ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 103, № 2, с. 300-308
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
УДК 535.14
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРА СОСТОЯНИЙ
ПРОТЯЖЕННОЙ МОДЕЛИ ДИКЕ
© 2007 г. О. А. Бояршинова, И. Д. Феранчук
Белорусский государственный университет, 220050 Минск, Беларусь E-mail: B.Ksusha@gmail.com, Fer@open.by Поступила в редакцию 12.10.2006 г.
Использован операторный метод решения уравнения Шредингера для описания системы N двухуровневых атомов, взаимодействующих с резонансным одномодовым квантовым полем (модель Дике). Спектр состояний вычислен без использования приближения вращающейся волны и предположения о малости линейных размеров системы по сравнению с длиной волны излучения. Получено аналитическое приближение для энергетического спектра, которое аппроксимирует его во всем диапазоне параметров гамильтониана как в нормальной, так и коллективной фазах системы, а также позволяет вычислять и термодинамические характеристики.
PACS: 03.60.Nk, 03.80.+Г, 34.80.-i
ВВЕДЕНИЕ
Эффективная модель для описания взаимодействия вещества с электромагнитным излучением, частота которого находится в резонансе с одним из электронных переходов в атомах среды, была впервые предложена в работе Дике [1]. В рамках модели Дике (МД) пренебрегается прямым взаимодействием между атомами, а гамильтониан каждого атома среды аппроксимируется гамильтонианом двухуровневой системы с характеристиками, соответствующими резонансному переходу. Для оператора, описывающего взаимодействие такой системы с одномодовым квантовым полем излучения, используется дипольное приближение.
Наиболее существенным достоинством МД является возможность описания многочастичных коллективных состояний среды, обусловленных взаимодействием атомов за счет обмена резонансными фотонами. В частности, в рамках МД был описан фазовый переход системы в сверхиз-лучательное состояние [2] и рассмотрен ряд других когерентных эффектов (самоиндуцированная прозрачность, фотонное эхо и т.п.). Позднее рассматривались многочисленные обобщения МД, когда модель двухуровневого "атома" используется для аппроксимации резонансного перехода в атомных ядрах, спиновых и других физических системах (см. [3] и цитированную литературу). В последние годы МД широко используется для анализа коллективных состояний в проблемах, связанных с реализацией квантовых компьютеров [4], описанием квантового хаоса [5] и квантовой диссипацией [6].
Следует, однако, подчеркнуть, что, несмотря на относительно простую форму гамильтониана МД, соответствующее уравнение Шредингера не имеет точного аналитического решения. Поэтому в различных конкретных приложениях МД используются дополнительные упрощения и приближенные методы, которые могут существенно ограничить область применимости получаемых результатов. В частности, наиболее распространенным является длинноволновое приближение (ДВП), при котором размеры системы предполагаются малыми по сравнению с длиной волны излучения (точечная МД). Во многих работах используется также приближение вращающейся волны (ПВВ), несмотря на то, что многие авторы указывают на существенное влияние антивращаю-щих слагаемых в гамильтониане на спектр системы [3]. Кроме того, для вычисления спектра и термодинамических характеристик МД развито большое число асимптотических приближенных методов: замена квантового поля классическим, приближение сильной связи, 1/Л^-разложение, приближение среднего поля и ряд других подходов (см. [7] и цитированную литературу). Тем не менее разработка нового метода, имеющего более широкую область применимости по сравнению с известными подходами, остается актуальной проблемой и существенна для широкого круга современных приложений, в которых используется МД.
В настоящей работе для исследования состояний МД используется операторный метод (ОМ) решения уравнения Шредингера, который был введен для непертурбативного описания различных квантовых систем в широком диапазоне изменения физических параметров (см. [8] и цитированную литературу). Ранее было показано [9],
что при описании взаимодеиствия отдельного двухуровневого атома с квантовым полем (модель Jaynes-Cummings (М1С) [10]) ОМ оказался весьма эффективным и позволил наИти как равномерно-пригодное аналитическое приближение для спектра М.ГС, так и быстро сходящиИся итерационный алгоритм вычисления точного решения. Ниже будет показано, что и для системы с произвольным числом двухуровневых атомов ОМ дает возможность исследовать коллективные состояния МД вне рамок как ПВВ, так и ДВП.
УРАВНЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА ДЛЯ МОДЕЛИ ДИКЕ
Рассмотрим гамильтониан МД, которыИ является основным объектом исследования в настоящей работе (используем систему единиц с й = с = 1),
Н = ю^ 5а+а + X
2о+
г = 1
(1)
/ ¿кИ, + -¿кИ, + *
+ -*= (ае + ае )(о, + О) JN
■ = ю Н1.
5 = ,ДТр, р = е-4П т ю2
(2)
/ = Аё
2 пр ю5
(3)
ноИ четности Т [9], которыИ коммутирует с гамильтонианом (1),
г = п<
= -¿е
2
2 г = 1
(4)
г = 1
Отметим, что точныИ интеграл движения имеет только 2 собственных значения 5 = ±1, что качественно отличает его от приближенного Ткшл , которыИ используется для этоИ системы в рамках ПВВ [11],
Я ь
N
1X
ог + а а,
(5)
г = 1
и имеющего в качестве собственных значениИ бесконечныИ набор целых чисел.
Рассмотрим, какие ограничения на реальные физические параметры системы накладывают условия применимости ПВВ и ДВП. В соответствии с [9] ПВВ можно использовать для определения спектра двухуровневого атома в квантовом поле, если выполнено следующее ограничение на константу связи:
Этот гамильтониан описывает систему N двухуровневых атомов с координатами Rг и разностью юА между энергетическими уровнями, которые взаимодеИствуют с одномодовым квантовым полем, операторы а(а+) являются операторами уничтожения (рождения) фотонов поля с волновым вектором к и частотоИ ю. Параметр перенормировки частоты поля 5,
/ТПО < 1,
(6)
где п0 - средниИ уровень возбуждения, которыИ можно выразить через амплитуду Е напряженности резонансного электромагнитного поля в среде:
приближенно учитывает вклад диамагнитного слагаемого во взаимодеИствие атома с полем [7]. Безразмерная константа связи атомов с полем определяется формулоИ [7]
2
Е V 0 4 пю'
V - объем системы.
В силу условия ДВП (кЬ < 1)
V < ю-3.
(7)
(8)
Используя приведенные соотношения, находим следующее ограничение на физические параметры:
А
—Е
ю
Здесь е и т - соответственно заряд и масса электрона, р - плотность атомов среды, ё - проекция дипольного момента каждого атома на вектор поляризации поля, матрицы Паули о], о± деИству-ют в пространстве двух состояниИ "спина" атома с номером г.
Точным интегралом движения рассматривае-моИ системы является оператор комбинирован-
25ю3
< 1.
(9)
Если ввести величину Nc = р/ю3 - число атомов в области когерентности, определяемоИ длиноИ волны излучения, и характерную амплитуду атомного поля Е0 = ю/ё, то условие (1) применимости ПВВ можно представить в следующем виде:
Е <
2| N.
(10)
N
+
] ¿Па а
N
В то же время ДВП можно использовать при ограничении на линейный размер Ь системы
Ь <
А
2 п'
(11)
где X - длина волны резонансного излучения.
Так, например, при взаимодействии когерентного оптического излучения с веществом N — 106, Е0 — 108 В/см и условие (10) нарушается уже при амплитуде поля, существенно меньшей той, которая возникает при использовании современных лазеров. Если же рассматривается взаимодействие гамма-квантов с мессбауэровской средой, то условие (10) всегда выполняется, однако соотношение (11) нарушается для любых реальных объектов. Таким образом, построение приближения для состояний Мд, которое будет равномерно-пригодным по константе связи /, плотности атомов среды, размерам системы и длине волны излучения, имеет важное значение для реальных физических систем.
Как было отмечено выше, в работе [9] на базе ОМ был вычислен точный энергетический спектр двухуровневого атома в одномодовом квантовом поле. Однако наиболее существенным для настоящего анализа является то, что уже нулевое приближение ОМ, также построенное в [9] в аналитической форме, дает высокую точность для энергетического спектра во всем диапазоне изменения параметров и квантовых чисел системы. Это обстоятельство служит основанием для использования нулевого приближения ОМ при построении равномерно-пригодного приближения для собственных значений и собственных векторов МД, а также базиса для построения последующих приближений.
Итак, искомый набор собственных функций и собственных значений удовлетворяет следующей системе уравнений:
{#1- ,}|%,> = 0, Т|^> = ^|^>,
(^у^^ух) = 1,
(12)
В соответствии с рецептом ОМ для приближенного решения уравнения (13) прежде всего необходимо осуществить каноническое преобразование операторов, входящих в Н, Р &, которое включает достаточное число произвольных параметров, чтобы описать возможные изменения, происходящие в отдельных подсистемах с учетом взаимодействия между ними. Физические процессы, происходящие в рассматриваемой системе, могут приводить к следующим изменениям: во-первых, у электромагнитного поля возникает достаточно интенсивная классическая компонента и, во-вторых, "спин" каждого атома среды поворачивается на некоторый угол, в общем случае зависящий от положения атома в пространстве. Эти изменения могут быть учтены с помощью следующих канонических преобразований:
а = и + Ь, а = и *+ Ь
2 т
,|0> = о, Ь|и> = 0, |и> = е-и|/2 У -и= |т>;
т!
(14)
т = 0
а* '
и. ¿. , А и.---г . 1лч' ■ - —
с, = Уг с, + Л1 с, + Л1 с,, а = х, у, г;
1 I 2 1 г
А х ¡Ф, 1 + У г , -¡Ф,1- УI Л1 = - е —7-- + е
ЛУ = i( е
4 '
1 I г 1 г--.
¡ф, 1+ У г -¡ф, 1- У г \ —+е —>
„у 3
(15)
где индекс х = ±1 определяет четные и нечетные состояния, а V включает набор остальных квантовых чисел, безразмерное собственное значение е^ определяет энергию системы в единицах ю.
Согласно ОМ, для систем с интегралами движения [8] удобнее перейти вместо (12) к одному
уравнению, вводя оператор проектирования Рц на состояния с заданной четностью,
{#1-}Л|^> = 0, Л = 1 (1+ хТ). (13)
Это позволяет при построении
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.