Автоматика и телемеханика, № 8, 2014
Стохастические системы, системы массового обслуживания
© 2014 г. М.В. КУЛИКОВА, канд. физ.-мат. наук (Kulikova.Maria@yahoo.com), (Технический университет г. Лиссабона, Португалия), Ю.В. ЦЫГАНОВА, канд. физ.-мат. наук (tsyganovajv@gmail.com), (Ульяновский государственный университет)
ОБЩИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ АЛГОРИТМОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В КЛАССЕ КВАДРАТНО-КОРНЕВЫХ ФИЛЬТРОВ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ И ^ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ1
Изучаются современные реализации дискретного фильтра Калмана: ортогональные квадратно-корневые алгоритмы. Их важной чертой является использование ортогональных и ^ортогональных преобразований на каждом шаге фильтрации. Впервые для такого класса алгоритмов разработан простой универсальный метод, который позволяет обобщить любую численно устойчивую реализацию данного типа на случай обновления уравнений чувствительности фильтра по отношению к неизвестным системным параметрам модели. Преимуществом полученных таким образом адаптивных схем является их численная устойчивость по отношению к ошибкам машинного округления. При этом оценивание зашумленного вектора состояния системы и идентификация неизвестных системных параметров происходят одновременно. Предложенный подход может быть использован при решении задач параметрической идентификации, адаптивного управления, планирования эксперимента и др.
1. Введение
В математической теории систем обработки информации и управления одной из основных задач является преодоление априорной неопределенности, т.е. проблема идентификации математических моделей [1]. В работе рассматривается задача параметрической идентификации стохастических дискретных линейных систем. На практике с целью оценивания неизвестных системных параметров математической модели наиболее часто применяют методы
1 Первый автор благодарит португальский Фонд науки и технологии (Fundagao para a Ciencia e a Tecnologia) за оказанную финансовую поддержку в рамках проектов PEst-OE/MAT/UI0822/2011 и SFRH/BPD/64397/2009. Работа выполнена вторым автором при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 1301-97035 р_поволжье_а).
максимума правдоподобия или метод наименьших квадратов [2-4]. Для оптимизации, как правило, используют градиентные методы или методы ньютоновского типа (см., например, [5]), которые требуют вычисления градиента функционала, а также, возможно, элементов информационной матрицы Фишера и матрицы Гессе. Другими важными приложениями являются, например, задачи теории планирования эксперимента. Среди них одной из наиболее актуальных задач является точное вычисление информационной матрицы Фишера [6, 7]. Для стохастических дискретных линейных систем, возмущаемых гауссовым белым шумом, вычисление указанных выше величин требует применения дискретного фильтра Калмана (ФК) и так называемого "дифференцированного" фильтра Калмана (ДФК), которые не устойчивы по отношению к ошибкам машинного округления; см. подробнее в [8]. Основная проблема стандартной реализации ФК заключается в возможной потере (из-за ошибок округления) ковариационной матрицей ошибки оценивания или предсказания (соответственно Рць или Pfc+i|fc) своего специального вида, т.е. симметричности и положительной определенности. Это часто приводит к неправдоподобным оценкам и тем самым ставит под сомнение любые полученные результаты, сводя на нет всю предыдущую и последующую работу экспериментатора. Следовательно, разработка численно устойчивых и эффективных алгоритмов рекуррентного обновления уравнений фильтра и уравнений чувствительности на их основе является актуальным и важным направлением современных исследований.
С момента открытия ФК (в начале 1960-х гг.) было предложено огромное количество его эффективных реализаций; см., например, [9-12]. Кратко отметим лишь основные направления. Наиболее важным этапом в развитии таких методов явилась разработка квадратно-корневых (КК) алгоритмов. По сравнению со стандартной реализацией ФК эти алгоритмы более устойчивы по отношению к ошибкам машинного округления, что позволяет им сохранить указанные выше теоретические свойства ковариационных матриц. В настоящее время наиболее предпочтительными для использования на практике признаны ортогональные квадратно-корневые реализации2 [13]. Как и все КК методы, ортогональные КК алгоритмы позволяют обрабатывать данные с двойной точностью, а использование численно устойчивых ортогональных преобразований на каждом шаге рекурсии дает целый ряд дополнительных преимуществ. Более подробное обсуждение этого вопроса можно найти в [13, гл. 12]. В последние годы в данной области исследований наблюдается повышенный интерес к реализациям, требующим использования J-ортогональных преобразований на каждом шаге алгоритма фильтрации. Важным классом таких алгоритмов является класс быстрых реализаций Чандрасе-кара3 [14-17]. Их преимущества: 1) устойчивость по отношению к ошибкам округления, свойственная всем ортогональным КК фильтрам; 2) ориентированность на параллельные вычисления; 3) существенное сокращение вычислительной сложности. Данный класс методов интересен тем, что современные алгоритмы сглаживания и H^-оценивания строятся на тех же базовых
2 От англ.: array square-root algorithms for Kalman filtering.
3 От англ.: fast Chandrasekhar-type algorithms. Полное название таких методов Chandrasekhar-Kailath-Morf-Sidhu алгоритмы.
принципах; см. [18, 19]. Еще раз отметим, что важной чертой таких методов является использование вместо обычных ортогональных преобразований 7-ортогональных преобразований на каждом шаге работы алгоритма.
Методы параметрической идентификации стохастических дискретных линейных систем требуют применения не только ФК, но и ДФК, т.е. требуют обновления уравнений чувствительности фильтра по отношению к неизвестным системным параметрам. Несмотря на широкий выбор численно устойчивых и эффективных алгоритмов Н2-фильтрации, проблема разработки перспективных алгоритмов для обновления уравнений чувствительности остается открытой. В настоящее время существует лишь ограниченный выбор таких адаптивных схем. Первая попытка их построения была предпринята в [20]. Авторы обобщили ортогональный КК фильтр информационного типа на случай вычисления градиента функции правдоподобия и элементов информационной матрицы Фишера. Затем был предложен аналогичный метод для ковариационных реализаций [21] и метод с последовательной обработкой вектора измерений [22]. Проблема применения данных алгоритмов для вычисления градиента вспомогательного функционала качества в задаче параметрической идентификации стохастических дискретных линейных систем была решена в [23]. Позднее в [24] построен алгоритм обновления уравнений чувствительности фильтра и вычисления элементов информационной матрицы Фишера на основе ортогональных КК реализаций. Показано его преимущество, а именно: устойчивость по отношению к ошибкам машинного округления по сравнению со стандартным методом, основанным на ДФК. С учетом существования класса перспективных 7-ортогональных реализаций ФК становится актуальной задача обобщения полученных ранее результатов на этот класс методов. Отметим, что подобная задача ставится впервые.
В данной работе усиливаются результаты, опубликованные ранее в [20-24]. Впервые разработан простой и универсальный метод, который позволяет дополнить любой численно устойчивый КК алгоритм фильтрации (с использованием обычных ортогональных преобразований и в общем случае ■]-ортогональных преобразований) на случай обновления уравнений чувствительности фильтра по отношению к неизвестным системным параметрам модели. Практическая значимость работы обусловлена тем, что предлагаемый подход позволяет строить численно устойчивые алгоритмы параметрической идентификации стохастических дискретных линейных систем. Теоретическая значимость заключается в том, что в данной работе обобщаются результаты Бирмана и соавторов [20] на случай методов с 7-ортогональными преобразованиями.
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную дискретную стохастическую систему
(1) хк+1 = ^(в)хк + С(0^к, wk (0,д(в)), к = 0
(2) гк = Н(в)хк + Ук, Ук (0,Е (в)) ,
где Хк € Мга - вектор состояния системы, гк € Кт - доступный для наблюдения вектор измерений. Последовательности {wo, Wl,... } и {У1,У2,... } - неза-
висимые нормально распределенные последовательности шумов с нулевыми средними и ковариационными матрицами Q(9) ^ 0 и К(9) > 0 соответственно. Кроме того,
(3)
Е
ик
Ук
[
и
т _,т
Q(9) 0 0 К(9)
Ьк],
где Е [■] —символ математического ожидания, Ь] - символ Кронекера. Последовательности {и к } и {ук} также не зависят от начального вектора состояния Х0 (Хо, По(9)).
Предположим, что элементы матриц, характеризующих систему, зависят от некоторого системного параметра 9 € Кр, значение которого необходимо оценить. Для удобства дальнейшего изложения опустим аргумент 9 при написании матриц, т.е. вместо ^(9) € Мгахга, С(9) € Мгах?, Н(9) € Мтхга, Q(9) € , Е(9) € Мтхт будем писать ^, С и т.д., не забывая при этом об их зависимости от 9.
Поскольку система (1), (2) с априорными условиями (3) параметризована, то прежде всего необходимо решить задачу идентификации системы, т.е. оценить 9 € Кр по доступным результатам наблюдений ZK = [£т, ..., ¿К] . Заметим, что на практике задачи вычисления оценок вектора состояния системы Хк|к-1, ^ = 1,..., К и оценок неизвестных параметров модели 9* могут быть решены одновременно с помощью адаптивных фильтров.
При заданном функционале качества 3(9; ZK) задача нахождения оценки неизвестного системного параметра 9 предполагает решение задачи нелинейного программирования с ограничениями:
9т
= а^шт 3(9; ZK),
где 0(9) — область определения параметра 9.
Наиболее часто в качестве критерия идентификации используется метод максимального правдоподобия или метод наименьших квадратов [4]. При решении задачи методом максимума правдоподобия необходимо максимизировать функцию правдоподобия, логарифм которой задается формулой
К 1 К
(4) .т = С («9; г?) = --^ 1п(2тг) - ^ Е {21п И' + '/!'/■} ,
к= 1
где ёк - нормали
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.