ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ ВАДИМ ГЛЕБОВИЧ КНОРРИНГ
доктор технических наук (Санкт-Петербург), профессор кафедры измерительных информационных технологий
факультета технической кибернетики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета,
член Метрологической академии
ОЧЕРКИ ОБЩЕЙ ИСТОРИИ ИЗМЕРЕНИЙ 3. ТЕОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ ИЗМЕРЕНИЙ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Как было показано в предыдущем очерке, практические измерения в Древней Греции достигли высокой степени совершенства. Но греки с их склонностью к абстрактному мышлению сделали очень много и в направлении теоретического осмысления измерений. Теоретические и философские аспекты античных измерений (частично затронутые в статье1), можно перечислить следующим образом:
-теоретическое моделирование процесса измерения; -создание теории отдельных средств измерений; -оценивание роли измерения как общего метода познания; -распространение измерительных понятий на другие сферы жизни. В этом порядке они и будут рассмотрены ниже. Кроме того, целесообразно кратно осветить измерительные понятия, встречающиеся в системе Аристотеля, - наиболее развитой философской системе античности.
***
Теоретическое моделирование процесса измерения греки выполняли на основе геометрических образов. Хорошо известно, что само название науки геометрии означает «землемерие», и что именно греки сумели превратить египетское рецептурное землемерие в строгую науку, обладающую высокой степенью абстрактности.
Понимание геометрии как науки об измерении сохранялось в течение многих последующих веков, фактически до тех пор, пока не стали появляться разделы геометрии, обходившиеся без метрики (проективная геометрия, топология).
В греческой геометрии большое место занимали вопросы измерения площадей и объемов. Эта проблематика подробно рассмотрена в работах по истории математики2 как начальный этап развития интегрального исчисления, а также и в работах по истории
атомистических воззрений3, поскольку один из подходов к измерению объема, например пирамиды, состоял в расчленении ее на дискретные слои атомов. Поэтому изложение этих вопросов здесь представляется излишним.
Однако нельзя не упомянуть, по крайней мере, двух важнейших достижений греческой мысли в области именно общей теории измерений.
Одним из них явилось приписываемое пифагорейцу Гиппасу открытие несоизмеримости, которая неизбежно появляется в математической модели измерения. Это открытие произвело сильное впечатление на греческих ученых и заставило их в ряде случаев «математику отрезков» предпочитать «математике чисел». Нынешние исследователи характеризуют сложившееся положение как первый из нескольких известных кризисов математики.
А.Д.Александров4 пишет об этом так, как если бы произошла трагедия: «...исходя из твердо установленного опытного факта, в геометрии был сделан вывод, не имеющий реального смысла; в физике ему не придали бы значения, но в математике он сохранился и имел величайшие последствия - во всех применениях и перипетиях учения о математическом континууме».
Другая важная идея известна под названием аксиомы Архимеда, или аксиомы измерения: «Какие два отрезка ни взять, равными любому из них можно перекрыть другой»5 (наряду с этой простой формулировкой, известна более сложная, принадлежащая самому Архимеду, который, в свою очередь, ссылался на Евдокса6). Положение этой аксиомы выглядит настолько очевидным, что кажется странной сама необходимость его явной формулировки; однако греческий разум эту необходимость осознал. И оказалось, что все не так просто.
Система аксиом геометрии Давида Гильберта, впервые опубликованная в 1899 г. и ставшая классической, содержит пять групп аксиом :
I - восемь аксиом соединения (принадлежности);
II - четыре аксиомы порядка;
III- пять аксиом конгруэнтности;
IV -аксиома о параллельных;
V -две аксиомы непрерывности.
Аксиома Архимеда входит в пятую группу вместе с совсем не очевидной аксиомой полноты, утверждающей, что рассматриваемая система точек должна быть такой, чтобы к ней нельзя было бы добавить еще точки, не нарушая других аксиом.
П.К.Рашевский во вступительной статье к работе Гильберта8 подчеркивает, что в аксиомах групп 1-1У речь идет о конечных конструкциях, но с аксиомами группы \/дело
обстоит иначе, «и тут лежит пропасть, отделяющая их от предшествующих». И далее: «...безобидная, казалось бы, аксиома Архимеда тоже предполагает понятие о бесконечном множестве». Итогом этих рассуждений П.К.Рашевского явился абзац, который он сам выделил курсивом:
«Крупнейшим достижением Гильберта в области логического анализа геометрии явилось как раз то, что он обнаружил возможность развить геометрию во всем существенном, не пользуясь аксиомами непрерывности».
Действительно, Гильберт (как, собственно, и древние греки) строит своего рода исчисление отрезков, не обращаясь к понятию числа и, следовательно, к аксиоме Архимеда. По терминологии П.К.Рашевского, это есть неархимедова геометрия в широком смысле (аксиома Архимеда в ней не используется).
Кроме того, для доказательства независимости аксиом Гильберт несколько искусственным способом строит неархимедову геометрию в узком смысле (аксиома Архимеда в ней не выполняется).
В отечественной метрополии понятие неархимедовой величины до последнего времени не фигурировало. Оно появилось в недавно изданной книге9 известных метрологов из ВНИИФТРИ, которые положили в основу определения неархимедовых величин «бессмысленность операции сложения этих величин и их интервалов». При таком подходе неархимедовой оказывается, например, твердость, оцениваемая по шкалам Бринелля, Роквелла и др.
С нашей точки зрения, это неправильно: аксиома Архимеда предполагает возможность суммирования величин (точнее, объединения характеризуемых ими объектов). Если же суммирование вообще невозможно, разговоры о неархимедовости теряют смысл. В качестве примера истинно «физически неархимедовой» величины можно привести скорость движения. Действительно, относительные скорости легко поддаются физическому суммированию, но, последовательно суммируя какие угодно конечные скорости, нельзя превзойти скорость света.
Добавим еще, что в простейшей математической формулировке теоремы Архимеда (для отрезков а и Ь всегда можно найти такое целое п, что па > Ь) выявляемое при сравнении отрезков отношение - это отношение порядка, а не эквивалентности. Это согласуется с практикой реальных измерений, при которых строгая эквивалентность не может быть выявлена. В конце XIX в. Герман Гельмгольц, в нарушение этого последнего положения, выбрал «физическое равенство» в качестве одного из основных понятий своей теории измерений. Между тем практическая невыявляемость строгой эквивалентности вместе с возможной несоизмеримостью отрезков приводят к
утверждению о неосуществимости идеально точного измерения.
Вот какие сложности связаны с такой простой и наглядной аксиомой Архимеда, которую древние греки догадались сформулировать в выражениях, только недавно обнаруживших свой глубокий смысл и значение.
С измерительной проблематикой тесно связаны также знаменитые апории Зенона Элейского, прежде всего «Ахиллес» и «Дихотомия». Замечательный советский философ, математик и логик С.А.Яновская прямо трактовала апорию «Дихотомия» как процесс измерения отрезка постоянно сокращающейся «единицей»10.
В связи с обсуждением апорий С.А.Яновская пришла к выводу, что «идеально точные» величины являются лишь «огрубленным, упрощенным приближением к тому, что нам нужно при их помощи отобразить поскольку мы таким образом отвлекаемся от расплывчатости границ исследуемых объектов»11. Здесь уместно упомянуть о том, что в течение последнего десятилетия среди отечественных метрологов идутинтенсивные дискуссии, связанные с введением в международном документе12 вместо понятия погрешности измерения, определяемого через «истинное значение величины», нового понятия неопределенности11,.
Литература, посвященная апориям Зенона, необозрима и продолжает расти, но в ней апории рассматриваются преимущественно в математическом и онтологическом аспектах. Автор настоящей работы попытался специально осветить гносеологический (измерительный) аспект апории «Ахиллес» в докладе14.
Теории отдельных средств измерений в древней Греции были созданы прежде всего для рычажных весов и солнечных часов.
Рычажные весы (равноплечие и типа безмена), очевидно, были тем реальным исходным материалом, на котором греческими учеными была развита теория равновесия рычага, развившаяся впоследствии в науку статику (сейчас это раздел механики). Здесь, видимо, сыграли роль два фактора: одним была распространенность и важная роль весов в жизни древних греков, другим - наглядность состояния равновесия, присущая именно весам, в отличие от рычага как орудия труда.
И.Д.Рожанский15 упоминает псевдоевклидов трактат «Книга о весах», дошедший до нас в арабском переводе, и раннее, не сохранившееся сочинение Архимеда «О весах». Можно предположить, что дошедший до нас трактат Архимеда «О равновесии плоских тел и центрах тяжести плоских фигур», начинающийся с теории равновесия рычага, явился своего рода обобщением теории весов. В этом трактате рассматривались раздельно случаи соизмеримых и несоизмеримых «величин» (грузов).
Отметим интересную формулировку, приведенную в «Книге о весах»16: «Вес есть
мера тяжести или легкости предмета, сопоставленного с другим с помощью весов» - это, с одной стороны, настоящее операционное определение, а с другой стороны, в нем еще видна склонность считать тяжесть не единым свойством, а одним из противоположных качеств (тяжесть <-> легкость).
М.Льоцци17, ссылаясь на найденный в 1906 г. труд Архимеда «Метод» (согласно18, это - письмо Архимеда Эратосфену), утверждает: Архимед открыл понятие момента силы, поскольку он знал, что «две величины, подвешенные на плечах рычага, находятся в равновесии, если равны произведения их площадей или объемов на расстояние их центров тяжести от опоры». Конечно, из этого текста не следует утверждение Льоцци, так как в нем говорится не о силах и даже не о массах, а о площадях или объемах сравниваемых «величин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.