ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 5, с. 935-943
ЯДРА
ОДНОЧАСТИЧНЫЕ УРОВНИ И СПИН-ОРБИТАЛЬНЫЕ РАСЩЕПЛЕНИЯ ВБЛИЗИ ДВАЖДЫ МАГИЧЕСКОГО ЯДРА
© 2004 г. В. И. Исаков*
Петербургский институт ядерной физики РАН, Гатчина
Поступила в редакцию 05.03.2003 г.
На основе детального анализа имеющихся экспериментальных данных определяются спектр одно-частичных состояний и изотопическая зависимость спин-орбитального расщепления в ядрах вблизи нейтроноизбыточного нуклида 48Ca. Проведен расчет спектра возбужденных уровней изобарического ядра 4^с.
1. ВВЕДЕНИЕ
Энергии одночастичных состояний среднего поля являются одной из важнейших характеристик ядра, лежащих в основе всех микроскопических описаний ядерной структуры и определяющих, в частности, оболочечные свойства ядер. Одним из способов определения одночастичных энергий является их вычисление на основе подходящих моделей среднего поля. В качестве таковых можно использовать феноменологический подход, основанный на среднем ядерном потенциале типа Вудса— Саксона, либо подход, основанный на самосогласованных расчетах типа Хартри—Фока, либо приближение, основанное на нуклон-мезонной феноменологии типа модели Валечки и ее дальнейших усовершенствованиях. Другим способом определения одночастичных энергий является их нахождение из эксперимента. Здесь, однако, мы сталкиваемся с трудностью, заключающейся в том, что реально в ядрах происходит смешивание од-ночастичных и более сложных мод возбуждения, что приводит к перераспределению силы одноча-стичного состояния (конфигурационное смешивание). Такое смешивание мало в ядрах типа "магическое ± нуклон" в случае, если одночастичная энергетическая щель между оболочками велика (в "хороших" магических ядрах, таких, как 132 Sn и 208Pb), хотя и здесь может происходить размывание одночастичных состояний по уровням типа "квазичастица + фонон". Однако если энергетическая щель мала, то конфигурационное смешивание может стать очень сильным. В этом случае наряду с одночастичными состояниями, свойственными, например, ядру "магическое ± нуклон", в реакциях срыва (подхвата) с заметным сечением возбуждаются также уровни с квантовыми числами Jп, соответствующими одночастичным уровням оболочки,
E-mail: visakov@thd.pnpi.spb.ru
находящейся ниже (выше) энергетической щели. В любом случае для определения одночастичных уровней из эксперимента следует проводить дополнительную процедуру усреднения. С ее использованием в работе [1] были определены энергии одночастичных уровней ядер 208Pb и 132 Sn и было показано, что нейтронное спин-орбитальное расщепление в этих нуклидах, где N > 2, больше такового для аналогичных протонных орбиталей.
В настоящей работе на основе адекватной теоретической обработки имеющихся экспериментальных данных по прямым реакциям однонуклон-ной передачи мы определяем спектр одночастичных уровней в районе нейтроноизбыточного ядра 48 Са, где эффекты конфигурационного смешивания намного сильнее, а оболочки намного слабее, чем в 208РЬ и 132 Sn, и подтверждаем выводы работы [1] относительно изоспиновой зависимости спин-орбитального расщепления. Полученные результаты согласуются также с выводами работы [2], где эта зависимость исследовалась в зарядово-обменной реакции 48Са(р, п)48 Sc.
2. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОЧАСТИЧНЫХ ЭНЕРГИЙ СРЕДНЕГО ПОЛЯ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ПРЯМЫМ РЕАКЦИЯМ однонуклонной ПЕРЕДАЧИ
Ниже мы последовательно обоснуем процедуру определения одночастичных энергий из эксперимента, исходя, для примера, из гамильтониана парных сил в представлении вторичного квантования:
И = "к + (1)
г,к
+ | ^ а{гкЩ£т)аа1араеат,
г,к,£,т
где а(гк\Ь\£т)а = (гк\Ь\£т) — (гк\Ь\т£) — антисимметричный матричный элемент парного взаимодействия Ь(Х1Х2) = Ь (Г1, <Г\, -Г"!, Г2, <2, Т2),а Г — одночастичный оператор кинетической энергии. Для этого введем вспомогательную величину
(2)
а+
Я а = {аа, [И, а+]} = ааИ — аа ■ а+ И + Иа+ ■ аа — а+И ■
где
ва+ = \(Л + 1; (а)\а+ \А;(0))\2, в— = \А — 1;(а' )К\А;(0))\2.
Здесь \ А; (0)) — вектор основного состояния исходного четно-четного ядра; \А + 1;(а)) и \А — — 1; (а')) — векторы состояний {а} и {а'} ядер с (А + 1) и (А — 1) нуклонами, содержащие эффекты фрагментации; Е^ — соответствующие энергии возбуждения (для основных состояний Е^/ = = 0); Ба,л±1 — энергии связи основных состояний соответствующих ядер. В формулах (3) и (4) значения .п для состояний {а}, {а'} те же, что и для одночастичного состояния {а}.
Величины вОю) и в^а являются спектроскопическими факторами состояний и определяют по своему смыслу долю одночастичного состояния {а} в сложном состоянии {а} либо {а'}. Они нормированы соотношением
У! ва+^ + ^ вО./а = 1
являющимся также точным и вытекающим из соотношения антикоммутативности для одночастичных фермионных операторов,
а+ а в + а в а+ = дав ■
(6)
где [С, —] и {С, —} — соответственно коммутатор и антикоммутатор операторов С и Вычисляя, с одной стороны, среднее от <<а в виде (2) по основному состоянию \ А; (0)) четно-четного ядра, содержащего А частиц, и разлагая при этом промежуточные состояния по полным наборам волновых функций систем из (А + 1) и (А — 1) частиц, а с другой стороны, вычисляя в явном виде <Г а с помощью (1), с дальнейшим усреднением, мы получаем следующее точное соотношение:
£ [Вл(ег.в1.) — Вл+1(ег.в1.)+ (3)
а€(А+1)
+ ЕОхс]ва+) + £ Вл-1^г.81.) —
а/ е(А-1)
— Вл(ет.81.) — Еохсв-а = (а \ Г \ а) + (А; (0) \ х х £ а(аг\Ь\ак)аа+ак\ А; (0)),
г,к
Отметим, что в литературе часто используются спектроскопические факторы §а±)/)а = (2]а +
+ 1)ва±)/)а, нормированные на величину (2]а +
+ 1). В настоящей работе всюду используется нормировка (5). Обратимся к правой части формулы (3). По смыслу соответствующее выражение представляет некоторую одночастичную энергию. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Введем операторы поля Ф+ = ^в Фв(х)а+, где рв(х) — функции пока произвольного полного одночастичного набора. Тогда второй член в правой части (3) можно представить в виде
У У ^Х1^Х2ра(Х1Х1 )р(Х2Х2) — (7)
где
— Ра(Х1Х2)р(Х2Х1)]Ь(Х1 Х2), Ра (Х1Х2) = Ф*а(Х1 )фа (Х2),
р(Х1Х2) = (А; (0) \ Ф+ (Х1)Ф(Х2) \А; (0)),
(8)
(4)
(5)
а€(А+1)
а/е(А-1)
причем диагональные по индексам Х1, Х2 величины ра и р представляют собой соответственно плотность одночастичного состояния {а} и точную плотность вещества в остовном ядре. Нетрудно видеть, что в рамках диаграммной техники выражение (7) является диагональным матричным элементом от "одночастичного" массового оператора Ё5.р одночастичной функции Грина С, имеющей в (х, ¿)-представлении вид:
С(Х, ¿; Х' ,г')= (9)
= —г(А; (0) \ Т{Ф(х,г), Ф+(х',1')}\А; (0)),
где Ф(х,£) — операторы поля Ф(х) в представлении Гейзенберга, а Т — оператор упорядочивания по времени. Соответствующий формуле (7) массовый оператор можно представить как сумму двух членов, изображенных на рис. 1, которые по виду напоминают массовый оператор приближения Хартри—Фока. Однако одночастичная функция Грина С (г), представляющая собой фурье-образ от (9) по переменной (£ — ¿') и изображенная жирной линией на рис. 1, является точной, поскольку величина р(х1х2) определена как среднее по "истинному" основному состоянию системы из А частиц. Реально это означает, что при определении р(х1х2) согласно (8) наряду с графиками, например, типа рис. 2а и 2б (входящими в приближение Хартри—Фока) учитываются диаграммы,
а
О
(а:|£|а:) +
Е ■
г; £i<£F
(тЩт)а = еа(НР); (10)
Рис. 1. Массовый оператор, соответствующий выражению (7).
например, рис. 2в и 2г, соответствующие эффектам вне указанного приближения и отражающие вклад корреляций в основном состоянии. Здесь уместно отметить работу [3], где соотношение типа (3) было получено из уравнения Дайсона и спектрального разложения одночастичной функции Грина. При этом существенно, что в качестве правой части в формулу типа (3) в работе [3] входила одночастич-ная энергия, соответствующая массовому оператору, не зависящему от входной энергии функции Грина Са(е). Нетрудно видеть, что соответствующий формулам (7), (8) и представленный на рис. 1 массовый оператор не зависит от е. Поэтому он не содержит эффектов фрагментации и отвечает "истинным" одночастичным состояниям {а}, диа-гонализующим оператор £ + Х5.р.
Если вместо истинного основного состояния |А;(0)) ядра А использовать вектор основного состояния метода Хартри—Фока |А;(0))НР (т.е. детерминант Слейтера), которому в пространстве чисел заполнения па = НР(А;(0)|а+ аа|А;(0))НР соответствует ферми-ступенька единичной высоты (см. рис. 3а), а в качестве {а} использовать собственные функции Хартри—Фока, то а+|А;(0))нр = 0 при ег < еР и аи|А;(0))нг = 0 при еи > ер. При этом правая часть формулы (3) примет вид
Рис. 2. Вклады в не зависящий от е массовый оператор, входящие (а, б) и не входящие (в, г) в приближение Хартри—Фока.
подробнее. Пусть ядро-мишень представляет собой четно-четное ядро с = 0+ и Т = Тг = То = = N — 2^/2. В формулах (3) и (5) суммирование охватывает все возможные состояния (полный набор), со всеми возможными состояниями изоспина. Включая явно изоспиновые переменные, можно представить выражения (4) в виде
= 1(4 + 1; (а, Т/.ЗДа+^х
(11)
х |А; (&8.,То,Т = То)) 12 =
С
Б(а, а, Tf, То)
= (12) х |А; (&8,То,Т = То)) 12 =
С
Тг/
-Ьх,Т0Т0
Б(a',а,Tf, То),
однако в левых частях формул (3) и (5) будут
присутствовать только либо в(+)-, либо в(-)-компоненты.
Заметим, что реальное основное состояние содержит корреляции, и даже в отсутствие сверхтекучести ему соответствует функция распределения частиц па, изображенная на рис. 3б, где при е = = ер скачок функции распределения К < 1 и равен вычету полюсной части функции Грина С (теорема Мигдала [4]). В результате а+ |А; (0)) = 0 при ег < < еР и аи|А; (0)) = 0 при еи > еР, а в формулах (3) и (5) присутствуют как в(+)-, так и в(-) -члены.
В эксперименте одночастичные факторы в определяются из прямых реакций одночастичного срыва и подхвата. Рассмотрим этот вопрос несколько
где величины Б не зависят от проекции изоспина.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ОДНОЧАСТИЧНЫХ СОСТОЯНИИ ВБЛИЗИ
48 Са
Схему возбуждения интересующих нас уровней вблизи 48Са
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.