ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 3, с. 121-126
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОБЩИЙ ВИД КРИТЕРИАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА В БЕЛЛМАНОВСКИХ МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ*
© 2007 г. В. 3. Беленький
(Москва)
Приводится выражение, описывающее общий вид критериального функционала для класса динамических, однородных во времени рекурсивных моделей, названных беллмановскими. Из него следует, что при построении моделей развития экономики для этого класса нет других критериев, кроме терминального критерия, интегрального дисконтного критерия и мак-симинного критерия Роулса.
При построении оптимизационных моделей экономической динамики (ЭД) одной из ключевых проблем является выбор критерия оптимизации - критериального функционала Cr, - заданного на траекториях рассматриваемой экономической системы. В настоящей статье дается формула общего вида критериального функционала для класса моделей, которые я называю беллмановскими. В основе этой формулы лежит теорема об общем виде агрегирующей функции, определяющей критерий модели. Развернутое доказательство теоремы получено в работе (Беленький, Френкин, 2006), здесь приводится краткое его изложение.
1. БЕЛЛМАНОВСКАЯ МОДЕЛЬ. ТЕОРЕМА ОБ АГРЕГИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
В гомогенных моделях ЭД в дискретном времени с конечным плановым горизонтом T1 критерий оптимизации траектории Z можно представить в общем виде
Cr(Z) = ф(u0, u2, ..., uTвГ¥(xT)) — max, (1)
z
где
ut := ви(xt, ct) t = 0, ..., T-1, (2)
- приведенные, с коэффициентом дисконтирования в, полезности потребления, выражаемые функцией полезности U, аргументами которой являются фазовая координата x е Rn и управляемый параметр (вообще говоря, многомерный) c е Rn, интерпретируемый обычно как вектор потребления; pT^(xT) - значение терминального функционала ¥ (также приведенное с коэффициентом в) в концевой точке фазовой траектории; ф - некоторая функция, синтезирующая из перечисленных аргументов итоговый критерий оптимизации; выбор именно этой агрегирующей функции определяет содержательный смысл критерия оптимальности. Таким образом, критериальный паспорт модели задается четверкой {ф, U, в, ¥}.
Если ввести обозначение uT := (u0, ..., uT _ j), то формально можно считать, что агрегирующая функция имеет два аргумента: векторный аргумент uT и скалярный аргумент y(xT). При этом, если строится решение модели в широком смысле, то приходится рассматривать постановку задачи (1) с горизонтом различной длины T (как, например, в методе динамического программирования, DP-метод), поэтому агрегирующая функция ф должна быть определена так, что ее векторный аргумент имеет не фиксированную (T), а переменную длину к = 1, 2, ..., (uk).
Критерий (1) называется беллмановским, если агрегирующая функция ф обладает следующими свойствами.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект
06-01-00775) и Российского гуманитарного научного фонда (проект 06-02-00082).
1 Модель называется гомогенной (однородной во времени), если ее исходная информация - информационный паспорт - не зависит от календарного времени; решение такой модели зависит только от длины Т планового горизонта, но не от его положения на временной оси.
Свойство j1 (симметричность). Значение функции ф не меняется при перестановке компонент ее векторного аргумента uk.
Это свойство выражает принцип равноправия: все поколения, охваченные плановым горизонтом {t = 0, ..., T- 1) и представленные в критерии своими полезностями Ut := U(xt, ct), после приведения этих полезностей с помощью дисконтирующего множителя по формуле (2) считаются равноправными (равносильными, эквивалентными и т.п.).
Формализуя свойство ф1, можно считать, что uk - это не вектор, а множество из к чисел; таким образом, первый аргумент агрегирующей функции есть некоторое конечное множество чисел u, а второй - скаляр (будем обозначать его v).
Свойство j2 (рекурсивность). Для любого разбиения множества u на две непересекающиеся части имеет место равенство
ф(u; v) = ф(U2; ф(ui; v)) V(Ui uU2 = u, u^ = 0). (3)
Это свойство является характеристическим для беллмановских моделей. Именно в нем состоит принцип оптимальности Беллмана, согласно которому всякая оптимальная траектория может быть "разрезана" (в произвольной промежуточной точке) на две части, каждая из которых оптимальна на своем участке временной оси.
Полагая в (3) ux = u, u2 := 0, получаем ф(и; v) = ф(и; ф(0; v)); это возможно только в двух случаях: либо ф(и, v) не зависит от v, либо
ф(0; v) = v Vv. (4)
В первом случае ф(и, v) = ф(и), и из (3) следует ф(и) = ф(и2) Vu D u2, откуда вытекает, что функция ф принимает одно и то же значение на любых множествах, т.е. ф^) = const; таким образом, этот вырожденный случай бессодержателен, и полагаем в дальнейшем, что имеет место формула (4).
Замечание 1. Формула (4) определяет значение агрегирующей функции в случае, когда множество u пусто, т.е. число его элементов равно нулю (к = 0); этому соответствует горизонт планирования T = 0. Содержательно такая задача не имеет смысла, но при формальном описании бывает удобно включить в рассмотрение и этот случай (в частности, это удобно при описании рекуррентной процедуры метода динамического программирования, см., например (Беленький, 2001, Лекция 6)).
Для к > 1 многократное применение формулы (3) показывает, что агрегирующая функция однозначно задается функцией двух скалярных аргументов Ф(и, v) - производящей функцией. Для одноэлементного (к = 1) множества u = {и} надо положить ф(щ v) := Ф(и, v), а затем при к > 1 воспользоваться рекуррентной формулой
ф(u +1; v) = Ф(u^ ф(щ; v)), щ +1 = (Uo, ..., %), к = 1, 2,... (5)
Для того чтобы при этом выполнялось свойство симметрии, необходимо, чтобы производящая функция удовлетворяла соотношению
Ф(Ui, Ф(Uo, v)) = Ф(Uo, ф(Ui, v)) V(Uo, Ui, v); (6)
но согласно (Беленький, Френкин, 2006), оказывается, что это условие является и достаточным.
Лемма 1. При выполнении соотношения (6) агрегирующая функция ф, рекуррентно определяемая формулой (5), обладает (при любом фиксированном к > 2) свойством симметрии ф1.
Итак, свойства ф1, ф2 эквивалентны соотношениям (4), (6). Помимо этого, в моделях ЭД экономическое содержание критерия (1) требует, чтобы производящая функция была "допустима".
Определение. Функция Ф(х) называется допустимой, если областью ее определения является двумерный положительный ортант х = (u, v)2 е R+ и выполняются условия:
2 2
1) Ф(х) монотонно возрастает по х е R+ в смысле естественного (покоординатного) частич-
22 ного порядка в R+, причем Ф(0) = 0, так что Ф(х) > 0 Vx е R+;
2) функция Ф положительно однородна (первой степени):
Ф(Хх) = ХФ(х) V(х е R+, X > 0). (7)
2 Здесь и дальше монотонность (возрастание или убывание) функций понимается в нестрогом смысле (как неубывание и невозрастание).
Класс допустимых функций обозначается W.
Положительно-однородную функцию можно представить в виде
Ф(и, v) = vg( v/u) g(t) := Ф( 1/t, 1) t > 0; (8)
при этом для Ф е W функция g(t) убывает, а функция
g а
V t > 1
1
1/t
1/t
f(t) := tg(t) = Ф( 1, t), t > 0,
(9)
P P
Зависимость функции q от параметра p.
возрастает по t.
Если ввести переменные у := v/u0, г := то соотношение (6) можно записать к виду
(10)
g(y)g(zg(y)) = g(z)g(yg(z)) Vy, z > 0.
Итак, производящая функция, определяющая критериальный функционал беллмановской модели, должна удовлетворять функциональному уравнению (10) при указанных условиях монотонности.
Тривиальным решением уравнения (10) является функция g(t) = в = const; ей отвечает Ф(и, v) = = Pv. Этой производящей функции отвечает, в соответствии с рекуррентной формулой (5), агрегирующая функция ф(ц, v) = Pkv, где k - число элементов множества u (отметим, что при k = 0 выполняется условие (4)); в этом случае (1) представляет собой терминальный критерий
Cr(Z) = ßJ ¥( хг)
max,
(11)
характерный для моделей, замкнутых по потреблению (см. (Никайдо, 1972, § 14; Беленький, Арушанян, 1993)). Ниже будем искать нетривиальные решения.
Обозначим множество нетривиальных решений функционального уравнения (10) через сё; более точно, ^ - это класс непрерывных функций g(t) (по умолчанию - нетривиальных), определенных на полуоси t > 0 и удовлетворяющих условиям:
1) g(t) строго положительна и убывает по £
2) функция/(^ := tg(t) возрастает по £
3) выполняется соотношение (10).
Теорема 1 (Беленький, Френкин, 2006). Класс сё исчерпывается двупараметрическим семейством функций вида
g (t) = [ 1 + (a/t )P]1/P,
t > 0,
(12)
с параметрами a > 0, P Ф 0.
Краткое доказательство теоремы дано в Приложении.
2. ОБЩИЙ ВИД КРИТЕРИАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА
Общий вид критериального функционала (1) беллмановской модели непосредственно вытекает из теоремы 1. Но прежде чем формулировать этот результат, отметим некоторые свойства соответствующих производящих функций.
2.1. Свойства CES-функций. Функции (12) отвечает производящая функция
Ф(u, v) = [(au)p + vр]1/р, (u, v) e a > 0, p^ 0, (13)
относящаяся к классу так называемых CES-функций, т.е. функций с постоянной эластичностью замещения (Constant Elasticity Substitution) (см. (Клейнер, 1986)). Выбором масштабных единиц факторов можно привести параметр a к единичному значению, и тогда соответствующая функция
gp(t) = [ 1 + (1/1)p]1/p, t > 0, (14)
содержит единственный существенный параметр p.
На рисунке схематически показана зависимость функции (14) от параметра p при некотором фиксированном значении аргумента t. Отметим следующие свойства этой функции: 1) при p > 0 gp(t) > 1 Vt;
2) при р < 0 gp(0 < 1 Vt;
3) в каждой из областей {р > 0}, {р < 0} функция gp(t), убывает по параметру р, претерпевая разрыв в точке р = 0.
Примечание. Если в двухфакторной положительно однородной CES-функции общего вида
^р(u, v) = (аup + ßvр)1/р, u, v > 0, параметры а, ß > 0 удовлетворяют условию а + ß = 1, то разрыва функции
£р( t) := ^р( 1/t, 1) = (ß + а Гр)1/р (15)
в точке р = 0 нет, а существует предел
go(t) := limg,(t) = Га, t > 0.
р^ o
Однако функция (15) не принадлежит семейству (12), так как ß Ф 1 (ß < 1), и поэто
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.