МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 533.72
© 2008 г. В. С. ГАЛКИН, С. В. РУСАКОВ
ОПЕРАТОР ФОККЕРА-ПЛАНКА ДЛЯ БРОУНОВСКИХ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
Дан вывод оператора столкновений Фоккера-Планка, входящего в кинетическое уравнение для функции распределения по скоростям броуновских выпуклых несферических твердых однородных частиц в движущемся неоднородном одноатомном газе. Режим обтекания частиц - сво-бодномолекулярный, т.е. характерные размеры частиц много меньше средней длины свободного пробега молекул газа, взаимодействием частиц и их влиянием на газовую фазу пренебрегается, справедлив зеркально-диффузный закон взаимодействия молекул с поверхностью частицы. Температуры частиц Тр одинаковы и отличны от местной температуры газа Т. Термическая неравновесность (Тр Ф Т) приводит к нарушению известных связей коэффициентов диффузии в пространствах поступательных и вращательных скоростей с коэффициентами сил и моментов, действующих на частицу. Коэффициенты в искомом операторе вычислены для частиц - тел вращения с продольной симметрией. Представлены данные, характеризующие влияние несферичности частиц - сфероидов и сфероцилиндров на степень этого нарушения.
Ключевые слова: кинетическое уравнение Фоккера-Планка, броуновские термически неравновесные несферические частицы, мелкодисперсная газовзвесь.
Данное исследование - продолжение [1,2], где при сформулированных выше условиях кинетическое уравнение Фоккера-Планка получено для случая сферических частиц1. Вследствие термической неравновесности значительно изменяются обычно используемые выражения для коэффициентов диффузии в пространствах скоростей частиц через коэффициенты сил и моментов, действующих на частицу при ее движении в газе.
Ниже анализируется влияние на эти изменения формы частицы, т. е. ее несферичности.
1. Исходные соотношения. Функция распределения частиц ¥р зависит от скорости центра масс частицы £р относительно неподвижной системы отсчета, ее угловой скорости ыр, а также от радиус-вектора г, времени ? и углов Эйлера. В дальнейшем указываются зависимости только от £р и ыр. В отсутствие газа ансамбль частиц - свободномоле-кулярный, когда справедливо уравнение -¥р/-1 = 0. При учете столкновений частиц с молекулами газа кинетическое уравнение принимает вид
-Ж = Жр > (1Л)
Здесь J - оператор столкновений частицы с молекулами газа. Выражение для конвективного оператора -¥р/-1 приведено, например, в [3]. Если внешние силы отсутствуют, частицы не вращаются или возможно осреднение уравнения (1.1) по углам Эйлера, то [1, 2]
1 В первой формуле (2.3) [2] для 8 произведение Й2Х необходимо вынести из-под знака квадратного
корня.
(Яр Э^ . д_£р йг Эг Хр Эг
Такой вид конвективный оператор имеет в случае, рассмотренном в разд. 3.
Цель работы - вывод выражения для J при сформулированных условиях. Предполагается [1, 2], что время взаимодействия молекул газа с поверхностью частицы много меньше характерного времени изменения функции ¥р. Между столкновениями молекул с частицей последняя движется по инерции, с постоянными скоростями £р и ыр. При столкновениях ориентация частицы не меняется и вывод выражения для J проводится при фиксированных значениях углов Эйлера (их переменность при движении по инерции учитывается в конвективном операторе [3]). Частицы предполагаются сплошными, однородными по массе и выпуклыми, с кусочно гладкой поверхностью, между участками которой отсутствует переотражение молекул газа.
Для учета движения газа введем скорости частиц и молекул относительно местной скорости газа и [2]
wp = Xр - и, w = X - и, и = и(г, г)
Соотношения, связывающие скорости молекул и частиц до и после столкновения, имеют вид
W' = W - О/т, wp = Wp + О/тр, ы'р = ыр + I-1 •[х х О] (1.2)
Здесь т, тр - массы молекулы газа и частицы соответственно, штрихом вводятся величины после столкновения, W', W - относительные скорости молекул после и до столкновения, О - импульс, передаваемый при столкновении, I - тензор инерции частицы относительно подвижной системы отсчета с началом в центре масс, х = Яе - радиус-вектор произвольной точки поверхности частицы в подвижной системе координат с началом в центре инерции, Я - величина радиус-вектора (переменная по поверхности частицы в отличие от сферы [1, 2]), е - соответствующий единичный вектор. По определению I ■ I-1 = Е, где Е - единичный тензор, точкой вводится скалярное произведение векторов (или простое произведение тензора второго ранга на вектор), знак х обозначает векторное произведение. В дальнейшем применяются обозначения [2]
g = W - и, ^ = W'- и', и = Wр - х х ыр, Аg = g
-1 р -1 р -1 (1.3)
2 = тр1 • [х хАg], е = т(тр + т) , ц = етр, Н = 2кТт
где к - постоянная Больцмана.
Для того чтобы исключить импульс О из соотношений (1.2), запишем
А g = (W) - ^ - W р) + [ х х(ыр - Ыр)] =
= - О - — + [ X х (I-1 • [ х х О ])] = - 0 + [ х х (I-1 • [ х х О ])] (1.4)
т тр ц
Умножив векторно выражение (1.4) на х и используя известное представление для двойного векторного произведения, с учетом обозначений (1.3) приведем его к виду
А • [х х Аg]ц =- [х х О] + (А • х)В, В = (х • (I-1 • [х х О]))ц
А = (Е + ц!-1 Я2 )-1 (1.5)
Умножая векторно на х выражение (1.5) и учитывая формулу ц(х ■ Аg) = -(х ■ О), следующую из соотношений (1.4), получим
О = - е (е •А g )ц + а ц - ТВ, а = е х( А •[ е хА g ]), Т = е х( А • е) (1.6)
Чтобы выразить величину Б через Дg, умножим скалярно первую формулу (1.5) сначала на I1, а затем на х. В результате
Б = VВ 1 (х • (I-1 • (А • [х х Дg]))), В = 1 - (х • (I-1 • (А • х))ц)
Подставляя выражение (1.6) в соотношения (1.2), найдем
Wp = Wp - е(е • Дg)е + йе - ТБтр
W' = W + е(е • Дg)(1 - е) - й(1 - е) + ТБт~1 (1.7)
ы'р = шр + е1-1 • [ х х й ] тр - (I-1 • [ х х Т ] Б)
Тензор А определен последней формулой (1.5), векторы й и Т - в формулах (1.6).
Далее аналогично [1] выписываются и преобразуются выражения для операторов прибыли и убыли частиц. Используя (1.7), можно показать, что якобианы преобразований переменных
W, Wр, шр ^ W', ^ Wp, «Р ^ g, Wр, шр
имеют блочный вид и равны единице. В слагаемом оператора 3, обусловленном прибылью частиц, вместо Wp , W', «р подставляются правые части формул (1.7), затем переобозначаются переменные g' на g и g на g', например
/ (g' + и') = / (W') = / (W + Дg - А„) = / (и + g'- / (и + g + Ап) = / (Л + V
Проводится разложение в ряд по е ^ 1 выражения в квадратных скобках формулы (2.2) [1] для) с учетом известного соотношения [4]
(Е + е Т )-1 « Е - е Т + О (е2) где Т - произвольный тензор. В результате получаются выражения (2.2) [1], однако теперь входящие в него слагаемые А^, А^, Аю даются формулами
Ап = е^- [х х 2]), А^ = еДg, Аю = е2
Как и ранее [1], в этих формулах опущены слагаемые, пропорциональные е", п > 2. Вектор 2 определен последней формулой (1.3). Используется малость поступательной и вращательной скоростей частиц по сравнению со средней тепловой скоростью молекул, так что
= + и)«+ и • /(£— + ...
В результате вместо формул (1.4)-(1.6) [2] имеем
3 = ШГ • (-—Рр) + • (-М*Рр) +
ЭWp ( тр р) д«р р
Г д2 д2 д2 (|.8) + 2тр 1 Э^дтт : Дg /> ^ + эшр^ : <2 2 /) ^ + 2дтрэ« : 2 /) ^ |
-Е = <Дg/) + ( Дgд/\ • Wр + / ДgГх х ^У ш р (1.9)
'Э^ р \ Эg -М *т. = < 2/) +12
х х —г——
• шр + ( 2/ • Wp, 2 = тр1-1 •[х х ^^] (1.10)
В выражении (1.8) две точки означают двойное произведение тензоров второго ранга
3
А : В = £ Лт„Бп
mn nm
m, n = 1
В данном случае эти тензоры - диады, например
л2
d AgAg, Ag
d W pdW ;
df
x X
d g-
S df S dg
В соотношениях (1.8)-(1.10) оператор () определен формулой [1, 2] <A) = m J J jAH-(n • g)H(n • g')|n • g|P(g, g')dgdg'dS
n • g < 0 n • g' > 0 S
Функция Хевисайда H(x) равна 1 для x > 0 и 0 для x < 0; P - плотность вероятности отражения частиц от поверхности, которая, в общем случае, переменна по поверхности частицы и во времени. Для используемого ниже зеркально-диффузного закона она определена как
2
P(g, g') = (1 - а)5(g' - g + 2n(n • g)) + аПn • g'| exp
n • g' > 0, hp = 2кТртГх, а = [0, 1 ] = const
где а - коэффициент диффузности (его называют также коэффициентом аккомодации тангенциального импульса, при а = 1 имеем диффузное отражение), 5 - дельта-функция.
В неподвижной системе отсчета функция распределения молекул газа дается выражением [2]
f (g) = f0( 82)(1 + VT (g) + ¥ U (g)), f0 (82) = n (h n)-3/2exp Ш
v hJ (1.11)
¥T = A(g2)g • VlnT, ¥U = -1 B(g2)gg : S, h = ^ f l> ft ill
где S - тензор скоростей сдвига.
В дальнейшем учитывается только неоднородность температуры газа. Первые слагаемые формул (1.9), (1.10) принимают вид
<А gf) = <Ag f 0 (1 + ¥T)), < Sf) = < Sf0( 1+ ¥T)) (1.12)
во всех остальных слагаемых выражений (1.8)—(1.10) функция f заменяется на f0. Параметры газа р, U, Tпостоянны по поверхности частицы [2]. Соотношения (1.9), (1.10) превращаются в выражения для силы F и вращательного момента M = I • M*, действующих на произвольную выпуклую частицу в медленном свободномолекулярном потоке неоднородного по температуре газа.
2. Оператор Фоккера-Планка. После указанных преобразований, используя выражения (1.8)—(1.12), искомый оператор Фоккера-Планка запишем в виде
dTp 1 д Г dFp
J =ai'{[xp-U} + q-vr]Fp + I + aWp-{g«-wpfp + D»'aw| ^^^^^
Здесь выписываются слагаемые, отличные от нуля для частиц - тел вращения, обладающих плоскостью симметрии, перпендикулярной оси симметрии [5, 6] (к таким телам принадлежат, например, сфероиды, сфероцилиндры и круговые цилиндры конечной длины и не принадлежит полусфера). В этом случае справедливы равенства
|АdS = 0, А = п; х; ппх = (ninjXk), г, j, к = 1, 2, 3
где А принимает одно из приведенных значений.
В операторе (2.1) множители у, 0, Б - тензоры второго ранга, а не скаляры [1, 2], они даются формулами
у^ = Р||ии + Р±(Е - ии)
= ф
X
2 Р
V Р1 - р2 у
+ а Р + 2р
/ Л
1 1
(2.2)
, ф = т(П)1/2, X =1 + (^т-6)а, т = (2.3)
Величина Рц получается при умножении коэффициента X на 2Р2, величина Р± - на (Р - Р). Далее
0 = фции + ф±(Е - ии)
жен
Хф
(2.4)
где выражения для фц, ф± получаются соответственно из формул (2.3) для Рц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.