ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 8, с. 1488-1502
ЯДРА
ОКОЛОБАРЬЕРНОЕ СЛИЯНИЕ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР. СВЯЗЬ КАНАЛОВ
© 2004 г. В. И. Загребаев*, В. В. Самарин
Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия Поступила в редакцию 29.04.2003 г.; после доработки 10.11.2003 г.
Исследуется проблема квантового описания околобарьерного слияния тяжелых ядер, происходящего в условиях сильной связи их относительного движения с вращением деформированных ядер и с динамической деформацией их поверхностей. Предложен новый эффективный метод численного решения системы связанных уравнений Шредингера с граничными условиями, соответствующими полному поглощению потока, прошедшего многомерный кулоновский барьер. Новый метод не содержит ограничений на число учитываемых каналов и позволяет рассчитывать сечения слияния очень тяжелых ядер, используемых для синтеза сверхтяжелых элементов. Совместный анализ рельефа многомерной потенциальной поверхности и многоканальной волновой функции вблизи кулоновского барьера позволил дать наглядную интерпретацию динамики околобарьерного слияния ядер. Проведено сравнение с экспериментальными данными и с результатами полуэмпирической модели учета связи каналов.
ВВЕДЕНИЕ
Процессы околобарьерного слияния атомных ядер по-прежнему привлекают повышенное внимание теоретиков и экспериментаторов. Динамику низкоэнергетического процесса слияния определяет квантовое туннелирование через кулоновский барьер, происходящее в условиях сильной связи относительного движения с внутренними степенями свободы, главным образом с колебаниями ядерных поверхностей, вращением деформированных ядер и передачей нуклонов [1]. Заметим, что эта теоретическая проблема является достаточно общей для многих областей физики и химии. Достигнутое в последнее время значительное улучшение экспериментальной техники в этой области привело к возможности прецизионных измерений, позволяющих экспериментально изучать детали и тонкие эффекты процесса подбарьерного слияния (см., например, [2, 3], а также обзорную работу [4]). Точное решение соответствующей квантовой задачи (и/или ее квазиклассического аналога) сопряжено с определенными трудностями. В результате, несмотря на достаточно хорошее общее понимание физики всего процесса, в некоторых случаях мы по-прежнему не имеем однозначной интерпретации экспериментальных данных. Еще хуже дело обстоит с предсказаниями сечений подбарьерного слияния для еще не изученных комбинаций тяжелых ядер, что особенно актуально для планирования и проведения дорогостоящих экспериментов по синтезу сверхтяжелых элементов.
E-mail: valeri.zagrebaev@jinr.ru
В последние годы было предложено несколько алгоритмов численного решения системы связанных уравнений Шредингера, моделирующих связь каналов при околобарьерном слиянии тяжелых ядер и использующих либо приближенный метод диагонализации матрицы связи на барьере [5], либо непосредственное численное решение дифференциальных уравнений [6]. Как было показано в [7], учет реалистических ядро-ядерных сил приводит к достаточно большим динамическим деформациям тяжелых сталкивающихся ядер, для правильного описания которых требуется учитывать большое число возбуждаемых фононов. Следуя в основном работе [6], мы разработали новый алгоритм решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, позволяющий избежать ограничения на число учитываемых каналов. Вторым отличием нашего подхода является более аккуратное рассмотрение граничных условий на падающий поток, т.е. обеспечение полного отсутствия отраженных волн из области за барьером. Наряду с проницаемостью барьера это позволяет вычислять также и саму многомерную волновую функцию в околобарьерной области, которую можно использовать для более глубокого понимания и детального анализа динамики многомерного туннелирования. Отказываясь, как и в [6], от линейного приближения по связывающему взаимодействию, мы, в отличие от [6], используем явный (квадратурный) метод расчета матричных элементов взаимодействия, обеспечивающий заданную точность, не зависящую от числа учитываемых каналов. Развитый подход использован для анализа процессов слияния статически деформированных и сферических дефор-
мируемых тяжелых ядер. Проведено сравнение с экспериментальными данными и с результатами полуэмпирической модели учета связи каналов в процессах слияния.
1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР
Форма деформированного аксиально-симметричного ядра определяется формулой
R — Ro
3
1 + iE'« +
Е
' (2 А' + 1)(2Л" + 1)
л, л',л''
4п(2А + 1)
х (А'0А" 0|А0)2 ßI
-1/3
R(ß, в) = R+ cos 0) j , (1)
где ß = {ßл} — безразмерные параметры деформации мультипольности А — 2,3,...; Рл — полиномы Лежандра,
ад, б!) ^2(р2, е2)
Рис. 1. Схематическое изображение относительного положения двух деформированных ядер, вращающихся в плоскости реакции (в = }).
min{ л', л''}
Е
ц=-min{ л', л''}
f Y^'-^odO. х
(2)
х ßi л' ßi л'' Yлo(дг) + ...
Здесь F^ (r) — формфакторы взаимодействия. При r > R1 + R2
Ro — радиус эквивалентной сферы с тем же объемом, что и объем деформированного ядра, а (А'ОА"0|А0) — коэффициенты Клебша—Гордана. Потенциальная энергия взаимодействия двух деформируемых ядер может быть записана в виде суммы кулоновской и ядерной энергий и энергии деформации в гармоническом приближении:
Уы (г; 01,01,02,02) = Ус(г; 01,01, 02,02) + (3)
1 2
+ Ум{г-01,01,02,02) + 2 Е Е - С)2-
г=1 А
Здесь и далее индекс г = 1,2 нумерует взаимодействующие ядра; СА — параметры жесткости ядерной поверхности; 01>2 — ориентации осей симметрии деформированных ядер (рис. 1), а ^ — статические деформации ядер.
Пренебрегая мультиполь-мультипольным взаимодействием, с точностью до второго порядка по деформациям кулоновское взаимодействие деформированных ядер можно записать в виде
Ус = ^^е2 х (4)
2
X ^(0) (г) + ££ ^ (г)вгА ГАо(0г) + г=1 А>2
2 А' + А "
+ аде2ЕЕЕ Е рА](г) х
г=1 А' А'' А=|А'-А''\
FW = I
r
гА=2 ^ г3 '
Fw = 3 Ег
гХ 2А + 1 гх+1'
гА=4 г5
4
При меньших значениях г, когда ядерные поверхности перекрываются, для формфакторов ^"'(г) получаются более сложные выражения [8], что, впрочем, несущественно для рассматриваемых здесь процессов слияния, поскольку положение кулоновского барьера RB > R1 + R2. При описании вращения деформированных ядер обычно учитывается их квадрупольная и/или гексадека-польная деформация. Поскольку, как правило,
^ 1, то в третьем слагаемом сохраняются лишь члены с А' = А" = 2 и А принимает значения 2 и 4.
Короткодействующее ядерное взаимодействие зависит от расстояния между поверхностями ядер, в качестве которого обычно используется расстояние вдоль межъядерной оси £ = г — R1(01,01) —
— R2(02,02) или минимальное расстояние между поверхностями (см. рис. 1). Это взаимодействие часто аппроксимируется потенциалом Вудса—Саксона, который записывается в форме
(£) = Уо[1 + ехР(С/ау)]-1, где С = г — Rv —
— ДRl — AR2, ARl = Rl (01,01) — Rl, ДR2 = = R2(02,02) — R2. Заметим, что для потенциала Вудса—Саксона радиус взаимодействия Rv =
= гу(<3 + А/3) обычно не совпадает с суммой радиусов самих ядер и гу является дополнительным независимым параметром. Другой возможностью является использование для описания ядер-
х
х
ного взаимодействия потенциала "proximity" [9]:
VProx (С ) = 4п7ЬР-1 Ф(£/Ь). (5)
Здесь Ф(С/Ь) — универсальный безразмерный формфактор; b — параметр толщины поверхностного слоя (&1 Фм); y = 7о(1 — 1.7826I2), y0 = = 0.95 МэВ Фм-2 — коэффициент поверхностного натяжения, I = (N — Z)/A; С = r — Е1(в1,01) —
— R2(02,02), а PSph = 1/Ri + 1/R2 и Ri = Ri[1 —
— (b/Ri)2]. Это взаимодействие наиболее чувствительно к выбору материальных радиусов ядер. Наиболее реалистические результаты получаются при выборе r0 & 1.16 Фм для радиусов тяжелых ядер (A > 40) и r0 & 1.22 Фм для ядер с A ~ 16. Основное достоинство потенциала "proximity" состоит в его универсальности, т.е. в отсутствии подгоночных параметров типа V0, , aV.
Величина притяжения двух ядерных поверхностей зависит также от их кривизны [9, 10], т.е. от площади соприкасающихся поверхностей. Обычно это учитывается заменой PSph в (5) на выражение
P (0i ,0i, 02,02) = Ы + k2})(.kt + ki ^ 1/2
(6)
7 11.^
где к1 — главные параметры локальной кривизны поверхностей взаимодействующих ядер (см., например, [11]). Для сферических ядер к}}'± = Я-1 и Р = Р^. В случае межосевых динамических деформаций (в1 = в2 = 0), возникающих при медленных столкновениях динамически деформируемых ядер, локальная кривизна поверхностей может быть найдена в явном виде (см. Приложение 1):
P (0i,Oi = 0, 02,02 = 0) =
2
i=l,2 Ri \ \>2
2Л + 1
4п
Ax
х (i + E^+^W
x2
2Л + 1
4п
Ax
где п(Л) = 3 • 4 ••• (Л + 1)/(А - 1)!. Для деформированных вращающихся ядер, в принципе, необходимо учитывать отличие кратчайшего расстояния между поверхностями £$ от расстояния £, вычисленного вдоль центральной линии (см. рис. 1). Однако для реалистических деформаций результирующий эффект учета неравенства £$ и £ при вычислении потенциалов взаимодействия и сечений слияния не очень велик по сравнению с эффектом изменения кривизны (Р = Р^ ) [12].
Формально выражение (6) может обращаться в нуль при некоторых отрицательных значениях деформации (соприкосновение двух плоских поверхностей). Этот нефизический эффект возникает из-за пренебрежения конечными размерами площадей соприкасающихся поверхностей ядер и указывает на необходимость перехода к более точному приближению при больших отрицательных деформациях. Основной вклад в ядро-ядерный потенциал вносят взаимодействия наиболее близко расположенных нуклонов, число которых хотя и зависит от локальной кривизны поверхностей, но всегда конечно. Таким образом, вместо простой замены в (5) Р^ на величину Р для короткодействующего межъядерного взаимодействия более правильно использовать выражение Уи = ОД ,01, 02, в2 )У° (г; в ъвъ02, в2), где У0(г;01,в1,02,в2) — взаимодействие, вычисленное с учетом деформаций ядер и их взаимной ориентации, но без учета изменения кривизны поверхностей, а С(01 ,в1, (32, в2) — геометрический фактор, учитывающий изменение числа взаимодействующих нуклонов, находящихся в близ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.