ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2013, том 39, № 4, с. 299-307
= ТОКАМАКИ
УДК 533.9
ОДНОМАШИННЫЕ И МНОГОМАШИННЫЕ СКЕЙЛИНГИ
ДЛЯ ТОКАМАКА
© 2013 г. Ю. Н. Днестровский, А. В. Данилов, А. Ю. Днестровский, С. Е. Лысенко, Дж. Онгена*
НИЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия * Laboratory for Plasma Physics, Euratom-Belgium State Association, Brüssels, Belgium
e-mail: dnyn@nfi.kiae.ru Поступила в редакцию 17.05.2012 г.
Окончательный вариант получен 23.07.2012 г.
Рассматриваются некоторые особенности скейлингов удержания энергии, построенных на материале различных экспериментальных баз данных для плазмы токамака. В многомашинной базе данных некоторые пары инженерных переменных коллинеарны (например, с увеличением размеров установки a возрастает ток Iи вложенная мощность P). В результате скейлинг дает надежные предсказания лишь для тех импульсов, для которых отношения типа I/a2, P/a2 соответствуют средним отношениям по базе данных. Коллинеарность переменных позволяет также исключить из скейлин-га такую переменную, как нормированный дебаевский радиус d* для случая, когда скейлинг представлен в безразмерных переменных. В одномашинной базе данных безразмерные переменные зависимы, и это также позволяет построить скейлинг без дебаевского радиуса. В двухмашинной базе данных коллинеарность переменных может отсутствовать, и, таким образом, дебаевский радиус из скейлинга удалить нельзя. Показано, что эксперименты, проведенные в поддержку отсутствия дебаевского радиуса в двухмашинном скейлинге, неубедительны. Приведенные в работе формулы перехода позволяют проводить эксперименты по определению скейлинга в любой системе независимых переменных.
DOI: 10.7868/S036729211304001X
1. ВВЕДЕНИЕ
Эмпирические скейлинга много лет используются для предсказаний удержания энергии в будущих установках [1—4], но очевидные несогласованности вынудили нас пересмотреть используемые выражения и надежность сделанных предсказаний. Обычно считается [1, 2, 5—7], что перенос энергии определяется турбулентностью с характерным масштабом X = 2я/к, удовлетворяющим условию кр1 < 1. Поэтому интегральные характеристики, такие как время удержания энергии, в принципе, не должны зависеть от дебаевского радиуса ё, который в 20 раз меньше ларморовского радиуса ионов р;. Тем не менее, экспериментальные и расчетные спектры турбулентности, полученные недавно [8, 9], показывают, что компоненты спектра, соответствующие условию кр; ~ 10, имеют достаточно большие амплитуды, и играют важную роль в переносе энергии, по крайней мере, по электронному каналу. Это служит указанием на то, что дебаевский радиус может быть существенной переменной в различных скейлингах для удержания энергии. Поэтому необходимо пересмотреть структуру используемых скейлингов, и в частности, так называемых двухмашинных скейлингов.
Статья организована следующим образом. В разд. 2 дан небольшой обзор основных концепций скейлингов, обсуждаются различные наборы независимых переменных и рассматриваются связи между ними. Раздел 3 посвящен одномашинным скейлингам. Обсуждается минимальный набор независимых переменных и их взаимосвязи. В разд. 4 рассмотрены статистические особенности многомашинных баз данных и важность многомашинных скейлингов. В разд. 5 обсуждается хорошо известный скейлинг ITER и возможность исключения дебаевского радиуса, как независимой переменной, из этого скейлинга. Обсуждаются трудности в экспериментальном определении выражений для одномашинного скейлинга в безразмерных переменных. Представлены аргументы в пользу того, чтобы сохранить дебаевский радиус в списке безразмерных переменных для двухмашинного скейлинга. В Заключении суммируются основные выводы работы.
2. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Принято считать, что общий скейлинг энергетического времени тЕ содержит 6 существенных независимых переменных. Это могут быть "ин-
женерные" переменные (и, Р, В, а, I, А), "физические" переменные (и, Т, В, а, I, А) или "безразмерные" переменные (р*, V*, в, й*, q, А). Каждому импульсу в базе данных соответствуют 6 указанных параметров и величина те. Общий вид скейлингов таков:
тЕ = /0ис1Рс2Вс3ас41с5Ас6, (1а)
ВтЕ = /1иЬ1 ТЬ2ВЬ3аЬ41Ь5АЬ6, (1Ь)
ВтЕ = /2(р*)а1^*)а2ра3(й*)а^а5Аа6, (1е) где /0, /1 и /2 могут зависеть от других размерных или безразмерных переменных. Безразмерные параметры определяются следующим образом:
Р* = Р ь/а = /(&ва), V* = у „ / V в, р = 8 ппТ/В2,
й* = ут/(ш0а), Ц = 5а2 В/ (Ш), шв = еВ/тс, V, = 4п1/2е 4пЬ/ (3т1/Т3/2),
(2)
3/2
v B = е vT
/ (/2q*),
(3)
ш0 = (4nne2/m)1/2, е = 1/A
В формулах (1)—(3) и — плотность плазмы, Р — вложенная мощность, В — тороидальное магни-тое поле, а — малый радиус плазмы, I — ток плазмы, А = Я/а = 1/е — аспектное отношение, Я — большой радиус плазмы, тЕ — энергетическое время жизни плазмы, VТ = (2Т/т)1/2 тепловая скорость ионов, юВ — ионная циклотронная частота, рЬ — ларморовский радиус ионов, Т — характерная температура плазмы, ю0 — ионная плазменная частота, е — заряд иона, Ь — кулоновский логарифм (~14—16), V,-,- — частота ион-ионных столкновений, й = ^Т/ю0 — дебаевский радиус. Исключая в (2) численные коэффициенты и мировые постоянные, получим:
р*~ т1/2/(аВ),
v* ~ naBAy2/(IT2), р ~ nT/B2, d* ~ T 1/2/(an1/2), q ~ aB/(IA).
(4)
Полезно ввести бомовское время удержания тВ ~ а2В/Т,
поскольку безразмерное отношение Те/тв часто используется в (1е) вместо нормированного деба-евского радиуса й*. Будем считать переменные в правой части (4) как существенные. Приведем также обратные соотношения
а ~ (р*)2цЛ5/2/(v * (й*)4р),
В ~ V * (й*)5р3/2/(ф*)4Л5/2),
T ~ (d*)2p/(p*)2, n ~ p3(v*)2(d*)8/(q2(р*)6A5), I ~ p1/2d*/(qA(p*)2).
(5)
(7)
(8)
Подставляя (4) и (5) в скейлинги (1b), (1c), можно получить общие формулы взаимного пересчета шестимерных векторов а и b:
a = B6b, b = B-1a, (6)
где B6 — невырожденное (detB6 Ф 0) линейное преобразование. В развернутом виде прямое и обратное преобразование B6 есть
a1 = -6b1 - 2b2 - 4b3 + 2b4 - 2b5,
a2 = 2b1 + b3 - b4, a3 = 3b1 + b2 + 3/2b3 - b4 + 1/2b5, a4 = 8b1 + 2b2 + 5b3 - 4b4 + b5, a5 = -2b1 - b3 + b4 - b5, a6 = -5b1 - 5/2b3 + 5/2b4 - b5 + b6 b1 = a2 + a3 - 1/2a4, b2 = 1/2a1 - 2a2 + a3 + 1/2a4, b3 = - a1 + a2 - 2a3 + a5, b4 = - a1 + 2a2 - a4 + a5. b5 = -a2 - a5, b6 = 3/2a2 - a5 + a6. Определитель матрицы B равен —2, т.е. выбранная система безразмерных параметров является независимой. Переход от инженерных переменных к физическим определяется соотношением
т E = nTc^A/P или P = nTc^A/i E. (9) Подставляя (9) для P или T в скейлинги (1а), (1b), найдем взаимные преобразования шестимерных векторов b и c. В силу того, что формула перехода (9) зависит от тЕ, преобразования
b = D 6c и c = D-1b включают рациональные выражения с переменными ь и c¡:
b1 = (C1 + С2 ) / (1 + C2 ) , b2 = С2/(1 + C2 ) , b3 = (1 + C2 + C3)/(1 + C2),
b4 = (3C2 + C4 )/(1 + C2), b5 = С5/(1 + C2),
b6 = ( + C2 )/(1 + C2 ),
C1 = (b1 - b2) / (1 - b2) , C2 = b2/(1 - b2) , C3 = (b3 -1)/(1 -b2), c4 = (4 -3b2)/(1 -b2), (11)
c5 = b5/(1 -b2), c6 = (b6 - b2)/(1 -b2). Чтобы от скейлинга в инженерных переменных (1а) перейти к скейлингу в безразмерных переменных (1c), нужно сначала с помощью преобразования (10) перейти к скейлингу в физических переменных (1b), а затем с помощью преобразования (7) перейти к скейлингу (1c).
До конца 80-х годов скейлинги создавались для каждой установки в отдельности ("алкатор-ный" скейлинг, скейлинг Т-11 и т.д.). Однако в связи с работой над проектом ITER, в начале 90-х годов была создана межмашинная база дан-
(10)
ных, с помощью которой были найдены "скей-линги ITER", суммирующие результаты экспериментов на многих токамаках. Работа над базой данных продолжалась до середины прошлого десятилетия. Не раз возникала идея прямой проверки скейлингов ITER, записанных в безразмерных переменных, путем проведения специальных экспериментов. После нескольких лет работы оказалось, что скейлинги, найденные на основе одномашинных экспериментов, различаются между собой и отличаются от скейлинга ITER. Возможные причины такого расхождения обсуждаются ниже.
Замечание
В работах [6, 7] для параметра q и величины тЕ вместо (4) и (9) используются уточненные формулы
q ~ akB/(IA), тЕ = nTa3kA/P.
(12)
В результате переменная k — вытянутость сечения плазмы — становится существенной переменной, и общее число таких переменных возрастает до семи. Формулы (7), (8) и (10), (11) при этом становятся более громоздкими. Поскольку смыслы скейлингов при этом сохраняются, мы в настоящей работе предпочитаем использовать лишь шесть независимых переменных. Читатели при необходимости могут сами получить семимерные аналоги преобразований (7), (8) и (10), (11), используя изложенные выше алгоритмы.
3. ОДНОМАШИННЫЙ скеилинг ДЛЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ ПЛАЗМЫ
Поскольку размер а и аспектное отношение А в одномашинной базе данных фиксированы и не являются переменными, то в инженерных и физических переменных остается лишь по 4 независимых переменных (п, Р, В, I) и (п, Т, В, I). Скей-линги в этом случае имеют вид
г С1 п С 2 г» С 3 т c 5
Т E = fn P B I
и
Втe = f1nb1Tb2Bb3Ib5, (13)
а переход от одних переменных к другим определяется соотношением (9), в котором опущены переменные а (размер) и А (аспектное отношение),
тЕ ~ nT/P
или
P ~ nT/тЕ.
(14)
Четырехмерные преобразования Б 4 и Б-1, как и (10), (11), оказываются дробно-линейными относительно показателей Ь1 и с,-:
¿1 = (с + С2)/(1 + е2), ¿2 = ^2/(1 + С2),
b3 = (1 + С2 + С3>/(1 + С2), b5 = С5/(1 + С2), С1 = b - b2>/(1- b2>, С2 = b2/(1- b2>, С3 = (b3 - 1)/(1 - b2>, С5 = b5/(1 - b2).
(16)
(17)
Эти преобразования совпадают с общими формулами (10), (11), но они включают только четыре переменных.
Для случая безразмерных переменных задача слегка меняется. Формально, на 4 физических переменных имеется 5 безразмерных переменных (р*, V*, ß, d*, q). Это означает, что безразмерные переменные в одномашинных скейлингах (a = = const, A = const) должны быть взаимозависимы. Формулы перехода от физических переменных к безразмерным переменным, в этом случае имеют вид
р*~Т12/в v*~nB/ (Т 2I ),
V ' (18) ß ~ nT/B2, q ~ B/I
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.