ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
М. Визинеску*
ОПЕРАТОРЫ ДИРАКОВСКОГО ТИПА В ИСКРИВЛЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И РОЛЬ ТЕНЗОРОВ КИЛЛИНГА-ЯНО
Рассматривается уравнение Дирака в искривленном внешнем пространстве и исследуется роль тензоров Киллинга-Яно в построении операторов дираковского типа. Полученные общие результаты применены к случаю четырехмерного евклидова пространства Тауба-Ньюмана-Унти-Тамбурино. Исследованы гравитационные аномалии для обобщенных евклидовых метрик Тауба-Ньюмана-Унти-Тамбурино, которые допускают скрытые симметрии, аналогичные вектору Рунге-Ленца в проблеме кепле-рова типа.
Ключевые слова: операторы Дирака, тензоры Киллинга-Яно, пространство Тауба-Ньюмана-Унти-Тамбурино, скрытые симметрии.
© 2005 г.
1. ВВЕДЕНИЕ
Цель данной работы состоит в исследовании квантовых объектов, а именно частиц половинного спина, в искривленных пространствах. Так как сколько-нибудь удовлетворительная квантовая теория гравитационного взаимодействия до сих пор не построена, такое исследование оправданно и нетривиально.
В псевдоклассическом подходе действие релятивистской частицы спина 1/2 со спиновыми степенями свободы, описываемыми грассмановыми (нечетными) переменными, было впервые предложено Березиным и Мариновым [1]. Исследовались решения обобщенных уравнений Киллинга для конфигурационного пространства спиновой частицы (спинового пространства), решения которых были представлены в терминах тензоров Киллинга-Яно (КЯ). Напомним, что тензор называется тензором КЯ валент-
ности два, если он полностью антисимметричен и удовлетворяет уравнению
= 0, (1)
где после точки с запятой указан индекс координаты, по которой производится ковари-антное дифференцирование. Заметим, что существование тензора КЯ представляет собой как необходимое, так и достаточное условие существования новой суперсимметрии в спиновом пространстве [2].
*National Institute for Physics and Nuclear Engineering, P.O. Box M.G.-6, Magurele, Bucharest, Romania. E-mail: mvisin@theorl.theory.nipne.ro
1 00
Переходя от псевдоклассического подхода к уравнению Дирака в искривленном пространстве, укажем роль тензоров КЯ при построении новых операторов дираковского типа. Операторы дираковского типа, построенные с использованием ковариантно-посто-янных тензоров КЯ, эквивалентны стандартному оператору Дирака. Нековариантно-постоянные тензоры КЯ порождают нестандартные операторы Дирака, не эквивалентные стандартному оператору Дирака, и именно эти операторы связаны со скрытыми симметриями пространства.
Общие результаты затем применяются к случаю четырехмерного евклидова пространства Тауба-Ньюмана-Унти-Тамбурино (Тауба-НУТ).
В случае гравитационного взаимодействия согласованное пертурбативное квантование невозможно даже в отсутствие фермионов. Поэтому понимание проблемы аномалий, которые могут влиять на законы сохранения, исключительно важно при построении любой квантовой теории гравитации.
В настоящей работе в явном виде исследуются квантовые аномалии для квадратичных по полям интегралов движения на примере обобщенного евклидова пространства Тауба-НУТ.
2. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В ИСКРИВЛЕННОМ ФОНОВОМ ПОЛЕ
В дальнейшем рассматривается оператор Дирака в искривленном фоновом поле, имеющий вид
О. = У V (2)
Здесь матрицы Дирака 7М задаются антикоммутационными соотношениями в локальных координатах:
= (3)
а У^ обозначает каноническую ковариантную производную для спиноров. Существенные свойства этой ковариантной производной собраны в уравнениях
= 0,
^Л] = (4)
где ЯарР11 - компоненты тензора кривизны Римана.
Картер и Макленахан показали [3], что в теории фермионов Дирака с любой изомет-рией вектора Киллинга Яц можно ассоциировать оператор
X* = - ^УТ'ДЙ;*).
(5)
коммутирующий со стандартным оператором Дирака (2).
Далее, любой тензор КЯ генерирует нестандартный оператор Дирака вида
О} = -»7" V,, -
который антикоммутирует со стандартным оператором Дирака 03.
I
■скривленном прос-m лир аковс кого ти-■звариантно-посто-t Нековариантно-
■ка. не эквивалент-■заны со скрытыми
ш-г евклидова прос-
к-ьгивное квантова-F гроблемы анома-кхно при построе-
IES! л-ггя квадратич-
сз:ва пространства
(4)
: любой изомет-
(5)
^с Лиракавида
(6)
ОПЕРАТОРЫ ДИРАКОВСКОГО ТИПА В ИСКРИВЛЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 201
2.1. Пример: евклидово пространство Tayба-НУТ. Рассмотрим пространство Тауба-НУТ и карту, отвечающую декартовым координатам х1*, = 1,2,3,4, с линейным элементом
ds2 = gßU dx" dxv = f(r)(dx)2 + Y^i^4 + Aidxi)2. (7)
гдех = (г, в. if) - трехвектор, (dx)2 — (dx1 )2 + (dx2)2 + (dx3)2 и А- калибровочное поле монополя:
div Л = О, В = rotÄ= (8)
Вещественное число т - это параметр, входящий в теорию через функции
/(r)=«-1(r) = ^"1(r) = ^±I, (9)
г
а так называемая сингулярность НУТ отсутствует в случае, когда а;4 периодично с периодом 167ГТО. Иногда удобно произвести координатное преобразование 4т(х + ip) = —х4 с 0 ^ х < 4я-.
В геометрии Тауба-НУТ имеются четыре вектора Киллинга [4]
DA = Ri\dtl, А ~ 1,2,3,4. (10)
Один из них порождает группу трансляций U( 1), или X, ион коммутирует с остальными векторами Киллинга. Оставшиеся три вектора, отвечающие инвариантности метрики (7) относительно пространственных вращений (А = 1,2,3), удовлетворяют соотношениям алгебры SU(2):
[£»1,£»2] = -£»З (11)
и т.д.
В бозонном случае эти инвариантности отвечали бы сохранению углового момента и сохранению так называемого "относительного электрического заряда":
г
J = rxp + q-, q = д(г)(в + cos 9ф), (12)
г
гдер = V_1r- механический импульс.
С другой стороны, известно, что в геометрии Тауба-НУТ существуют четыре тензора КЯ валентности два. Первые три из них ковариантно-постоянны:
(4 тп\
1 -I--\dxj A dxk,
г ) (13)
Ям/а = 0> i,i,*=l,2,3,
а четвертый тензор КЯ, имеющий вид
/у = 8m(dx + cos в dip) A dr + 4г (г + 2т) + -^j sin в de A dy, (14)
202 м. ВИЗИНЕСКУ
не обращается в нуль при действии ковариантной производной:
/угв]„=2^1 + ~у5тв. (15)
В пространстве Тауба-НУТ существует сохраняющийся вектор, аналогичный вектору Рунге-Ленца проблемы кеплеровского типа [4]:
К= =рх/ + ^ (16)
где сохраняющаяся энергия имеет вид
(17)
Компоненты вектора Рунге-Ленца (16) суть тензоры Штакеля-Киллинга (ШК) валентности два, удовлетворяющие уравнениям
Кци»;*) = ^«/и/ = К™»- (18)
Эти компоненты можно выразить в виде симметризованных произведений тензоров КЯ /г, /у и векторов Киллинга К а [5], [6]:
Кщи ~ + ВлиВл^) = т{/Уц\ЛХ„ + fYv\fiX^l). (19)
2.2. Уравнение Дирака в пространстве Тауба—НУТ. При использовании декартовых карт в геометрии Тауба-НУТ полезно рассмотреть локальные координаты, задаваемые полями тетрад ё(х) таких, что <?м„ = Четыре матрицы Дирака
7°, удовлетворяющие соотношениям {7°, 7^} = 2, могут быть выбраны в виде
В пространстве Тауба-НУТ стандартный оператор Дирака имеет вид
Л- - = г л/У 7 • Р + -^=74Р4 + ^У^г^* • В, (21)
где V» - компоненты спиновых ковариантных производных с локальными индексами V; = + У4 = -^Р4 - Х-Уу/УЪ* ■ В. (22)
Эти величины зависят от операторов импульса Рг = —— Аф^), Р4 = —¿¿^удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[Рг, Р3] = 1£г3кВкР4, [Рг, Р4] = 0.
ОПЕРАТОРЫ ДИРАКОВСКОГО ТИПА В ИСКРИВЛЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 203
»- аналогичный век-
Спиновые матрицы, порождающие спиновые связности, имеют вид
% 1 = + —у 7 , 5» = — ,
(23)
где = -г[7й,У]/4.
В вышеприведенном представлении матриц Дирака гамильтонов оператор безмассового поля Дирака имеет вид [7]—[9]
Я = 75Д* =
о
т/Утг
0
Его можно выразить с помощью операторов
гР4 . ,1РА з
ж = ар-—, тг = ар + —, ар = а ■ Р,
в то время как оператор Клейна-Гордона есть
Д = -У^У = Утг*7г = УР + -Р42.
(24)
(25)
(26)
Можно задаться целью искать сохраняющиеся величины среди операторов, которые коммутируют или антикомму тируют с И3 и 75 [8], [10]. Это так в случае полного углового момента
!=£+§,
где орбитальный угловой момент имеет вид
= -гс>4, удовле-
Ь = х х Р - Атп-Р.4.
г
(27)
Операторы дираковского типа можно строить из тензоров КЯ /», г = 1,2,3, и /у с применением (6). В квантовой теории Дирака эти операторы можно подставить вместо суперзарядов [2], [6] псевдоклассической теории. Первые три из них,
(28)
антикоммутируют с И3 и с 75, коммутируют с Н и удовлетворяют соотношениям супе-ралгебры N = 4, которые также включают в рассмотрение оператор (¿о — = г'7ЬН:
{Яа,ЯВ} = 28авН2, А, В,... = 0,1,2,3.
(29)
Эта алгебра связана с гиперкэллеровой геометрией пространства Тауба-НУТ.
Скрытые симметрии геометрии Тауба-НУТ связаны с нетривиальными тензорами ШК , г = 1,2,3. Чтобы построить оператор Рунге Ленца теории Дирака, можно использовать произведения операторов дираковского типа (¿у и Определим оператор [7], [8]
N¿=7П{<2у,<2Л-ЛР4-
(30)
Его компоненты коммутируют с гамильтонианом Н и удовлетворяют коммутационным соотношениям
, Р4] = 0, , = ,
= 0, \NuQj] = ге^кОкРА, (31)
где Р2 = Р2 — Н2. Чтобы записать последний коммутатор в виде, близком к коммутаторному выражению в скалярном случае [4], следует переопределить компоненты оператора Рунге -Ленца К\
к» = т + \H~4F - Р*)Яг. (32)
Теперь эти новые компоненты подчиняются искомому коммутационному соотношению [8]
\KuKj] (33)
3. ГРАВИТАЦИОННЫЕ АНОМАЛИИ
Скрытые симметрии содержатся в тензорах ШК. Рассмотрим теперь симмметрич-ные тензоры - ки(1, удовлетворяющие уравнению ШК (18). Для произвольной геодезической с касательным вектором тензор ШК порождает квадратичный интеграл движения вдоль геодезического потока:
К = (34)
В самом деле, если интересоваться только геодезическим потоком классических скалярных частиц, то условие (18) оказывается необходимым и достаточным для существования квадратичного интеграла движения (34), который можно получить, если вычислить скобку Пуассона интеграла К и гамильтониан
н = (35)
где р^ - компоненты импульса и - метрический тензор.
При переходе от классического движения к скрытым симметриям квантовой системы квантовый оператор, являющийся аналогом квадратичного интеграла (34), имеет вид [И]
К. = (36)
где - оператор ковариантного дифференцирования на многообразии с метрикой Вы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.