ГЕОМАГНЕТИЗМ И АЭРОНОМИЯ, 2004, том 44, № 6, с. 813-816
УДК 51.510.535
ОДНОМЕРНАЯ СТАТИСТИКА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ КРИТИЧЕСКОЙ ЧАСТОТЫ ОБЛАСТИ F2 ИОНОСФЕРЫ
РАЗЛИЧНЫХ ШИРОТ
© 2004 г. А. Л. Дзвонковская1, В. А. Кузнецов2, Н. П. Сергеенко3
1ОАО НПК Научно-исследовательский институт дальней радиосвязи, Москва 2Институт прикладной геофизики Росгидромета, Москва 3Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН,
Троицк (Московская обл.) e-mail: dzvonkov@niidar.ru, serg@izmiran.rssi.ru Поступила в редакцию 01.04.2004 г.
Рассмотрен теоретико-эмпирический метод построения одномерных функций плотности вероятности относительных вариаций критической частоты ионосферы. В основе метода лежит построение аналитической модели случайной величины, определенной на всей оси ординат и калибруемой первыми четырьмя статистическими инвариантами: средним, дисперсией, асимметрией и эксцессом. Модель существенно отличается от известной конструкции в виде усеченного ряда Эджворта тем, что в ее основе лежит аналитическая структура, последовательно синтезируемая для случайного импульсного процесса. Обобщение на асимметричный случай достигается путем использования неголоморфных функций. Непрерывность синтезируемой функции плотности вероятности достигается путем сшивания в начале координат половинок симметричной функции, но взятых с разными масштабами на различных полуосях оси абсцисс. Эффективность модели подтверждается на массиве относительных вариаций критических частот, полученных на мировой сети станций вертикального зондирования в период с 5 по 11 января 1995 г. (40 станций, преимущественно в северном полушарии).
1. ВВЕДЕНИЕ
Статистические свойства относительных вариаций критической частоты исследовались в ряде работ, как на эмпирической основе [Гайворон-
ская и др., 1971], так и на основе математической модели, базирующейся на представлении о случайном импульсном процессе [Калинин и др., 2002]. В этих и многих других работах существенным элементом рассмотрения было использование выборочных инвариантов асимметрии А и эксцесса Е, определяемых экспериментально для калибровки математических моделей. При этом требовалось, чтобы модельная одномерная функция плотности вероятности W(x), где х соответствующим образом определенная статистическая вариация [Гайво-ронская и др., 1971], зависела от параметров А и Е. Модель в виде усеченного ряда Эджворта [Абрамович, Стеган, 1979] для этих целей не подходит, так как для ее применимости требуется выполнение неравенств |А| <§ 1, |Е| <§ 1, которые в большинстве случаев противоречат данным эксперимента. Для симметричных процессов давно известна модель случайного процесса [Миддлтон, 1961]. В этой модели функция W(x, Е) выражается через функцию Бесселя второго рода от мнимого аргу-
мента с индексом V = кой функцией
f (А, E) =
1 6
-— + - и характеристичес-2 E
■ E. 2 2"1 E
1 + - АО
6
где а - среднеквадратическое отклонение, а2 = x
Отметим, что формально модель допускает
1 2 2 X а
предельный переход и lim f (X, E) = e 2 .
E ^ 0
Для построения эксцессивно-асимметричной модели до настоящего времени использовалось в основном представление о том, что функция W(x, A, E) представима в виде произведения
(1)
_2
W(x, A, E) = W(x, 0, E)eßx,
(2)
где второй множитель обуславливает несимметрию процесса х [Всехсвятская и др., 1971].
Соотношение (2) эквивалентно тому, что в формуле (1) величина X заменяется на комплексную величину. При дополнительном условии /(0, Е) = 1 это приводит к соотношению
f (^ Es,ß) =
1-| ß2 а2 1 + E (^ + iß)2 а2
(3)
где Е. - симметричная часть эксцесса. Дифференцирование функции 1пД^, Е., в) позволяет получить выражения для центральных моментов и соответственно для статистических инвариантов. При этом получаются довольно громоздкие выражения для А и Е, аргументами которых являются в и Е.. Однако обращение этих зависимостей не представлялось возможным. При ряде пренебрежений с неконтролируемой погрешностью удавалось получить соотношение, справедливое для полуплоскости Е. > 0 на плоскости (А, Е), имеющее вид параболы
E = Es + 0.7A2
(4)
при дополнительном ограничении 0 < Е. < 6. С другой стороны, на плоскости (А, Е) может быть проведена парабола
E, = -2 + A2.
(5)
W( x) = C
Wt
x > 0
(7)
Wsl b], X < 0,
где С - нормировочный коэффициент, а и Ь - параметры масштаба.
Из этой формулы нетрудно получить соотношение для начального момента п-го порядка:
2
n
X =
a + b
Г n + 1 / 1 ч n 7 n + 1 i
[a + (-1) b ,
где уn - удвоенные моменты на полуоси x > 0,
Vn = 2 J xnWs (x) dx.
Обратимся к результатам, которые получаются в случае Ws(x), имеющей характеристическую функцию (1) для двух частных случаев Еъ = 3, Еъ = 6. В первом случае
С соотношением (5) связано неравенство E > El, следующее из неравенства Коши-Буняковского.
Таким образом, для часто используемого представления данных в виде "облака" точек на плоскости (A, E), где каждая точка соответствует инвариантам единичной выборки, существенны две параболические границы. Одна из них определяется соотношением (5), другая следует из условия (4) и неравенства Es > 0. То есть, верхняя граница "облака" - это парабола
E = 6 + 0.7A2. Параболы пересекаются в точках A ~ ±5, E ~ 22.
В задачу проводимого исследования входит получение соотношения для верхней параболы на более строгой основе с уточнением коэффициента, стоящего при A2. Для этого предлагается рассмотреть модель W(x, A, E) на основе неголоморфной модели в виде непрерывной функции с разрывом либо первой, либо второй и более высоких производных, но удовлетворяющих условию
lim [ W(x < 0) - W(x > 0)] = 0. (6)
x ^ 0
Условие (6) означает отсутствие "ступенек" в начале координат.
2. МОДЕЛЬ С РАЗРЫВОМ МАСШТАБА
Разрывно-масштабная модель W(x) стремится
с помощью симметричной функции Ws(x) к виду
W1s = Л e 1s 2 a
(8)
где a = а 72.
Во втором случае
W 2 s = " K
После довольно громоздких, но, в общем, несложных вычислений для таких процессов можно получить, что
E,■ = Eis + a,A2 + O (10-2 A4).
(9)
В выражении (9) первому случаю (i = 1) соот-
2
ветствует а1 = - и второму случаю (i = 2) соответ-
ствует а1 :
1
2.
По поводу этого результата следует сделать несколько замечаний. Во-первых, вплоть до А = 3 в формуле (9) можно ограничиться первыми двумя квадратично-параболическими членами, поскольку относительная роль третьего слагаемого будет невелика. Этим полученный результат существенно отличается от формулы (4), где оценка ограничений по А не была получена.
Далее следует указание на то, что подход, определяемый формулами (7) и (8), и подход, определяемый соотношением (2), тождественны между собой. Однако версия (3) менее удобна для получения соотношения (9). Далее тот факт, что
0
ОДНОМЕРНАЯ СТАТИСТИКА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ
815
а2 < аь означает, что в случае Еъ = 6 метод разрывных масштабов приводит к более широкой параболе, чем одинаковая для всех Е8 парабола (4). То есть, верхняя кривая, ограничивающая эмпирическое множество точек (^ Е), где} - номер выборки, будет располагаться ниже, чем кривая (4).
Обратимся теперь к экспериментальным данным. В качестве примера выберем суточные выборки относительных вариаций критической частоты ЪfoF2 по данным мировой сети автоматических ионосферных станций (АИС) на недельном интервале 5-11 января 1995 г. В этот период в Интернете представлены данные о fo(tk), где k = 0, 1, ..., 23 - номер часа суток, более чем для 40 АИС (для некоторых станций данные не за каждый день). Массивы {fo} центрировались, а полученные разности нормировались скользящей суточной медианой [Гайворонская и др., 1971]. Полученные множества М объемом l = 24 обрабатывались по известным формулам
^ _
(x - x)
Е _ 3 EJP ~ Л
где p - номер АИС.
Существенно, что для объема выборки равного ^ имеются пороговые значения [Романовский,
1938] - A0 =
Е 12
10
8
6
4
2
40 станций 5-11 января 1995 г. 3
\2 ,1
6 , Е0 = /24 . Выборочные значения
Ap, Ep принимаются отличными от нуля, если их модуль больше порогового значения. При l = 24 получается, что A0 = 0.5, Е0 = 1.
На рисунке представлено суммарное "облако" точек Е^ для 40 станций за 7 дней. Здесь же приведены 3 параболы: под номером 1 - нижняя предельная кривая, выражаемая формулой (5), под номерами 2 и 3 - параболы, выражаемые соотно-2 1
шениями (9) для а1 = 3 и а2 = 2 . Приведена также
прямая Е = Е0. Следует прокомментировать свойства "облака" точек. В силу малого объема выборок и высоких уровней значимости значительную группу точек, заключенных в прямоугольнике |Е| < Е0, |A| < A0, исключаем из рассмотрения. Области Е > 1 и Е < -1 заселены примерно одинаковым количеством точек. Область A > 0.5 заселена заметно большим количеством точек, чем область A < 0.5. За исключением четырех точек (около одного процента) все точки лежат не выше кривой 2. То есть для области Е > 0, за исключением точек близких к кривой 1, в качестве статистической модели случайного процесса x можно принять асимметричный случайный импульсный процесс, группирующийся в окрестностях одного уровня x = 0. Для точек, близких к кривой 1, следует принять другую гипотезу о структуре случайного процесса. Кривой 1 соответствует един-
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
А
Значения выборочных статистических инвариантов -асимметрии A и эксцесса Е.
ственный процесс: двухуровневый с быстрыми переходами с уровня на уровень. Тяготение точек к кривой 1 или кривой 2 не обладает широтными особенностями. Так Е > 4 получено на станциях Слоу (Великобритания), Свердловск, Юлиусру/Ру-ген (Германия), Хобарт (Австралия), Диксон, Новосибирск, Пойнт Аргуэло (США). Не отмечено широтной неоднородности и группировки точек вблизи двухуровневой модели.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные результаты, относящиеся к тем или иным значениям выборочных статистических инвариантов, позволяют поставить в соответствие статистику относительных вариаций критической частоты области F2 общей картине преобладания тех или иных видов неоднородностей электронной концентрации в этой области. Множество Е) для различных суточных выборок относительных вариаций крити
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.