АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 57, № 4, с. 461-469
ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
УДК 539.3
ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМ ВРАЩЕНИЕМ И ОСОБЕННОСТИ
ИХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ © 2011 г. С. О. Саркисян, А. А. Саркисян*
Национальная академия наук Армении 377501 Гюмри, Армения, ул. Саят-Новы 2, кв. 11 E-mail: armenuhis@mail.ru, slusin@yahoo.com *Гюмрийский государственный педагогический институт Гюмри, Армения, квартал Ани, 13-я ул. 11, кв. 15 E-mail: armenuhis@mail.ru Поступила в редакцию 17.03.2010 г.
На основе метода гипотез, имеющих асимптотическое подтверждение, построена общая прикладная двумерная теория динамики микрополярных упругих тонких пластин, в которой учтены враща-тельно-сдвиговые и родственные им деформации. На ее основе решена задача о свободных колебаниях микрополярных упругих тонких прямоугольных пластин. В рамках численного анализа выявлены особенности динамических характеристик упругих тонких пластин из микрополярного упругого материала.
Ключевые слова: микрополярно-упругий, пластинка, тонкий, динамическая теория, свободные колебания.
ВВЕДЕНИЕ
Внутренняя структура реального упругого материала при ее деформировании может быть описана в рамках микрополярной моментной несимметричной теории упругости [1—17]. Микрополярная теория упругости представляет собой строгий математический аппарат полевых уравнений для твердых деформируемых тел с внутренней структурой [16]. В модели микрополярной упругой среды кроме поступательного движения, которое характеризуется вектором перемещения и, рассматриваются независимые повороты частиц с вектором ю и наряду с тензором силовых напряжений а, компоненты которого несимметричны, вводится несимметричный тензор моментных напряжений Д. Динамическое поведение микрополярной упругой изотропной среды определяют восемь упругих констант: две постоянные Ламе, четыре упругие константы, характеризующие микроструктуру, а также плотность и параметр, отвечающий за меру среды при вращении (плотность момента инерции).
Основные закономерности распространения линейных упругих волн в микрополярной среде (например, полное трехмерное пространство, полупространство, слой или цилиндр и т.д.) изучались в работах [4, 14, 18—21]. В них получено большое количество интересных результатов. В частности, установлен факт дисперсии упругих поверхностных
волн Релея в микрополярном полупространстве [20]; обнаружено существование собственной резонансной частоты, зависящей только от инерционных свойств частиц и от параметров упругости материала и инвариантной к толщине слоя.
Для развития области механики наноматериа-лов, проектирования и расчета элементов микро- и наноконструкций большую значимость приобретает построение теорий микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек. Исследования в этой области были сосредоточены главным образом в построении моделей тонких стержней, пластин и оболочек [22—30]. Основная проблема общей теории упругости в таких средах заключается в приближенном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к адекватной общей двумерной краевой задаче. Современная теория изгиба тонких пластин была построена Кирхгофом при помощи введения двух гипотез, обобщающих теорию изгиба стержней [31]. Такой подход к построению теории намного ее упрощает по сравнению с пространственной задачей теории упругости, обеспечивая достижение приемлемой точности. Уровень точности теории упругих пластин, в которой используются гипотезы Кирхгофа, может быть оценен первым членом асимптотического разложения, соответствующего пространственной модели [32— 34]. Кроме того, она весьма наглядна и удобна в инженерной практике [35]. Метод гипотез позволяет
построить также теории пластин при предположениях менее жестких, чем допущения Кирхгофа, таких как теория типа Тимошенко [36—40]. С этой точки зрения весьма рационально построение статической или динамической теории микрополярно-упругих тонких пластин и оболочек на основе метода гипотез. С целью замены трехмерной задачи микрополярной теории адекватной прикладной теорией пластин будем основываться на асимптотическом анализе соответствующей пространственной краевой (в случае статики) и начально-краевой (в случае динамики) задачи в тонкой области пластинки. Асимптотические решения в таких областях изучены в работах [41—46].
В работах [41, 42] построена упрощенная модель статики и динамики микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений, в которой учитываются поперечные сдвиговые деформации. Однако в ней не отражено влияние на напряженно-деформированное состояние (НДС) пластинки усредненных моментов от силовых напряжений. Поэтому вопрос о построении общей теории микрополярных пластин, учитывающей основные факторы, влияющие на НДС пластинки, является весьма актуальным. Используя результаты асимптотического метода [41], в работе [47] сформулированы гипотезы, на основе которых трехмерная проблема статики микрополярной теории упругости сведена к двумерной задаче для тонких пластин, что позволило учесть как поперечные сдвиговые деформации, так и усредненные моменты от силовых напряжений.
В данной работе методом гипотез, имеющих асимптотическое подтверждение, построена общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений, позволяющая учитывать поперечные сдвиги и усредненные моменты от силовых напряжений. Она позволяет для определенных классов задач колебаний (свободных и вынужденных) микрополярных пластин получить аналитические решения. В частности, для шарнирно-опертых прямоугольных пластин получены точные выражения для частот и форм собственных колебаний. На основе численного анализа выявлены особенности динамических характеристик пластин из микрополярного упругого материала.
В работах [48, 49] экспериментально получены микрополярные материалы в виде композитов, которые представляют собой некоторые биологические материалы (кости) и определены их упругие константы. В работах [50, 51] описаны экспериментальные наблюдения волн вращения в композиционном материале из алюминия и эпоксидной смолы. В работе [52] изучены зоны ярко выраженные концентрации напряжений, отмечаются трудности выделения макропараметров, отвечающих эффектам моментного поведения, которые могут быть измерены в эксперименте. Как известно, одним из
эффективных методов определения упругих модулей, используемых в микро- и макромеханике, является измерение собственных частот исследуемого объекта. Построение прикладной общей динамической теории микрополярных упругих тонких пластин и изучение задач об определении собственных частот колебаний пластин, по нашему мнению, будут открывать новые возможности для экспериментального определения физических констант этих материалов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим пластинку конечных размеров с постоянной толщиной 2к как трехмерное тело. Введем декартову систему координат Ох1х2х3, совмещая плоскость Ох1х2 со срединной плоскостью пластины. Будем исходить из основных уравнений пространственной динамической задачи линейной микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [1—4]:
Уравнения движения
а
д 2ы„
тп,т 2
д?
, Ц тп,т + э птк^ тк ^
д 2ю„
д?
2
Физические соотношения
атп = (и + а) у тп + (и - а) у пт + Ъу кк8пт, И тп = ( + е) К тп +
(у-б) К пт + Рк кк§ пт
Геометрические соотношения
У пт ит,п э кпт^к, Кп
ю„
(1)
(2)
(3)
Здесь ъпт, цпт — компоненты несимметричных тензоров силового и моментного напряжений; у пт, X пт — компоненты несимметричных тензоров деформаций и изгибо-кручений; ип, юп — компоненты векторов перемещения и независимого поворота; Е\ .. Е
, и = ■ ,
(1 + V) (1 - 2у) 2 (1 + V) постоянные; р — плотность; / — мера инерции при вращении материала пластинки; э кпт — тензор Ле-ви-Чивиты; Ъпт — символ Кронекера; индексы п, т, к принимают значения 1, 2, 3; индекс т после запятой означает дифференцирование по координате хт; -к < х3 < к. На лицевых плоскостях пластинки х3 = ±к считаются заданными силовые и моментные напряжения:
-, а, в, у, 6- упругие
= РТ, = Р3, Ца = тг, Ц33 = тз,
(4)
где р±, р±, т±, т± — компоненты внешних заданных усилий и моментов.
Граничные условия на боковой поверхности пластинки 2, в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления ее точек записываются в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде. Рассмотрим следующие три основных типа гранич-
ных условии трехмерной микрополярнои теории упругости: 1) заданы силовые и моментные напряжения; 2) точки поверхности 2 закреплены; 3) заданы трехмерные смешанные условия типа шарнирного опирания. В момент г = 0 задаются значения компонентов вектора перемещения, вектора независимого поворота, компоненты линейной и вращательной скоростей точек тела:
ип|г=0 = /п (х1, х2, х3 ) ,
ди„
дг
г=0
= Рп (х1, х2, х3 )>
(5)
®п\г=0
Фп (
х1, х2, хз
),
дю,
дг
г=0
Ф п (
хь x2, хз
Оу = Р = —
Цз, = ±Щ = ±
Р I
2
т+ + т-
Озз =±——3 = ± ^
(6)
Цзз = т з =
т3 - т3
где /п, Г„, фп, Фп — заданные функции в области трехмерной пластинки. Отметим, что решение начально-краевой задачи (1)—(5) для плоской пластинки складывается из суммы решений симметричной и обратно симметричной задач по х3 (это утверждение легко обосновывается, обобщая предложенной в [53] подход для случая классической теории упругости). В симметричной задаче а¡¡, а33, ст,у, ц3г, и, ю3 — четные функции по х3, а ст;3, ц33, и3, ю, — нечетные; в обратно-симметричной задаче — наоборот.
Далее будем рассматривать обратно-симметричную граничную задачу, т.е. задачу динамического изгиба пластин. В этом случае, граничные условия (4) на плоскостях х3 = ±к принимают вид:
2 2 Граничные условия на боковой поверхности пластинки £ остаются выше приведенные с учетом четности или нечетности функций по хз , входящих в эти условия.
МЕТОД РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА
Положим, что толщина пластинки 2к мала по сравнению с характерным размером а, 2к < а. Основной геометрический парамет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.