ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 3, 2009
НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МАШИНОСТРОЕНИИ
УДК 539.374
© 2009 г. Непершин Р.И.
ОБЖИМ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ КРИВОЛИНЕЙНОЙ МАТРИЦЕЙ
Разработана модель обжима тонкостенной трубы криволинейной матрицей с учетом упрочнения, нормальной анизотропии, изменения толщины стенки и контактного трения по безмоментной теории жесткопластической оболочки с квадратичным условием пластичности. Вычислительная программа модели определяет распределения толщины меридионального напряжения, контактного давления и напряжения текучести упрочненного материала вдоль образующей деформированной трубы и график изменения силы обжима в зависимости от перемещения пуансона.
Обжим тонкостенной цилиндрической трубы матрицей с криволинейной образующей позволяет получать сложную форму трубы. Известным ограничением обжима является потеря устойчивости тонкостенной трубной заготовки при большом радиальном обжатии под действием осевой силы, зависящей от технологических параметров процесса. Применение кинематических ограничений стенки трубы по внутреннему и наружному диаметру в конструкции инструмента позволяет существенно повысить устойчивость заготовки при обжиме. Близким по геометрии к обжиму является процесс раздачи трубы жестким пуансоном, увеличивающим диаметр трубной заготовки. Этот процесс ограничен локализацией пластической деформации на свободной кромке трубы, приводящей к разрушению. Сочетание процессов обжима и раздачи позволяет получать оболочки вращения сложной формы с большим изменением диаметра при существенной экономии металла по сравнению с вырубкой-пробивкой и вытяжкой из плоской заготовки [12].
Известные расчеты обжима трубной заготовки обычно ограничены конической формой матрицы с использованием приближенного условия пластичности изотропного материала, с приближенным учетом изменения толщины стенки и упрочнения [1-3]. Деформируемая труба при обжиме конической матрицей искривляется в зонах сопряжения цилиндрической и конической поверхностей вследствие пластического изгиба. Эти зоны трудно рассчитать теоретически. Вместе с тем, криволинейную форму можно задать для обеспечения гидродинамических или аэродинамических параметров потока жидкости или газа в трубе переменного сечения. Материал тонкостенной трубы может обладать нормальной анизотропией, влияющей на напряженное состояние и изменение толщины стенки. Поэтому разработка расчетной модели обжима трубы криволинейной матрицей с учетом нормальной анизотропии и упрочнения материала при холодной деформации представляется актуальной практической задачей.
H
Постановка задачи и основные соотношения. На рис. 1 показана схема обжима трубной заготовки. Криволинейный профиль матрицы на длине H0 по оси симметрии г задается зависимостью r = г(г) с непрерывной касательной с углом наклона ф с осью г. Профиль представляет S-образную кривую с изменением радиуса от r0 до R0, углом ф = 0 в точках A и C, и ф = а в точке перегиба. Допустимая кривизна профиля определяется условием непрерывности контакта деформируемой заготовки с матрицей с положительным значением контактного давления, которое находится при решении дифференциального уравнения равновесия деформируемой трубы совместно с условием пластичности.
Пластическое деформирование конца трубы происходит при перемещении s исходной заготовки с толщиной стенки h0 по оси г. Перемещению s соответствует длина деформируемого участка трубы AB. При s = l0 точка B совпадает с конечной точкой C профиля, после которой пластическая деформация прекращается. При 0 < s < l0 имеет место нестационарная стадия обжима с ростом пластических деформаций и увеличением толщины стенки трубы h на криволинейном профиле AB. При s > l0 наступает стационарная стадия процесса.
При обжиме тонкостенной трубы материальный элемент деформируемой трубы на контакте с матрицей находится в плоском напряженном состоянии двухосного сжатия с главными напряжениями о2 = Оф < 0 в меридиональном направлении по касательной к профилю, о3 = ое < 0 в окружном направлении и о1 = 0 по нормали к профилю. При малой толщине h по сравнению с r0 и радиусами кривизны профиля матрицы изгибны-ми напряжениями можно пренебречь, рассматривая нормальные напряжения в касательной плоскости к срединной поверхности деформируемой трубы. В случае нормальной анизотропии по толщине листа, из которого получена трубная заготовка, квадратичное условие пластичности в главных напряжениях, обобщающее условие Мизеса для изотропного материала, имеет вид
Рис. 1
2a 2
-оеоф = о.
°е + оф еиф = ,
(1)
где а - коэффициент нормальной анизотропии, равный отношению деформации по ширине к деформации по толщине при растяжении плоского образца [4]; - напряжение текучести.
Упрочнение материала при холодной деформации моделируется кусочно-параболической зависимостью <5$(ер) от накопленной пластической деформации ер, получаемой аппроксимацией экспериментальной кривой упрочнения [5, 6]. Приращение накопленной пластической деформации йер определяется квадратичным инвариантом тензора приращений пластических деформаций при сложном деформированном состоянии. В случае нормальной анизотропии йер определяется приращениями пластической деформации в направлениях 0 и ф по формуле
der
1 + a
J
1 + a + a
Jdel + deф + deede4
(2)
2
Приращения пластической деформации йее и йе^ связаны соотношением закона течения, ассоциированного с условием пластичности (1)
(1 + а )оф - аое
йеф = сйее, с = —-—--. (3)
ф е (1 + а)ое - аоф
Величина йее = йт/т при обжиме трубы отрицательна и находится по изменению координаты т материальной точки. С использованием соотношения (3) формула (2) принимает вид
, 1 + а Г 2
йер = . = у1 + с + с
л/ 1 + а + а
(4)
где с определяется второй формулой (3) при известном напряженном состоянии.
Приращение деформации по толщине стенки трубы выражается через йее из условия несжимаемости и первого соотношения (3)
т = -( 1 +с) (5)
Формула (5) используется для расчета изменения толщины стенки трубы при известном напряженном состоянии, определяемым интегрированием уравнений равновесия с условием пластичности (1). Кромка трубы в точке В (рис. 1) находится в напряженном состоянии одноосного сжатия ое = -оу. В этой точке коэффициент с имеет постоянное значение -а/(1 + а). Пластическая деформация и толщина стенки трубы в точке В с координатной тВ на профиле матрицы определяются из формул (4) и (5) для данного значения с
1 кр/2 ь ( 1 , Яр-ко/2 Л
ер = 1п-—-, к = к0ехр ---1п---(6)
р тВ - к/2ео8ф 0 и + а тВ - к/2ес«ф^
и напряжение ое определяется по кривой упрочнения оу(ер).
Операцию обжима можно использовать для деформирования трубы с начальными размерами Я0, к0, 10 в трубу с конечными размерами т0, к, I, толщина стенки которой определяется из второй формулы (6) при тВ = т0 и ф = 0
( 1 Я0 - к0/2л
к = тоехр ^-ЯО-кк) (7)
и длина I находится из условия сохранения обмена I = 10[к0(Я0 - к0/2)/к(т0 - к/2)].
При интегрировании последующих уравнений равновесия условие пластичности (1) используется для определения напряжения ое, которое при обжиме трубы выражается по формуле
°е = Т+а[ а0ф - л/ (1 + а )2 о^- (1 + 2 а )оф ]. (8)
Расчет напряженного состояния. Напряженное состояние деформируемой трубы рассчитывается по безмоментной теории тонкой жесткопластической осесимметрич-ной оболочки при условии пластичности (1) с учетом упрочнения, изменения толщины к по формуле (5) и трения по Кулону с коэффициентом трения/на границе контакта с матрицей. При наличии трения напряженное состояние элемента трубы зависит от нормального давления р на границе контакта с матрицей, которое удовлетворяет уравнению равновесия сил по нормали к срединной поверхности
' = -h irs-^j- <9)
где R1, R2 - радиусы кривизны срединной поверхности в меридиональном и нормальном к профилю сечении соответственно.
При задании уравнения профиля матрицы в виде дифференцируемой функции r = г(г) радиусы кривизны определяются формулами
2 -1
п /1 » 2 з/2 (d Л h dr
Ri = ( 1 + 18ф) Ы + h tg ф = (10)
R2 = -ZZTZ-l (11)
h
cos ф 2'
Из формулы (9) следует, что при выполнении неравенства r2
°е<°ф R (12)
давление p на контакте матрицы с деформируемой трубой положительно.
При нарушении неравенства (12) происходит потеря контакта трубы с матрицей с искривлением образующей срединной поверхности. Если профиль матрицы удовлетворяет условию ф < п/2, то из (11) следует R2 > 0 при r > h. Нарушение неравенства (12) возможно при больших углах ф и малых положительных значениях R1, так как ое и Оф отрицательны.
На вогнутом участке профиля матрицы (рис. 1) вторая производная в формуле (10), определяющая радиус кривизны R:, положительна. Если этот радиус мал, то при больших углах ф, увеличивающих радиус кривизны R2, может происходить отрыв трубы от матрицы даже при небольшом сжимающем напряжении Оф в этой зоне. На выпуклом участке профиля матрицы вторая производная в формуле (10) отрицательна, но сжимающее напряжение Оф имеет большую величину. Отрыв трубы от матрицы возможен при малом радиусе кривизны профиля матрицы по сравнению с толщиной стенки. В этом случае радиус кривизны срединной поверхности трубы R: может принять малые положительные значения в формуле (10). Экспериментальные факты искривления профиля трубы при обжиме конической матрицей с малым радиусом закругления на выходе и при обжиме с плоским участком профиля (ф = п/2) известны в практике листовой штамповки [2, 3]. В настоящей работе условие положительности давления p проверяется при расчетах напряженного состояния с использованием формулы (9).
Равновесие элемента трубы на направление касательной к образующей срединной поверхности с учетом переменной толщины и трения приводит к дифференциальному уравнению
^Оф + Oldh + О ф - Ое + _Pf_ = 0. (13)
dr h dф r h sin ф
Исключение ое и p/h с помощью уравнений (8) и (9) приводит (13) к дифференциальному уравнению для напряжения Оф при известном распределении h и oS вдоль образующей срединной поверхности.
Если профиль матрицы задан уравнением r = r(z), то интегрирование (13) удобно выполнять по переменной z. В этом случае из урав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.