ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 533.6.011.72:534.222.2
© 2013 г. А. Н. Крайко, Н. И. Тилляева
ОБТЕКАНИЕ КОНУСА ГОРЮЧЕЙ СМЕСЬЮ С ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНОЙ ЧЕПМЕНА-ЖУГЕ
В классической постановке бесконечно тонкой детонационной волны (ДВ) в невязкой и нетеплопроводной горючей смеси исследуется обтекание кругового конуса в режиме самоподдерживающейся детонации Чепмена— Жуге ("детонации ЧЖ"). Такой режим обтекания конуса замечателен в нескольких отношениях. Еще в 1959 г. Г.Г. Черный и С.С. Квашнина показали, что при обтекании конуса сверхзвуковым потоком горючей смеси детонация ЧЖ, как и в случае клина, возможна не только при строго определенном угле конуса ("угле ЧЖ"), но и при меньших его углах (включая нулевой, т.е. при отсутствии конуса). При обтекании клина, угол которого меньше соответствующего угла ЧЖ, к ДВ ЧЖ примыкает центрированная волна разрежения, поворачивающая сверхзвуковой поток до требуемого направления. В случае конуса к ДВ ЧЖ также примыкает коническое течение разрежения. Однако, если в плоском случае к центрированной волне разрежения по ее граничной С+-характеристике примыкает равномерный сверхзвуковой поток, то коническое течение разрежения ограничено конической ударной волной (УВ), к которой до поверхности конуса примыкает коническое течение сжатия. Только при нулевом угле конуса УВ вырождается в С+-характеристику, а коническое течение сжатия — в равномерный сверхзвуковой поток. Конфигурация же, которая реализуется в общем случае, стала первым примером автомодельного решения с двумя расходящимися из одной точки УВ "одного семейства" (первая из них — ДВ). Результаты выполненных в данной работе расчетов с построением линий тока и характеристик обоих семейств дают достаточно полное представление об указанных особенностях рассмотренных течений.
Впервые обнаруженная Г.Г. Черным и С.С. Квашниной [1] в автомодельной задаче возможность расходящихся с удалением от вершины конуса ударной волны и детонационной волны одного семейства (движущихся относительно газа в одном направлении) замечательна уже тем, что газ и перед, и за детонационной волной — совершенный с постоянными теплоемкостями и их отношением ("показателем адиабаты") у. Для такого газа юрр — "фундаментальная" производная от
удельного объема ю по давлению р при постоянной энтропии б, равная (1 + у)ю3а-4, где а — скорость звука, положительна, т.е. газ "нормальный" [2—6]. Обнаруженные позднее [7—10] (см. также [11]) в автомодельной задаче о распаде произвольного разрыва конфигурации с расходящимися ударными волнами одного семейства в отличие от предыдущего [1] возможны только в "нормально-ненормальных" газах со знакопеременной фундаментальной производной.
В дальнейшем результаты Г.Г. Черного и С.С. Квашниной [1], частично отраженные в последующих публикациях [12, 13], были перенесены [14] на нестационарные цилиндрически и сферически симметричные течения, а также [15] — на такие течения с допущением еще одной детонационной волны или фронта горения. Позднее статьи [1, 12, 14] были включены в ретроспективный сборник [16]. Столь ограниченный, хотя, возможно, и не совсем полный "след" исключительно интересных особенностей, выявленных в [1], можно объяснить сравнительно небольшим объемом расчетных данных, иллюстрирующих там эти особенности. Главная цель данной работы — восполнить отмеченный пробел.
1. Необходимые формулы и уравнения. Пусть V — вектор скорости газа с проекциями и и V на оси прямоугольных координат ху, лежащих в меридиональной плоскости; начало координат совмещено с вершиной конуса, обтекаемого равномерным сверхзвуковым потоком детонирующей смеси, ось х совпадает с осью конуса; V = IV h — удельная энтальпия, р = 1/ю — плотность газа, М — число Маха. Если скорости, плотность и
давление отнести к У°, р^ и (индекс да метит параметры набегающего потока,
градус — размерные величины), то = рш = = 1, и для совершенного газа, что да-
г-2
-2
лее предполагается, а1 = урю, р„ = М„ /у, Н„ = М„ /(у - 1) + q до детонационной волны
(ДВ) и h = а2/(у — 1) — за ней (д — теплота реакции, отнесенная к Р^2).
В используемых далее полярных координатах гф с началом в вершине конуса и с углом ф, который отсчитывается от оси х, параметры потока зависят только от угла ф. За ДВ Чепме-на—Жуге (ДВ^ и нормальная к волне скорость газа равна скорости звука. С учетом этого для параметров течения за ней и угла ее наклона фт к оси х или, что то же, — к вектору скорости набегающего потока из законов сохранения массы, двух компонент импульса и энергии придем к известным соотношениям
(
Pi = Р» + (y - 1)
q +
2 + 2yqp
л
2 1 y - 1
Р» = ■
1
©j =■
YPj
yM» " (y + 1)Рт - Р» sin9j = v(1 + y)Pj - Р», Uj = (1 - ©j)sin9j00s9j, Uj = 1 - Ujtg9j
tgs j = Uj/Uj, Vj = v Uj2 + Uj2, mj = Vj/j yPj©j
(1.1)
Так как sinфJ < 1, то максимальная теплота реакции дт, для которой при фиксированном рм или Мш реализуется стационарная ДВ^ определяется равенством: sinфJ = 1. Отсюда и из первой и четвертой формул (1.1) найдем
q m (1 -YPX ) q
2(У -1)
(1.2)
Поскольку ур„ = М- , то дт от нуля при Мш = 1 с ростом Мш быстро приближается к своему предельному значению 1/[2(у2 — 1)].
За ДВ все термодинамические параметры и М — известные функции V (при наличии ударной волны (УВ) — разные до и после нее). До УВ р ир определяются формулами
Р =
(Y-1)
2H - V'
p = V, а2 =у Р, H = Т + J S = P&J (1.3) Р Y-1 2
-|1/(у-1) 2
с y 2 Р тт YPJ®J , V , р = Std , а = y—, H = т т + -
2ySj J
При наличии УВ — луча ф = const < фт — параметры за ней находятся по формулам I"1 ^
ю+ ю_
2sin2| _
Y + 1 (у + 1>т(ф - 9_) Р
Р+ — 1 + 2у M_sin2(ф - 9_) -1
у +1
2 2 2 2 + _ 1 2 sin |_ - sin (ф - 8_) + _ 2 sin (ф - 8_) - sin |_
y + 1 _ (y + 1МФ-е_)
е+ — е_ + е+, v+ — v_VU+27u+2, m+ — v+ д/yp+®+ u+ — v+cose+, и+ — v+sine+
tge+ — ■
(1.4)
+
где ц — угол Маха, нижние индексы минус (плюс) метят параметры до (после) УВ, а верхние индексы плюс — вспомогательные величины. За УВ р и р как функции Vдаются соотношениями (1.3) с заменой Б7 на Б+ = р+ю+-
Если за независимую переменную взять х-компоненту скорости и, то для конических течений (КТ) выполняются известные уравнения [1—6, 17, 18]
й 2и дД + и>1 N
иии = —2 = N—2^, °и = Фи = —
йи а и а и (. 5)
(и + )2 (1
N = а - Уп, Уп = --2г~ = (usinф - иео8ф)
1 + и»2
Отношение Мп = Vn/а имеет тот же смысл, что число Маха, определяющее тип двумерных КТ [5, 6]. Исходя из этого, осесимметричные КТ с Мп > 1, назовем "конически сверхзвуковыми", с Мп < 1, например, за УВ и на конусе — "конически дозвуковыми", а луч ф = фЛ0, на котором N = 0 и Мп = 1, — "конически звуковым" (см. [18]).
Работа с первым уравнением (1.5) и Уп , определенным по и, и и ии, до сих пор считалась предпочтительной из-за того, что без привлечения второго уравнения его интегрирование позволяет строить кривые КТ: и = и(и) в плоскости годографа. Однако, на самом деле, при одинаково простом численном интегрировании одного уравнения второго порядка — первого уравнения (1.5) и двух уравнений первого порядка — второго и третьего уравнений (1.5) использование двух уравнений упрощает и анализ, и построение разных КТ.
Во всех задачах построения КТ угол ф изменяется в одном направлении (как правило, уменьшается). Например, при обтекании конуса потоком, направленным слева, он уменьшается от угла наклона ДВ (ф^) или УВ (ф^) до полуугла при вершине кону-
2 2
са (ф = 9с). За УВ конечной интенсивности и пересжатой ДВ и > 0, ^П < а и N> 0, т.е. течение конически дозвуковое и правая часть третьего уравнения (1.5) положительна. Поэтому для уменьшения ф х-компоненту скорости и от ее значения и+ за УВ или за пересжатой ДВ нужно уменьшать до некоторой заранее неизвестной величины ис. В силу второго уравнения (1.5) с отрицательной правой частью ^-компонента скорости и, а тем
более 0 = и /и будут расти. В силу изэнтропичности и изоэнергетичности КТ и формулы для а2 найдем, что
N =_N£Щ2(Ф_-е) _ кр3а4Юрр !1П(Ф-0) (1.6)
где ф - 9 > 0 с равенством только на образующей конуса. Для совершенного газа [5, 6]: р3а4к>рр = у + 1. При N > 0 правая часть полученного выражения отрицательна, поэтому в рассматриваемых случаях N с уменьшением и монотонно растет и течение остается конически дозвуковым.
Иная ситуация за ДВ^ за которой, как и ранее, и^ > 0 , но N = 0. При этом за ДВТ правая часть уравнения (1.6) по-прежнему отрицательна, однако величина N при отходе от ДВТ станет положительной при уменьшении и и отрицательной при ее росте. Важно, что согласно третьему уравнению (1.5) в обоих случаях ф будет уменьшаться, и следовательно, для ДВТ интегрирование уравнений (1.5) возможно в направлении и уменьшения, и роста и. В первом случае, согласно второму уравнению (1.5), и растет,
0 = и /и > 0 также растет и вогнутые линии тока при и ^ ис, как и в рассмотренных
выше примерах, приближаются к лучу ф = 9с = 9с1, совпадающему с образующей конуса. На ней в силу условия непротекания Уп = 0, N = а2 > 0. В таком решении величина N между ДВТ и поверхностью конуса положительна, а течение конически дозвуковое. Для сверхзвукового за ДВТ "полного" числа Маха М здесь реализуются те же возможности, что и при обтекании конуса инертным газом [2—6, 17].
При интегрировании уравнений (1.5) в направлении роста и согласно второму уравнению (1.5) и уменьшается, 9 = и /и > 0 также уменьшается, и теперь выпуклые линии тока при некотором и ^ У0 > щ и ф ^ ф0 < фт могут стать горизонтальными: и0 = 90 = 0. С другой стороны, знак правой части уравнения (1.6) при значении N которое, став отрицательным, сначала растет по модулю, неизбежно изменится из-за уменьшения и, а вместе с ним — и первого слагаемого. По этой причине, начиная с некоторого и, правая часть уравнения (1.6) станет положительной, и отрицательная величина N начнет расти (уменьшаясь по модулю). Из-за уменьшающегося и в знаменателе первого слагаемого правой части уравнения (1.6) скорость роста N будет увеличиваться.
Естественно рассмотреть возможность одновременного обращения в нуль и и N при и = У0. В этом случае 8Шф0 = 8тц0 = а0/У0, где а0 — скорость звука, получающа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.