ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
Александр Николаевич КРАЙКО, крупный специалист в области газовой динамики и аэродинамики, ученик Г.Г. Черного, автор более 250 статей по механике и прикладной математике, активный рецензент и автор статей в ПММ, многократно премированный редколлегией за лучшую работу (ежегодные премии изд-ва Elsevier), отмечает 21 августа 2014 г. свое 80-летие. Редколлегия и редакция ПММ, коллеги и многочисленные ученики сердечно поздравляют его с юбилеем, желают здоровья и новых творческих успехов.
УДК 533.6.011.72
© 2014 г. А. Н. Крайко, К. С. Пьянков, Е. А. Яковлев
ОБТЕКАНИЕ КЛИНА СВЕХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА СО "СЛАБЫМИ" И "СИЛЬНЫМИ" СКАЧКАМИ
Рассмотрена задача обтекания клина равномерным сверхзвуковым потоком идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа. Если угол поворота потока, равный углу наклона образующей клина, меньше максимального, то эта задача имеет два решения. В решении с косым скачком меньшей интенсивности ("слабым") равномерный поток между скачком и клином почти всегда сверхзвуковой. Исключение — небольшая окрестность максимального угла поворота. Для совершенного газа эта окрестность при всех числах Маха набегающего потока не превышает долей градуса. За скачком большей интенсивности ("сильным") поток совершенного газа всегда дозвуковой. Во всех экспериментах с конечными клиньями наблюдаются "слабые" скачки. Одни исследователи причину такого выбора объясняют граничными условиями "вниз по потоку" ("справа на бесконечности" для потока, набегающего на клин слева), другие — неустойчивостью ("по Ляпунову") при обтекании клина течения с сильным скачком и устойчивостью течения со слабым скачком. Приведенные ниже результаты расчетов в рамках двумерных нестационарных уравнений Эйлера течений, реализующихся для конечных клиньев при задании на правой границе — дуге окружности между клином и скачком параметров за сильным скачком, продемонстрировали правоту первых и неправоту вторых. В этих расчетах после и малых, и достаточно больших возмущений исследуемые течения (действительно, неустойчивые по Ляпунову!) возвращаются к решению с сильным
скачком. Кроме того, задача стационарного обтекания клина рассмотрена как предел при бесконечном времени двумерных нестационарных задач. Упрощение одной из них приводит к задаче стационарного истечения перерасширенного сверхзвукового потока в затопленное пространство. В модели идеального газа эта задача эквивалентна обтеканию клина и со слабыми, и с сильными скачками. Все рассмотренные решения устойчивы.
В вышедшей в 1948 г. и вскоре переведенной на русский язык книге Куранта и Фри-дрихса [1] в связи с обсуждаемой проблемой читаем (с. 298, 299 перевода): "... возможны два косых ударных фронта, в которых течение поворачивается на угол (клина), — сильный и слабый. Возникает вопрос, какой из них осуществляется в действительности. Часто утверждают, что сильный фронт неустойчив, и поэтому осуществляется только слабый. Убедительного доказательства этой неустойчивости, по-видимому, никогда не было дано. Но даже не говоря об устойчивости, вопрос о том, какой из двух возможных ударных разрывов будет иметь место на самом деле, не может быть поставлен и решен без учета граничных условий на бесконечности. Течение может рассматриваться как предельный случай течения в канале, когда последний становится бесконечно широким, а наклонный участок неограниченно длинным. . течение зависит от условий, налагаемых на выходном конце канала. Если заданное там давление меньше некоторого предела, то на углу возникнет слабая ударная волна. Если же на выходном конце давление достаточно высоко, то для выполнения этого условия нужна сильная ударная волна. При соответствующих обстоятельствах эта сильная волна начнется как раз в углу, и поэтому из двух указанных возможностей осуществится именно сильная волна". Далее роль граничных условий "справа на бесконечности" разъясняется [1] в специальном разделе, а к устойчивости или неустойчивости решений с разными скачками авторы более не возвращаются.
В современном прочтении соображение о "соответствующих обстоятельствах "звучат так ([2] с. 249, 250): "В задаче сверхзвукового обтекания бесконечного клина с полууглом при вершине 9с < 9тах есть две точки пересечения ударной поляры с лучом 9 = 9с, и возникает проблема выбора одного из двух решений. ... Для реализации сильного решения при обтекании бесконечного клина нужно справа на бесконечности поддерживать давление, точно равное тому, которое дает сильное решение. Это — исключительная постановка, которую вряд ли стоит рассматривать. Если конечный клин плавно (с монотонным уменьшением угла наклона контура) переходит в пластину постоянной толщины, то доказано [3], что реализуется только слабое решение. С другой стороны, нельзя исключить, что у вершины клина, выдвинутого из торца пластины, обтекаемой с отошедшей ударной волной, течение описывается сильным решением". Последнее соображение 60 лет назад высказал Г.Г. Черный в лекциях, которые слушал автор [2]. В монографии [4] по тому же поводу сказано (с. 298): "... для однозначного выбора решения необходимы дополнительные соображения. Опыт показывает, что в течениях, близких к двумерным, и при отсутствии дальнейшего повышения давления в области вниз по потоку от излома стенки реализуются более слабые скачки", т.е. при наличии "повышения давления" Г.Г. Черный допускал сильные скачки. Гудерлей [5] со ссылкой на Буземана возможность обтекания клина с сильным скачком также связывал с установкой за клином препятствия, повышающего давление. В качестве такого препятствия рассмотрен клин с 9с > 9тах [5].
Б.Л. Рождественский [6, 7] стационарное обтекание бесконечного клина предложил получать как предел двумерного нестационарного течения — результата взаимодействия равномерного потока, носика клина и движущегося от его вершины с постоянной скоростью U полубесконечного плоского поршня, нормального образующей клина. Если х и у — декартовы координаты с началом в вершине клина, t — время, V— модуль скорости, а индекс 0 метит параметры набегающего потока, то возникающее
течение в переменных = х/( V/) и п = у/( V/) автомодельно. При этом стационарному обтеканию бесконечного клина с присоединенным скачком при конечных и п отвечает t ^ да. Согласно Б.Л. Рождественскому [6, 7], для заданных числе Маха М0 и угле поворота потока 9с течение с сильным скачком реализуется при некоторой скорости поршня U = Ц(М0, 9С), а обтекание со слабым скачком — при больших его скоростях, и "оба эти течения устойчивы в обычном для газовой динамики смысле".
При численном решении задач сверхзвукового обтекания бесконечных клина и конуса была предложена оригинальная нестационарная постановка этих задач [8, 9]. В ней кроме обычного условия непротекания на неподвижном прямолинейном контуре клина или конуса условие непротекания ставилось на идеально подвижном, по предположению также прямолинейном контуре, на котором задавалось давление р+, превышающее давление р0 набегающего потока. В обеих постановках интегрировались одномерные нестационарные уравнения, полученные из уравнений Эйлера в предположении коничности течения — независимости его параметров от переменной г полярных координат гф с началом в вершине обтекаемых тел и с углом ф, отсчитываемым от направления набегающего потока. Хотя предположение о коничности контура и течения, как и использованные уравнения, неверны, полученные результаты [8, 9] представляют несомненный интерес. Главный из них — демонстрация важности выбора граничных условий. Именно, при задании р+ на подвижном контуре в зависимости от величины р+ получались решения как со слабыми, так и с сильными скачками.
Если перечисленные выше авторы выбор слабого или сильного скачка связывают с граничными условиями "вниз по потоку", то, как уже отмечалось [1], распространено мнение, согласно которому этот выбор обусловлен устойчивостью решения со слабым скачком и неустойчивостью с сильным. Более того, в отличие от состояния исследований в середине прошлого века, к настоящему времени выполнены исследования, вроде бы, доказывающие справедливость последнего утверждения (см., например, [10—16]). Не вдаваясь в подробности, в частности, в то, как при анализе устойчивости решения с сильным скачком учитываются необходимые в этом случае условия "вниз по потоку", отметим, что для линеаризованных уравнений изучалась [10—16] устойчивость по Ляпунову. Наконец, что удивительно, авторы [10—16], вопреки сказанному выше, отстаиваемую ими позицию приписывают со ссылками на [1] Куранту и Фридрихсу, называя ее даже в заголовках (см., напрмер [14, 16]) несуществующей "гипотезой Куран-та—Фридрихса".
Ниже изложение построено следующим образом. В разд. 1 приведены результаты численного интегрирования двумерных нестационарных уравнений Эйлера, описывающих сверхзвуковое обтекание конечного клина при постановке между его образующей и косым скачком (на дуге окружности г = 1) условий, отвечающих решению с сильным скачком. При начальных условиях, отвечающих тому же решению, интегрирование указанных уравнений изменений полей параметров не обнаружило. Затем во всех расчетных ячейках между скачком и клином давление при неизменных прочих параметрах уменьшалось или увеличивалось на фиксированную величину. Согласно результатам расчетов возмущенные течения с сильным скачком, будучи в соответствии с результатами работ [10—12, 16] неустойчивыми по Ляпунову, тем не менее, с ростом времени почти во всей расчетной области приближаются к исходному невозмущенному течению. Одновременно размер возникшей у вершины клина области конечного отличия течений при t ^ да также стремится к нулю. В этом отношении рассмотренное обтекание конечного клина с сильным скачком устойчиво "асимптотически", хотя, возможно, и не "в обычном для газовой динамики смысле".
В разд. 2 в развитие идеи Б.Л. Рождественского [6, 7] задача сверхзвукового стационарного обтекания бесконечного клина ищется как предел (при конечных и п и t ^ да) двумерных нестационарных задач, автомодельных из-за отсутствия среди
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.