ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 8, с. 1287-1290
УДК 519.622.2
ОДИН МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ, ДОПОЛНЕННЫХ НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ, ЗАДАВАЕМЫМИ ИНТЕГРАЛОМ СТИЛТЬЕСА1)
© 2013 г. В. И. Ульянова
(119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: valya@ccas.ru Поступила в редакцию 07.03.2013 г.
Предлагается метод решения линейных дифференциально-алгебраических систем уравнений, дополненных нелокальными условиями, задаваемыми интегралом Стилтьеса. Метод основан на совокупности последовательных преобразований исходной системы. В результате получается нормальная система дифференциальных уравнений или система алгебраических уравнений. В первом из этих случаев использование нелокального дополнительного условия реализуется введением вспомогательных стандартных краевых условий. Библ. 11.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраическая система уравнений, линейное нелокальное дополнительное условие, интеграл Стилтьеса, метод последовательных преобразований.
Б01: 10.7868/80044466913080115
ВВЕДЕНИЕ
Решению краевых задач для дифференциально-алгебраических систем уравнений (СДАУ) посвящен ряд работ (см., например, [1]—[6]). Настоящая работа примыкает к [7], [8]. В отличие от работ, указанных выше, в настоящей работе рассматривается случай, когда система уравнений дополняется нелокальным линейным условием, задаваемым интегралом Стилтьеса.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Рассмотрим линейную систему ДАУ вида
АЦ)х' + БЦ)х = ДО. (1.1)
Здесь А: I ^ Стхт, в. I ^ Стхт, / I ^ Ст — достаточно гладкие заданные функции на отрезке
I = [0, 1]; х: I ^ Ст — искомое решение. Это уравнение дополняется нелокальным условием, задаваемым интегралом Стилтьеса:
1
| (¿К(0)х(0 = а, (1.2)
0
где К: I ^ Сгхт — функция ограниченной вариации по стандартной норме в Ст: | ы| = л/и* и для и е Ст, а е Сг. Значение г для системы (1.1) будет уточнено позднее. Пусть выполнены следующие предположения:
1) гапк|А(0, Я(0|| = т на I,
2) гапкА(?) = р — постоянное число на I.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00219).
Ясно, что 0 < p < m. Если p = 0, то (1.1) — система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в этом случае r = 0. Еслиp = m, то (1.1) приводится к нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в этом случае r = m. Рассмотрим случай 0 <p < m.
Возьмем гладкую функцию ф: I ^ c(m-p)xm такую, что rank ф(?) = m — p и ty(t)A(t) = 0 на I(о построении подобных функций будет сказано далее). Умножив систему (1.1) слева на ф(0, получим для каждого t е I СЛАУ
Ф(0Д0х = ф(0/(0,
(1.3)
где Ф В: I ^ С(т-р)хт, ф/ I ^ Ст-р.
Покажем, что гапк ф(?)В(?) = гапк||ф(0В(0, ф(?)/(?)|| = т — р для всех t е I. Зафиксируем какое-либо ? е I. Дополним строки (т — р) х т-матрицы ф(0 (они линейно независимы) строками
¥1
..., так, что m х m-матрица Q =
¥
Ф (t)
, где Y =
, невырожденна, detD Ф 0. Мы имеем
Ш(0 =
¥А (t) Ф (t) A (t)
Q||A(t), B(t)\\ =
Q|A(t), B(t), f(t)\ = В силу выбора ф(0 имеем
^A(t) ^B(t) q<t)A(t) q>(t)B(t)
^A(t) yB(t) ft) фАЦ) q>(t)B(t) q(t)f(t)
m = ran
k||A(t), B(t)\\ = rank Q||A(t), B(t)\\ = rank
Ф (t) A (t) = 0, rank yA(t) = p.
Так как
^A(t) yB(t) 0 q#)B(t)
и строки матрицы ^A(t) линейно независимы, то rankф(t)B(t) = m — p. А rank||ф (t)B(t), ф(t)f (t)|| не превосходит числа строк матрицы, т.е. не превосходит m — p.
Поэтому в силу теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ (1.3) совместна и ее решение имеет вид
x(t) = T(t)y + g(t), (1.4)
где Т: I ^ Сmxp, g: I ^ Cm, y e Сpxm. Для всех t е I имеет место rank T(t) = p, ф(t)B(t)T(t) = 0, ф(1)В(^(1) = ф^У(1); мы выбираем гладкие T(t) и g(t).
Система (1.1) переходит в систему
А (t) У + B (t) y = f( t),
(1.5)
(1.6)
где А = АТ: I ^ Ст р, В = ВТ + АТ': I ^ Ст р. Для системы (1.5) имеет место соотношение
Ф( о1|А (о, В (о, /(4 =
= ||ф( 0А ( I) Т( 0,ф( I) В ( I) Т( I) + ф( 0А ( I) Т'(/),ф( од I) - ф( 0А ( ( I) - ф( I) В ( № он = 110,0, ..
В системе (1.5) число уравнений р не равно числу искомых функций т (напомним, мы рассматриваем сейчас случай р < т). Приведем эту систему к виду, при котором число уравнений равно числу искомых функций.
Из (1.6) следует, что ф(?)(А(?)/ + Щ)у - /(0) = 0. Поэтому если мы возьмем какую-либо (глад-
кую) функцию р: I ^ Срхт такую, что для каждого tимеет место ёй
ф(0 P(t)
Ф 0, то система (1.5) эк-
вивалентна системе
Ф( t) Р( t)
(А (t)У + B( t)y - f( t) ) = 0,
ОДИН МЕТОД РЕШЕНИЯ
1289
т.е. системе
A (t) У + B (t) y = f( t), (1.7)
где A(t) = p(t)A(t), B(t) = p(t)B?(t), f(t) = p(t)f(t), а в этой системе число уравнений равно числу искомых функций, равно p.
Если rank||A(t), B(t)|| = p для всех t е I, то система (1.7) удовлетворяет предположению 1), сделанному для системы (1.1) (с заменой m наp). Если, кроме того, для системы (1.7) удовлетворяется предположение 2) (с заменой p новым обозначением), то можно сделать следующий шаг, подобный описанному.
На каждом шаге число уравнений и искомых функций уменьшается и при выполнении делаемых предположений за конечное число шагов мы придем к системе вида (1.1), для которой имеет место одна из двух возможностей: p = m либо p = 0 и rankB(t) = m для каждого t е I. Вторая из этих ситуаций — задача решения СЛАУ, далее мы этот случай не рассматриваем.
2. РЕШЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Пусть, сделав несколько шагов, указанных выше, мы пришли к системе вида (1.7), в которой
число уравнений равно числу искомых функций, равно рангу матрицы AA, равно q. Этот переход осуществляется подстановкой
x(t) = M (t)y(t) + s(t), (2.1)
где M: I ^ Сmxq,s:I ^ Сm.
Тогда в соответствии с общим требованием баланса числа уравнений и числа дополнительных условий должно быть r = q (смысл r указан в начале разд. 1, см. (1.2)). Подставив (2.1) в (1.2), мы получаем нормальную систему ОДУ вида (1.7) с дополнительным нелокальным условием, задаваемым интегралом Стилтьеса
1
j(dG(t))y(t) = к, (2.2)
о
t 1 где G(t) = j(dK(t))M(t), G: I ^ Cqxq, h = J(dK(t))^(t), к e Сq.
оо Задачу (1.7), (2.2) рекомендуется решать методом использования вспомогательной задачи, в которой уравнение (1.7) дополняется стандартными граничными условиями, задаваемыми в точках 0 и 1; по поводу использования такого метода см. [9]—[11].
3. О ПРАКТИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Остановимся на вычислении функций ф, Т, g (см. разд. 1). В окрестности каждого ? е Iэта задача может быть решена чисто алгебраическими методами: находим какой-либо базисный минор обрабатываемой матрицы и т.д. Однако такой метод может повлечь за собой трудности при построении нужной гладкой функции на всем I. Поэтому рассмотрим другой способ, главной частью которого является решение вспомогательного дифференциального уравнения.
Построим такой метод для вычисления функции ф. Мы имеем
фА = 0. (3.1)
Локальное существование какого-либо гладкого по ? решения СЛАУ (3.1) следует из возможности реализовать чисто алгебраический способ вычисления ф. Поэтому из (3.1) получаем
ф'А + фА' = 0. (3.2)
Значение ф' определяется равенством (3.2) неоднозначно. Добавим к уравнению (3.2) еще соотношение
ф'ф* = 0. (3.3)
Такое дополнительное ограничение законно. Значение ф определяется неоднозначно, однозначно определяется пространство, порожденное строками ф. Именно слагаемое хф, где х — произвольная (т — р) х (т — р)-матрица, уравнениями (3.1), (3.2) не определяется.
Получившаяся относительно ф' СЛАУ (3.2), (3.3) имеет, и притом единственное, решение. Из (3.3) следует, что фф* — const. Поэтому решение системы ОДУ (3.2), (3.3) продолжимо на весь отрезок I. Задав в некоторой точке t0 значение ф(^) и решая систему ОДУ (3.2), (3.3), мы получим значения ф(0 на всем I.
Функция T(t) — решение уравнения ф(t)B(t)T(t) = 0, имеющее в каждой точке максимальный ранг, может быть получена способом, совершенно аналогичным описанному выше для вычисления функции ф. Мы получим систему ОДУ
фBT ' + ($B)'T = 0, T*T ' = 0.
Также может быть вычислена и функция g(t). Мы получим систему ОДУ
фBg' = (ф/ )' - (фЯ)£, T*g = 0.
Отметим, что при решении так построенных ОДУ необходимо при движении по t решать переопределенную совместную СЛАУ; для этого рекомендуется использовать первое преобразование Гаусса этой системы.
Решения этих ОДУ должны удовлетворять соотношениям фA = 0, фф* — const, фBT = 0, T*T— const, фBg = ф/ Проверка выполнения этих соотношений — хороший контроль точности вычислений.
Отметим также следующее. Схема последовательных преобразований, описанная в разд. 1, предполагает, что следующее преобразование начинается лишь после того, как предыдущее полностью закончено. Это требует хранения результатов предыдущего преобразования. Для уменьшения объема запоминаемой информации возможен следующий способ реализации вычислений. Выбираем какое-либо t0 e I, пользуясь алгебраическими методами, вычисляем в этой точке величины, нужные для установления количества последующих преобразований и для их проведения в точке t0 (это значения функций A, B, f, ф, T, g, A', ф', T ' и т.д.). Затем решаем задачи Коши для соответствующих функций параллельно, запоминая только результаты, нужные для финального уравнения. Существенным является то, что во всех описанных выше конструкциях вычисление производных по t возникающих функций сводится к алгебраическим операциям и вычислению производных нужного порядка от функций A, B, f, взятых из исходного (до преобразования) уравнения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Griepentrog E, MärzR. Differential-algebraic equations and their numerical treatment. Leipzig: Teubner, 1986.
2. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1996.
3. Balla K, März R. Transfer of boundary conditions for DAE's of index 1 // SIAM J. Numer. Anal. 1996. V 33. №6. P. 2318—2332.
4. Balla K. Boundary conditions and their transfer for differential-algebraic equations of index 1 // Comput. and Math. Applic. 1996. V. 31. № 10. P. 1—5.
5. Balla K, März R. A united approach to linear differential-algebraic equations and their
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.