативу Фредгольма для задачи 10, что и будет проведено далее. Кроме того, так как |И(х, 0)| > И0 > 0, то без ограничения общности будем считать далее, что И(х, 0) = 1.
Для дальнейшего изучения сформулированных обратных задач потребуется некоторое обобщение понятия решения прямой задачи (3) на случай разрывных краевых условий (разрывы I рода у функции () в точках А(0, q1), В(0, q2), С(1, q2), В(/, q1)). Пусть функция ф(х, у) имеет вид
((0, у) = V1 (у), ф(/, у) = V2(y), ql < у < q2, ф(х, q2) = |^(х), ф(х, ql) = || (х), 0 < х < /.
Будем предполагать, что V1, V2 е С^, q2], ц1, |2 е С[0, /]. Тогда если выполнены условия согласования V1(q2) = |2(0), |2(/) = V2(q2), ц1(/) = V2(q1), V1(q1) = Ц1(0), то функция ( е С(дП) и решение прямой задачи (3), как известно (в силу того что А, В, С, В - регулярные точки границы), строится, например, методом Перрона (см. [1, с. 105]). Если эти условия не выполнены, то решение краевой задачи (3) понимается в обобщенном смысле. Идейная сторона такого обобщения понятия решения изложена, например, в [12, с. 107]. Так как автору не удалось найти в литературе необходимую точную ссылку, то приведем для полноты необходимое утверждение о прямой задаче с доказательством. Итак, пусть указанные выше условия согласования в точках А, В, С, В, вообще говоря, не выполнены. Заменим функции ц1, |2, V1, V2 в окрестности угловых точек, например, линейными функциями так, чтобы условия согласования в угловых точках были выполнены, при этом будем предполагать что в самих точках А, В, С, В эти линейные функции обращаются в ноль. Кроме того, в силу справедливости теоремы 00 и линейности задачи (3) без ограничения общности при определении понятия обобщения решения задачи (3), можно считать уравнение в условиях (3) однородным. В соответствии со сказанным выше определим при достаточно больших п функции v1"), |п), v2"), |1п). Для примера выпишем функцию |1п) (остальные функции строятся аналогично):
|а!п)(у) = ^( Лх, 0 < х < - ||(х),1 < х < / -1-; ц//- 11 п(q2-у), / - 1 < х < /У I Vn) п п п V п) п I
Таким образом, в качестве краевых условий будем рассматривать функции (п(х, у):
(п(0, у) = V(1n)(y), (п(х, q2) = |2п)(х), (п(/, у) = v2n)(y), (п(х, q1) = |1п)(х).
Ясно, что (п е С(дП) и ||фп|| < шах^^Ц, |^2||, |||1||, |||2||} при достаточно больших п. Будем далее полагать П* = П \{А, В, С, В}. Рассмотрим задачу определения функции и(х, у) из условий
-Ди (х, у) = с (х) и (х, у), (х, у )е П, (7)
и(0, у) = V 1(у), и(/, у) = V2(y), q( < у < q2, и(х, q() = |2(х), и(х, q2) = |2(х), 0 < х < /. (8)
Задаче (7), (8) поставим в соответствие последовательность функций и(п)(х, у), где и(п) - решения краевых задач
-Ди(п)(х, у) = с(х)и(п)(х, у), (х, у) е П, и(п)(х, у) = (п(х, у), (х,у)е дП. (9)
Определение. Решением задачи (7), (8) назовем функцию
u(х,y) = lim u(n)(x,y), (x,y) e П*.
n
— а
Лемма 2. Пусть c e С- (0, t). Тогда существует решение задачи (7), (8) в смысле указанного определения, u e С2(П) п С(П*) и удовлетворяет в П уравнению (7). При этом верны оценки, следующие и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.