МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2012
УДК 532.5.013.2: 532.5.013.4
© 2012 г. С. И. АРАФАЙЛОВ, К. В. КРАСНОБАЕВ, Р. Р. ТАГИРОВА
ОДНОМЕРНОЕ СЖАТИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗА
Аналитически и численно исследованы плоские и сферически симметричные неустановившиеся движения самогравитирующего газа. Предполагается, что газ заключен в плоском слое конечной толщины или в ограниченном сферическом объеме. Выявлены два характерных режима сжатия — квазипериодический режим установления гравитационного равновесия и режим быстрого сжатия с возрастанием плотности на много порядков. Квазипериодический режим реализуется при достаточно малой по сравнению с длиной Джинса толщине слоя. Быстрое сжатие происходит, если толщина слоя превышает джинсовскую длину.
Ключевые слова: одномерные неустановившиеся движения, совершенный газ, самогравитация.
Вопросы движения и равновесия сред, на частицы которых действуют силы взаимного ньютоновского притяжения, играют важную роль в астрофизических приложениях. Учет самогравитации необходим при изучении строения звезд, исследовании происхождения и эволюции протопланетных облаков, анализе явлений в аккреционных дисках, окружающих нейтронные звезды [1—4]. В настоящее время эффектам самогравитации уделяется значительное внимание в связи с проблемами звездообразования. Это обусловлено тем, что одним из основных физических механизмов обособления газовых сгустков с массами порядка масс звезд и планет является неустойчивость Джинса [5]. Так, согласно триггерной модели [6], подтверждаемой многочисленными наблюдениями [7—10], джинсовская неустойчивость стимулирует звездообразование в слое сжатого газа между ударным и ионизационным фронтами. Теоретически неустойчивость Джинса достаточно полно исследована в линейном приближении с учетом магнитного поля, вращения, вязкости и электропроводности среды (см., например, монографии [11—13] и оригинальную статью [14]). Получены также оценки влияния радиационного охлаждения на процесс неограниченного по плотности гравитационного сжатия фиксированной массы вещества [12, 13]. Тем не менее вопрос о том, каким образом достигается и достигается ли вообще исследуемое на устойчивость основное состояние самограви-тирующей среды, ранее не рассматривался. Это обстоятельство имеет существенное значение для неустановившихся течений со сложной пространственной структурой. Например, для движений, возникающих при распространении ионизационно-удар-ного фронта [15—18] или при взаимодействии ударной волны от вспышки сверхновой с плотным облаком [19—21].
С целью выявления возможных режимов установления гравитационного равновесия ниже аналитически и численно исследуется сжатие первоначально однородного плоского слоя и однородной сферы. Рассматривается также влияние граничных условий на характеристики движения и определяется эволюция задаваемых в начальный момент малых возмущений плотности.
1. Установление гидростатического равновесия в объеме газа, ограниченном непроницаемыми стенками. В соответствии с критерием Джинса в безграничной однородной среде возмущения плотности с длиной волны X будут нарастать со временем, если
Х>ХJ = (пс2/Gp)1/2. Здесь с и р — изотермическая скорость звука и плотность невозмущенной среды соответственно; G — гравитационная постоянная. Рост возмущений продолжается, пока для рассматриваемого уплотнения в каждый момент времени выполняется критерий Джинса.
Как следует из простых оценок [13], достигнуть бесконечно больших значений плотности невозможно при одномерном или двумерном сжатии. Тем не менее, как показано ниже, при значениях А, лишь ненамного превышающих X J, плотность может возрастать на несколько порядков даже в случае плоского одномерного движения. Отметим, что приближение плоского слоя оправдано при изучении процессов звездообразования в области между ударным и ионизационным фронтами. Такой комплекс разрывов формируется при расширении окружающей горячую звезду области H II, занимаемой нагретым и ионизованным излучением водородом. При этом расстояние между фронтами обычно мало по сравнению с размером области H II.
Рассмотрим плоский слой газа толщины 2h. Вектор нормали к слою направлен вдоль оси х. Примем, что движение адиабатическое p = ^ру, где р — давление, р — плотность, A = const, у — показатель адиабаты. Предполагается, что х = 0 является плоскостью симметрии движения. Распределения р, скорости u, p и гравитационного потенциала U удовлетворяют уравнениям
¿Р + u + р — = 0, — + u — = -1dP-dU (1.1)
dt дх дх dt дх рдх дх
d М = о, ^ = 4п Gp
dt [p Y J дх2
Из (1.1) следует, что в состоянии гравитационного равновесия u = 0 зависимость р(х) дается решением уравнения
d|V) _ (.р!2-yГ1JP"ПУ2
Фо
d^Ро) Y Фо
х, Ро _ Р(0) (1.2)
X
j
Интегрирование (1.2) не представляет затруднений, а при у = 1 это уравнение имеет аналитическое решение [13]
Р= 1
Ро cosh2(W2^)
Видно, что (1.2) описывает монотонно убывающее с ростом х распределение плотности. Выясним, может ли распределение (1.2) быть реализовано в результате эволюции однородного начального состояния. Для этого обратимся к численному решению системы уравнений (1.1) с начальными и граничными условиями
u(x, 0) = 0, р(х, 0) = р0 = const, р(х, 0) = p0 = const (1.3)
u(0, t) = u(h, t) = 0, U (0, t) = 0, dU (0, t) = 0
дх
Рассмотрим сначала качественные особенности движения газа.
При h < Xj эффекты самогравитации невелики и проявляются лишь как малые возмущения однородного состояния, и в отсутствие диссипации следует ожидать периодического незатухающего со временем движения. С ростом h становится существенной нелинейность, приводящая к опрокидыванию волн давления и к образова-
Фиг. 1. Распределение плотности (а, в) и скорости (б, г) для у = 1 при сжатии плоского слоя Н/\} = 0.25 (а, б): 1-3 - = 0.05, 0.25, 0.5; Н/\} = 1 (в, г): 1-3 - Ге/Х7 = = 0.15, 0.2. 0.22
нию ударных фронтов. Присутствие же ударных волн обеспечивает диссипацию кинетической энергии и установление гравитационного равновесия.
Более сложная структура течения отвечает значениям Н ^ Xj. Действительно, как следует из критерия Джинса, теперь гравитационная энергия газа превышает тепловую, и плотность в слое экспоненциально нарастает со временем. Прекращение сжатия, необходимое для установления гравитационного равновесия, происходит, если зависимость температуры газа от плотности не слишком слабая (соответствующие критерии излагаются, в частности, в монографии [12]). Другая причина возможной остановки коллапса связана с граничными условиями. При выполнении (1.3) уже на начальной стадии сжатия должна возникнуть волна разрежения, распространяющаяся в направлении убывания х. В результате уменьшится поток массы, направленный к плоскости симметрии слоя и определяющий накопление вещества в окрестности точки х = 0.
Отмеченные выше особенности сжатия самогравитирующего слоя подтверждаются непосредственными численными расчетами. В расчетах использовались разностные схемы Лакса-Фридрихса, Мак-Кормака, Лакса-Вендроффа. Параметры схемы выбирались так, чтобы относительная погрешность в интегральной по х массе была ё 10 3. В качестве масштабов длины, времени, плотности и скорости рассматривались Xj ,Хj/с, ро и с соответственно.
Квазипериодический режим установления гравитационного равновесия при Н < Xj иллюстрируется фиг. 1, а, б. Процесс сопровождается продолжающимися длительное время осцилляциями параметров газа. При отражении от плоскости симметрии и от границы слоя возникают волны сжатия, затухающие со временем (кривые 2 и 3). Характерными являются однородное распределение плотности и линейный профиль скорости в области перед фронтом волны разрежения до ее прихода в точку х = 0 (кривая 1). Эта особенность поведения р(х, г) и и(х, г) имеет место и при больших толщинах слоя (фиг. 1, в, г). Режим сжатия при Н ^ Xj качественно отличается от случая малых Н быстрым нарастанием плотности по мере приближения волны разрежения к точке
Фиг. 2. Распределение плотности (а) и скорости (б) для у = 4/3 при сжатии сферы гс/X/ = 1: 1 - 3 — ге/Х] = 0.115, 0.23, 0.26
х = 0. Представляет интерес определить наибольшее значение плотности р(-, достигаемое при фиксированном к в момент прихода волны разрежения в точку х = 0.
Выполненные расчеты показывают, что и для 1 < у < 5/3 оба рассмотренных выше режима сжатия имеют место. Подобно плоской задаче (1.1), (1.3) также исследовалось сферически симметричное движение. В этом случае существует область течения с р = р(0 и с линейной зависимостью скорости от радиуса г. Граница этой области является слабым разрывом. Если радиус гс газовой сферы невелик по сравнению с XJ, то возникает квазипериодическое движение. При гс ^ XJ реализуется режим быстрого сжатия (фиг. 2).
2. Аналитическое решение о сжатии ограниченного объема самогравитирующего газа.
Примем, что в течении, удовлетворяющем уравнениям (1.1) с начальными и граничными условиями (1.3), имеется область с однородным распределением плотности и с линейной зависимостью скорости от х (область I). Эта область отделена от области неоднородного распределения (область II) слабым разрывом (волной разрежения). Тогда в области I решение системы (1.1) может быть представлено в виде [22] р = р(г), и = а(г)х, где функции р(0 и а(г') удовлетворяют уравнениям
йр + ра = 0, — + а2 =- 4пО р (2.1)
Л Л
2
Производя последовательно замены 1пр = z(t), dz/йг = w(z), / = ^ , приходим к уравнению й//dz - 2/ = 8пОеz, общим решением которого является функция
/ = Се ^ - 8пОеz = р(Ср - 8пО)
Здесь С — постоянная интегрирования. Обозначим а(г0) = а0, р(г0) = р0 и найдем постоянную С, полагая, что при г = г0 известна скорость и0 в точке х0, т.е. и0 = а0х0. Тогда
2
^ = ±л/р(Ср - 8%О), а02 = Ср0 - 8лОр0, С = ^ + —
йг р0 Р0
Для решения с возрастанием плотности получим 1 йР =1
р3/2л/Ср - 8пО йг
В безразмерных переменных р = р/р*, х = х / X7, и = и / с, г = сг/X7,Х7 = (пс2/Ор*)1'2 имеем
7 = Х°Р0 1_3/2 /_2_ _ + Т° (2'2) р0 Р Vи°Р + 8п хоРо(Р-Ро)
Здесь р* — некоторое характерное значение плотности, например, в начальный момент времени.
Если и° = 0, р° = 1, то (2.2) пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.