ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 4, с. 21-31
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИСТЕМАХ
УДК 531.36:62-50
ОГРАНИЧЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ СИСТЕМЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ С ГАШЕНИЕМ ОСТАТОЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ*
© 2007 г. В. А. Проурзин
Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН Поступила в редакцию 25.08.06 г., после доработки 5.12.06 г.
Рассмотрена задача скалярного управления конечной или счетной системой осцилляторов, расположенных на общем основании. Управление осуществляется скалярной ограниченной силой, приложенной к основанию. Широкий круг задач управления системами с распределенными параметрами и многомассовыми системами может быть сведен к подобной постановке. Разработан метод решения задачи построения ограниченного по модулю управления, перемещающего основание из заданного состояния в начало координат за конечное время так, чтобы отсутствовали остаточные колебания осцилляторов.
Введение. Методология решения задачи основана на использовании комплексного преобразования Фурье финитных функций, применении известной теоремы Винера-Пэли [1] и свойств целых функций экспоненциального типа [2, 3]. Впервые подобный поход для решения задач управления системами с распределенными параметрами был применен А.Г. Бутковским [4] (метод финитного управления). В работах этого автора были сформулированы основные положения данного метода, приведено значительное количество примеров задач, однако остался нерешенным ряд вопросов, связанных с необходимыми и достаточными условиями существования таких управлений. В дальнейшем этот подход развивался в целом ряде работ и к настоящему времени получил строгое математическое обоснование. Одним из центральных вопросов при этом является вопрос о базисности по Риссу семейства экспонент вида {ехр^ОЬ е 2. В пространстве £2(0; а) эта проблема впервые рассматривалась в [1]. В [5, 6] предложен новый подход, использующий порождающую функцию - целую функцию экспоненциального типа с нулями {А^}, в рамках которого в [7] получено окончательное решение. Достаточно полный обзор и изложение данного подхода к теории управления системами с распределенными параметрами можно найти в монографии [8].
Следует заметить, что в этих работах не затрагивалась задача построения ограниченных управлений. Это в первую очередь связано с тем, что в
рамках подобного подхода учет условия ограни-
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 04-01-00575) и Комплексной Программы Президиума РАН < 22 "Процессы управления".
ченности управления сталкивается с серьезными математическими трудностями. Задача построения ограниченного управления конечной системой осцилляторов, расположенных на общем основании впервые в общем виде была решена в [9], где предложен метод разложения управляющей функции по собственным колебаниям неуправляемой системы. Там же была получена оценка сверху времени достижения цели. Следует заметить, что здесь вычислительные сложности быстро возрастают с ростом размерности задачи, а оценка времени достижения цели весьма груба и также увеличивается с ростом размерности.
Данная работа посвящена применению метода финитных управлений для конечных и счетных систем осцилляторов с учетом условия ограниченности управляющей функции. Решена следующая задача. Пусть в начальный момент времени система осцилляторов находится в состоянии покоя. Основание характеризуется заданными скоростью и смещением. Требуется построить ограниченное по модулю управление, перемещающее основание из известного положения в начало координат за конечное время так, чтобы отсутствовали остаточные колебания осцилляторов. Такие задачи возникают, например, при управлении перемещением упругих манипуляторов или, другой пример, при проектировании систем защиты упругих объектов от ударных воздействий [10-12].
Основные результаты работы состоят в следующем. Выведены удобные для проверки необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять искомое управление. При достаточно общих предположениях о характере поведения последовательности собственных частот системы разработан прямой метод построения управления, перемещающего систему в начало
u(t)
x0
Рис. 1.
x'o = u (t);
(1.1)
Начальное состояние системы имеет вид Xo( 0) = So, Xo (0) = Vo, xk( 0) = 0, xik(0) = 0, k = 1, 2, ..., N,
(1.3)
координат при отсутствии остаточных колебаний. При этом модуль управления ограничен заданной величиной. Метод сводится к построению рекуррентной последовательности функций весьма простого вида с использованием всего двух операций: сдвига по времени и суммирования.
1. Постановка задачи. Рассматривается система дифференциальных уравнений второго порядка
т.е. основание характеризуется заданным положением и скоростью, а все осцилляторы находятся в состоянии покоя относительно основания. Ставится задача перемещения основания в начало координат за некоторое конечное время T так, чтобы отсутствовали остаточные колебания осцилляторов
xk(T, u) = 0, Xk(T, u) = 0, k = 0, 1, 2, ...,N. (1.4)
В дальнейшем будет полезно следующее соображение. Если исключить требования к конечному состоянию осцилляторов, то задача наискорейшего перемещения основания в нулевое состояние примет вид хорошо известной задачи минимизации времени T приведения материальной точки в начало координат
X'o = u (t), Xo (0) = So, Xo (0) = Vo;
Xo(T, u) = 0, Xo(T, u) = 0;
T—► min, |u(t)| < а.
Известно [14], что оптимальное по быстродействию управление u0(t) в этой задаче определяется с помощью кривой переключения, задаваемой уравнением x0 = -Xo|Xo| (2а)-1. Эта кривая делит плоскость (x0, Xo) на две области
Di= j Xo >--
XH Xn
2а
•uj Xo = -22a, Xo > o;
хк + %хк = -и(t), к = 1, 2, ..., N.
Механическая интерпретация системы (1.1) состоит в том, что это уравнения колебаний системы осцилляторов, расположенных на общем основании, которое движется с ускорением и(Р) (рис. 1). Переменная х0 есть смещение основания в абсолютной системе координат, а хк - смещение к-го осциллятора в системе координат, связанной с основанием. Система (1.1) управляема, если частоты попарно различны [13]. Здесь предполагается, что частоты юк образуют строго возрастающую последовательность: 0 < Ю < Ю2 < ... < Юк < ... < Исследуется как случай конечного числа осцилляторов, так и счетного их множества ^ = Скалярная функция времени и(() имеет смысл управления. Считается, что управление есть интегрируемая функция, удовлетворяющая ограничению
|и(0| < а. (1.2)
D = j Xn <--
Xo|Xo|
2а
.2 X0
ui Xo = 2a, Xo <0
Если начальная точка (s0, v0) e D1, то
Г-а, 0 < t < 11;
uo(t, so, Vo) =
а, ti < t < To,
(1.5)
где
Vo
Vo
Vo
t1 = + —L + To = 211--°. 1 а ^2 а2 а 0 1 а
Если начальная точка (s0, v0) e D2, то а, 0 < t < t1;
uo( t, S0, Vo) =
- а, t1 < t < T0
(1.6)
2
где
Значение преобразования Фурье и его произ-
V о
V о
Ч = —- + --о; — -, Т0 = 2^ + —. а л| 2а2 а а
Минимальное время достижения цели равно
То(Уо) =
У-Н а
_ !о
а
2
Уо
А/2а2 а-,
2
2 У-
П а2 а,
(1.7)
Хо( 0) = 5о, Хо (о) = Уо, хк( 0) = Хк(о) = Ук, к = 1, 2, ..., N,
(2.1)
ик (ю) = | и ( t ) С08 ю tdt,
о
Т
и1 (ю) = и (t) 81п ю tdt.
(2.2)
„ Т1,, , dU(г) п
водной и (г) = —при г = 0 равны dz
и( о) = | и (^ dt,
Т
(2.3)
и (о) = —7
Очевидно, что время Т достижения цели (1.4) в исходной задаче (1.1)-(1.4) будет, по крайней мере, не меньше, чем время Т0(50, у0).
2. Случай отсутствия ограничений на управление. Опустим на некоторое время требование (1.2) ограниченности управления. Рассмотрим необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять управление, переводящее систему (1.1) из произвольного состояния
Т | и (t) dt — Ц и (т)( dт) dt
у о о о '
Для каждого к = 1, 2, ..., N вводятся векторы
-ЮкХк (t )-
- Хк(t)
У к (t) =
™к( 0 =
81п юк т dт
-|о и(т) 81
^и (т) С08 юк тdт
и матрица поворота вокруг начала координат на угол ю^
Як( t) =
в нулевое состояние (1.4) за конечное время Т. Эти условия можно непосредственно получить, например, из результатов [1, 4, 5-8]. Ниже приводится их вывод для полноты изложения и введения в рассмотрение необходимого нам в дальнейшем математического аппарата.
Будем искать управление и(0 на множестве интегрируемых финитных функций с носителем [0, Т], где Т - некоторая положительная величина. Используется комплексное преобразование Фурье функции и(0
и(г) = | и(t)e-ztdt = ия(г) + ¡и1 (г), г = ю + ¡0,
где иК, и1 - вещественная и мнимая части преобразования Фурье, 7 - мнимая единица. Управление и(0 отлично от нуля только на интервале [0, Т], поэтому его вещественная и мнимая части на вещественной оси имеют вид
С08 ю^ 81П ю^
— 81П ю^ С08 ю^
С помощью этих обозначений решение уравнения (1.1) можно записать как
Хо(t, и) = 5о + Vоt + Ци(£)(d^)dт,
оо
Хо(t, и) = Vо +1и(т)dт;
Ук(^ и) = Як(t)(Ук(о) — Wk(t)).
(2.4)
Используя формулы (2.2)-(2.4), легко выразить состояние системы в момент времени Т через значения преобразования Фурье
хо(Т, и) = 5о + Уоt + Ти(о) — ¡и(о), Хо(Т, и) = Уо + и(о),
Ук(Т, и) = Як(Т)
Ук (о) —
иг (юк) иК (юк)
(2.5)
к = 1, 2, ..., N.
Приравнивая выражения (2.5) нулю, используя условия (1.4) для конечной точки траектории, приходим к системе уравнений относительно величин и(0), ¿7(0), иЯ(юк), и1(юк). Полученная система
2
Т
о
t т
о
Т
о
уравнений, конечная или счетная (при N = имеет единственное решение
U( 0) = -Vo, U (0) = -/so,
Ur (%) = Vk, Ui (Щ) = «kSk.
(2.6)
Условия (1.4), (2.1) и (2.6) эквивалентны. Значение U(z) в левой полуплоскости не может быть произвольным. Требование веществености функции и(0 эквивалентно следующему условию на ее
преобразование Фурье: Щ(-г) = U (г). Поэтому достаточно определить функцию Щг) только в правой полуплоскости.
Осталось получить условия финитности функции и(0 в терминах ее преобразования Фурье. Напомним некоторые определения из теории функций комплексного переменного [3]. Функция Е(г) называется целой функцией экспоненциального типа (ЦФЭТ), если она однозначная и аналитическая на всей комплексной плоскости и допускает следующую оценку: |^(г)| < Аехр(В|г|), где числа А, В от
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.