М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 532.526.2
ОБТЕКАНИЕ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА НА РЕЖИМЕ СИЛЬНОГО ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
© 2015 г. Г. Н. ДУДИН*, Ф. Х. НГУЕН**
* Центральный аэрогидродинамический институт им. Н.Е. Жуковского, Жуковский, Московская обл.
** Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный, Московская обл. e-mail: gndudin@yandex.ru
Поступила в редакцию 03.02.2015 г.
Исследовано течение в пространственном ламинарном пограничном слое на плоском треугольном крыле с размахом порядка единицы на режиме сильного взаимодействия. Приведены разложения функции течения в виде степенных рядов по поперечной координате в окрестности плоскости симметрии крыла и его передней кромки. Проведены сращивание полученных разложений для определения индуцированного давления по размаху крыла и сравнение с результатами численного решения конечно-разностным методом уравнений пограничного слоя в частных производных.
Ключевые слова: пограничный слой, треугольное крыло, сильное взаимодействие, сращивание.
Первые важные результаты по исследованию пространственных течений около полубесконечной треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия получены в [1, 2], где показано, что задача может быть приведена к автомодельной (зависимость только от двух переменных), однако полученное решение не удовлетворяло условию не протекания в плоскости симметрии. Исследования течения на нехолодных треугольных крыльях показали, что на режиме сильного взаимодействия разложение функций течения в окрестности передней кромки не единственно, а содержит константу [3]. При соответствующем выборе ее, в принципе, можно удовлетворить условиям вниз по потоку (в плоскости симметрии). Указанная плоскость является особой, так как в зависимости от угла стреловидности крыла и других определяющих параметров в ее окрестности могут реализоваться течения как со стеканием, так и растеканием. Связано это с образованием в окрестности передних кромок двух вторичных потоков внутри пограничного слоя, направленных от кромок к центру крыла, причем их скорость может оказаться по порядку величины равной скорости невозмущенного потока [4].
Глобальные решения уравнений пограничного слоя на тонком треугольном крыле при симметричном обтекании получены в [5, 6], где система уравнений решалась конечно-разностным методом от одной передней кромки до другой с учетом изменения направления параболичности. Особенности обтекания треугольной пластины были рассмотрены в [7], где указана принципиальная возможность существования в окрестности плоскости симметрии течения, описываемого уравнениями пограничного слоя на режиме сильного взаимодействия. Построение аналитического решения в окрестности плоскости симметрии в виде разложения в степенной ряд, несомненно, пред-
ставляет интерес, так как позволяет определить поведение функций течения в окрестности особой плоскости, конечно, если уравнения пограничного слоя справедливы в этой области течения. Для главных членов разложений функций течения в окрестности плоскости симметрии в [7] была сформулирована краевая задача, которая содержит параметр, связанный со второй производной от индуцированного давления. Величина параметра должна определяться из условия сращивания этого решения с решением, которое должно строиться от передней кромки [3], которое, как указывалось выше, также содержит неизвестную константу. Исследование влияния указанного параметра на решение краевой задачи показало, что значение этого параметра наиболее сильно влияет на профиль производной от поперечной компоненты скорости по размаху крыла [8], причем возможно качественное изменение характера течения в этой области. В [8] было также установлено, что уравнение поперечного импульса в общем случае не может быть решено методом прогонки, так как из-за наличия неоднородного члена нарушается достаточный признак хорошей обусловленности [9].
Исследование обтекания треугольного крыла с малым углом стреловидности [10] показало, что в этом случае краевая задача содержит малый параметр, связанный с углом стреловидности, и в окрестности плоскости симметрии можно построить коорди-натно-параметрическое разложение для функций течения и последовательно определить коэффициенты разложения. Причем в отличие от общего случая [7] в этой задаче неизвестный параметр, связанный со второй производной от давления, не появляется, что существенно упрощает процедуру сращивания [11]. Однако процедура сращивания двух решений на треугольном крыле с размахом порядка единицы до сих пор не была проведена.
В настоящей работе исследуется течение в ламинарном пограничном слое на треугольном крыле с размахом порядка единицы. Рассматривается режим сильного вязко-невязкого взаимодействия. Проведено разложение функций течения в степенные ряды по поперечной координате в окрестности плоскости симметрии. Построение разложения для решения вблизи передней кромки позволило определить значения собственного числа, которое характеризует интенсивность передачи возмущений вверх по потоку. Впервые проведенное сращивание полученных разложений позволило найти неизвестные константы в окрестности плоскости симметрии и окрестности передней кромки, а также значение поперечной координаты, при которой происходит сращивание. Проведено сравнение с численным решением уравнений в частных производных конечно-разностным методом.
1. Рассматривается симметричное обтекание полубесконечного плоского треугольного крыла на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия при температуре его поверхности Tw. Газ считается совершенным с отношением удельных теплоемкостей у = cp/си и динамическим коэффициентом вязкости, линейно зависящим от температуры = cm Т/Тт , где С(ю = const, а индекс да обозначает параметры в невозму-
v 0 0 0 щенном потоке. Компоненты вектора скорости u , и , w в пространственном лами-
„ 0 0 0
нарном пограничном слое направлены, соответственно, вдоль осей x , y , z декартовой системы координат, начало которой расположено в вершине крыла с углом стреловидности передней кромки р. Предполагается, что размах крыла z0 = ctgP = O (1).
Ось x0 направлена вдоль оси симметрии крыла, а ось z° — по размаху крыла. Рассматривается предельный случай, когда в невозмущенном потоке Ua3 — скорость, рш — плотность и Hx — энтальпия стремятся к постоянным значениям, а число Маха Мм ^<х>. В этом случае рм — давление, — скорость звука и То — температура стремятся к нулю.
Согласно гиперзвуковой теории малых возмущений [12], при Мм > 1 и безразмерной толщине ламинарного пограничного слоя 8 ^ 1, в случае выполнения предположения о сильном взаимодействии М»8 ^ 1, индуцированное давление, создаваемое
толщиной вытеснения, имеет порядок р_ ~ р^М^б2. Температура газа внутри пограничного слоя порядка температуры торможения Т0, тогда из уравнения состояния по-
о
лучаем оценку для плотности р ~ р„8 .
Исходя из равенства порядков главных членов продольного уравнения импульса, получаем оценку для 5
оо ды°_~ _д_(о ды°_ | р»Ъ2и» Цоы» д ~ ^-1/4
дх_ ду_ Г ду_J, Ь Ь21}' 0
Здесь Яе0 = ртытЬ/ц 0 — число Рейнольдса, ц 0 — динамический коэффициент вязкости при температуре торможения, Ь — характерный размер, который при рассмотрении обтекания полубесконечного крыла в конечные результаты не входит. Для
о
оценки величины поперечного компонента скорости V учтем, что в пространственном пограничном слое он создается градиентом давления по размаху крыла. Приравнивая главные инерционные члены и градиент давления в уравнении переноса коли-
о
чества движения вдоль оси г , получаем
о о дм0 др_ 8 ^ ~ р^ы,ю5 ~ 1
дг_ дг0' гоЬ гоЬ ' ы„
Следовательно, в пограничном слое на треугольном крыле с размахом порядка единицы может образовываться поперечное течение со скоростью порядка скорости набегающего потока. Заметим, что тот же по порядку величины градиент давления
дpo /д
Z в невязкой части течения, где плотность газа велика, вызывает лишь малые поперечные скорости, которые имеют порядок uj&2z0)1 [13]. Нормальный компонент
О о -1
скорости в данном случае — и ~ u^oz0 ■
При выполнения условия M»8 ^ 1 для определения давления, создаваемого толщиной вытеснения, можно использовать приближенную формулу "касательного клина" [12]. В соответствии с оценками для ламинарного пространственного пограничного слоя в гиперзвуковом потоке [12, 14, 15] вводятся безразмерные переменные
xo = Lx, yo =8 Ly, zo = z oLz*, ^0 o^ (1.1)
o o 2^2 o
e = LOOe, p = pXÖ p, p = pMUMÖ p*, U = UXU
wo = uxw, иo = ux8z- 1U*, Ho = 0.5u2H, 8 = z^4 Re-^4
Далее используется преобразование А.А. Дороницына
y
1 = \pdy, v& = pu* + zou + w Лк (1.2)
0 dx dz*
В переменных (1.1) и (1.2) система уравнений ламинарного пространственного пограничного слоя приводится к виду
го ди + дК + ди, = 0 дх дz* дХ
ди , ди ди z0 др* , д { ди z 0и— + и6 — + V-= —0-+ — 1цр —
дх дХ дz* р дх дХ\ дХ.
дw , 1др* , д ( z 0и— + и5 — + V- =---+ — шр—
дх дХ дz* pдz* дХ\ дХ
(1.3)
дН^ дН^ дН д, z0u — + и8-+ V— = —^цр
дх дХ дz* дХ
1 дН 1 -стд(и2 + м2)
а дХ а
дХ
ТТ 2у р* 2 2 тт 2 2
Н =----+ и + V , Ц = Н - и - V
у-1 р
X = 0: и = V = и = 0, Н = Нк, X ^ да: и ^ 1, V ^ 0, Н ^ 1
Здесь а — число Прандтля. Для учета особенностей поведения функций течения в окрестности вершины треугольного крыла вводится преобразование переменных, приводящих задачу к автомодельной по продольной координате [14, 15]
z* = xz, X = х 3/4Х*, р* = х 1/2 р* (г)
р = х-1/2р* {X, z), 5е = х3/45* (z), и6 = х-3/4 (и* - хк0
(1.4)
В переменных (1.4) краевая задача (1.3) сводится к двумерной, зависящей от координат X* и z, так как продольная координата x выпадает из краевой задачи. Для учета симметричности течения на крыле и поведения функций течения в окрестности передних кромок (= ±1) вводятся переменные, подобные [14, 15], которые, однако, не являются автомодельными (по оси z)
П* = |0(1 _ z2)-1/4 X*, Р ^) = 7Г_7Р*, А (z) = (1 - z У3/4 5* V 2У
(1.5)
Ц) =
1 - z2
(V - zоuz^ + ^(1 - z2)
Система уравнений пространственного пограничного слоя и граничные условия на полубесконечном плоском треугольном кры
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.