АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2007, том 41, № 4, с. 291-329
УДК 521.172:531.011, 521.18
ОБЗОР РАБОТ ПО ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
© 2007 г. К. В. Холшевников*, Э. Д. Кузнецов**
*С.-Петербургский государственный университет **Уралъский государственный университет, Екатеринбург Поступила в редакцию 31.07.2006 г.
Излагается история познания основных законов движения больших планет Солнечной системы. До Ньютона описание движения было чисто математическим, не опирающимся на физику ввиду неразвитости последней. С позиций современной математической теории аппроксимации все модели от предшественников Птолемея до Кеплера включительно различались лишь в деталях. Математическая теория работала на бесконечном интервале времени; движение было представлено квазипериодическими функциями П. Боля (частный случай почти-периодических функций Г. Бора). После Ньютона математическое описание движения стало базироваться на физических принципах и приняло форму обыкновенных дифференциальных уравнений. Появление в XX веке общей теории относительности (ОТО) и других релятивистских теорий тяготения слабо изменило математическую ситуацию в данной области. Действительно, в Солнечной системе эффекты ОТО столь малы, что достаточно пост-постньютоновского приближения. Поэтому сохраняется математическое описание с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, сохраняется лагранжева или гамильтонова форма уравнений. С начала XVIII и до середины XX века все нужные для практики теории движения больших планет строились аналитически методом малого параметра. В начале XX века Ляпуновым и Пуанкаре была установлена сходимость разложений на достаточно малом интервале времени. Позднее Холшевниковым был оценен этот интервал величиной порядка нескольких десятков тысяч лет, что согласуется с результатами численных экспериментов. С начала первой половины XIX века появились и первые работы, аналитически описывающие (в первом приближении) эволюцию на космогонических временах (Лаплас, Лагранж, Гаусс, Пуассон). В начале XX века на основе этих работ был развит метод осреднения. Во второй половине XX века появились мощные аналитические и численные методы, позволившие существенно продвинуться в проблеме описания орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы. Их описанию и посвящена настоящая статья.
РАС8: 95.10.Ce
ВВЕДЕНИЕ
Развитие наблюдательной и вычислительной техники привело к заметному прогрессу в изучении движения основных тел Солнечной системы (Солнца и больших планет) в двух взаимосвязанных направлениях. Первое - представление движения с наибольшей возможной точностью на коротком интервале времени (порядка 10-103 лет). Второе - качественное описание основных свойств движения на космогонических временах (порядка 104-1010 лет). В настоящем обзоре, не претендуя на полноту, мы опишем важнейшие достижения в указанной области науки. Основное внимание мы уделим результатам последних десятилетий, но коснемся и последнего столетия, и даже древних времен.
От халдеев и греков до Кеплера включительно теоретическая астрономия не имела возможности опираться на физику (ввиду неразвитости последней) и базировалась исключительно на мате-
матике. С точки зрения современного математика - специалиста по теории аппроксимации -астрономы тогда строили математические модели, в каком-либо смысле наилучшим образом представляющие наблюдения. Самое интересное, что модели эти очень похожи (с точки зрения упомянутого математика), хотя почти вся литература по истории астрономии говорит об обратном. Во-первых, каждая модель представляла движение планет на бесконечном в обе стороны интервале времени. Во-вторых, движение описывалось квазипериодической по П. Болю (Левитан, 1953) функцией времени, т.е. почти-периодической по Г. Бору функцией с конечным набором базовых частот. У Птолемея, Коперника и Тихо Браге это были частоты обращения по деферентам и эпициклам. С наращиванием их числа увеличивался и частотный базис. У Кеплера он уменьшился до числа планет Ы, каждая из которых обращалась вокруг Солнца со своей собственной частотой. Вопрос об устойчивости планетных орбит не сто-
ял: в почти-периодическом движении все возвращается на круги своя.
Небезынтересно отметить такой парадокс. Математическая теория Кеплера, послужившая фундаментом физики Ньютона, описывает движение планет с ограниченной точностью, причем с течением времени расхождения теории и наблюдений растут до неприемлемых значений (скажем, до 180° для разности долгот). Главная причина - недостаточность базиса из N частот. Между тем совершенно нефизическая теория Птолемея-Коперника на сколь угодно большом промежутке времени отклоняется от наблюдений на сколь угодно малую величину при достаточном числе эпициклов и оптимальном определении параметров. Отмеченная в эпоху Возрождения громоздкость эпициклической системы вызвана отсутствием в то время теории обработки измерений: при правильном подборе параметров и сохранении достигнутой тогда точности в одну угловую минуту число эпициклов можно сократить в несколько раз (Холшевников, 1994). Но стал бы тогда Кеплер искать свой (кеплеров-ский!) эллипс?
Начиная с Ньютона задача о движении планет приобрела твердую физическую основу: теорию гравитации. Математической моделью стала система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) порядка 6^ где N - число планет. Последующие три столетия не изменили основного характера модели. Полный учет приливных взаимодействий и эффектов ОТО осуществляется с помощью уравнений более сложных, чем обыкновенные дифференциальные. Но в силу малости этих эффектов описания в терминах ОДУ достаточно. Например, в ОТО с точностью до (у/с)4 ~ 1015 включительно движение может быть описано гамильтоновой системой ОДУ. Здесь V - скорость Меркурия, с - скорость света.
С XVIII и до середины XX века все нужные для практики теории движения планет строились методом малого параметра с несущественными вариациями. Эйлер, Лагранж, Пуассон, Леверрье, Делоне предпочитали брать за фазовые переменные оскулирующие элементы, тогда как Клеро, Анду-айе, Энке, Ганзен, Хилл, Ньюком - координаты и скорости (последние, впрочем, не входят в правые части уравнений при учете лишь ньютоновского притяжения). Лаплас внес значительный вклад в оба равноправных подхода к описанию фазового пространства (Субботин, 1968). Мы остановимся лишь на первом. Оскулирующие элементы орбит планет делятся на две группы: вектор медленных х = (Х1, Х2, ..., XN1) и быстрых у = (уъ у2, ..., ущ) переменных, удовлетворяющих уравнениям движения
Х = |/( х, у), у) = ю( х) + ^(х, у). (1)
Здесь | - малый параметр, отношение массы Юпитера к массе Солнца; ю, /, g - гладкие функции. Переменные х называются медленными, поскольку в невозмущенном движении (при | = 0) скорость их изменения тождественно равна нулю. Таковы а, е, /, Д п - большая полуось, эксцентриситет, наклон, долгота узла и долгота перицентра, а также любые функции от этих величин. За быстрые переменные у обычно берут равномерно (при | = 0) растущие углы типа средней аномалии или средней долготы, и тогда средние движения ю, в механике называемые частотами, зависят только от больших полуосей. В методе малого параметра решение (1) представляется рядами
х = хо (г) + £ !пхп(г), у = уо (г) + £ !"у„(г). (2)
п = 1
п = 1
Здесь х0 постоянна, а у0 - линейная функция времени (решение (1) при | = 0). Алгоритм нахождения первого приближения (хх, у1) построен еще Ньютоном. В деталях алгоритмы определения произвольного приближения (хп, уп) разработаны А.М. Ляпуновым и А. Пуанкаре (Малкин, 1966). Ими также описаны важнейшие свойства решения (2). В частности, доказана равномерная сходимость рядов (2) при -Т < г < Т, ||| < |0 для произвольного Т и достаточно малого |0. Поэтому метод малого параметра часто именуют методом Ляпунова-Пуанкаре. Конструктивная оценка Т как функции от |0 получена в (Холшевников, 1985). Для систем общего вида можно положить
Т=
_С_
Т^О'
(3)
где через С с различными индексами мы будем обозначать постоянные величины. Для решений, удовлетворяющих условиям теоремы Лагранжа-Лапласа о неизменности больших полуосей (см. следующий раздел), оценка улучшается
Т IV
(4)
Лучшая по сравнению с (4) оценка может существовать лишь в исключительных случаях.
Таким образом, методом Ляпунова-Пуанкаре можно сколь угодно точно (точность ограничивают лишь погрешности измерений) представить движение планет на временах в десятки тысяч лет, но времена в миллионы лет принципиально недоступны этому методу.
В XIX веке появляются работы, аналитически описывающие в первом и втором приближении эволюцию на космогонических временах. Крупнейший вклад внесли Лагранж, Лаплас, Гаусс, Пуассон, затем Линдстедт и Пуанкаре (Субботин,
1968). В XX веке на этой основе развивается метод осреднения. В последней трети века появляются мощные аналитические и численные методы, позволившие существенно продвинуться в описываемой области небесной механики. Подробнее об этом - в следующих разделах.
ТЕОРИЯ ЛАГРАНЖА-ЛАПЛАСА
Для качественного описания орбитальной эволюции на космогонических временах Лагранж, Лаплас и позднее Гаусс предложили метод исключения короткопериодических членов, т.е. замены точных уравнений движения (1) на приближенные
x = x), y = ю( x) + ц G (x), (5)
где F, G - средние значения f, g по компонентам вектора углов y. Если разложить f, g в ряды Фурье, то за F, G следует принять свободные члены рядов, отбрасывая все короткопериодические члены. Ожидается, что решение системы (5) не сильно отличается от решения (1), поскольку отброшены мелкие дрожания и оставлены плавно меняющиеся воздействия планет друг на друга. В большинстве случаев (но не всегда!) это действительно так, но доказательства были получены значительно позднее, о чем речь впереди.
Поведение y на космогонических временах не представляет интереса (кому важно, был ли Юпитер 1 сентября миллионного года до н.э. в Раке или Козероге?). Нас интересует лишь эволюция орбит (переменные x), но не фаз, положений на орбитах (переменные y). Поэтому второе из уравне
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.