МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. К.Ф. КОМКОВ
ОПИСАНИЕ АНИЗОТРОПИИ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ВЫЗВАННОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ
Многие материалы являются поликристаллическими средами или отвердевшими механическими смесями сложной структуры. При малых упругих деформациях они ведут себя как изотропные. Однако при напряжениях выше предела упругости эти материалы проявляют эффекты, связанные с деформационной анизотропией. Количественная оценка этого явления еще не получила завершения.
В публикуемой работе нелинейные уравнения В.В. Новожилова без каких-либо допущений приведены к виду, характерному для определяющих уравнений ортотропной среды. Получены выражения для обобщенных характеристик нелинейной упругости путем выбора конкретного выражения для потенциала деформаций. Дан вывод рабочих формул для вычисления коэффициентов упругости в главных направлениях, всех коэффициентов поперечных деформаций и модулей сдвига в главных плоскостях упругой симметрии. Описана методика их определения по результатам испытаний на растяжение и сжатие.
Дан анализ некоторых результатов испытаний, опубликованных по данной теме. Показано, что эффект, связанный с аномальным поведением коэффициента поперечной деформации, выявленный как при сжатии, так и при растяжении, вполне объясним, если учитывать тот факт, что пластическое деформирование сопровождается деформационной анизотропией.
1. О двух формах записи уравнений. Тензорно-нелинейные уравнения [1] связи деформаций с напряжениями находят практическое применение в следующем виде:
Здесь 0гу, Бу - компоненты тензора и девиатора приведенных напряжений, е^ - тензор деформаций, о0 - среднее напряжение, Б0 - интенсивность напряжений, Фь Фт, Фа -обобщенные характеристики материала. Условие потенциальности дает для этих величин следующие соотношения:
е. = 1/3 ФкОо5. + 1/2ФmS¡j + Ф,(SiaSaj - 2/9S25j)/S0 (i, j, a =1, 2, 3) S. = o i. - Oo5i, Оо = 1/3 Oü, So = (3/2SjSj)1/2
(1.1)
(1.2)
9 = 1/3arccos(9S1jSjaSai/2Sl), 0 <9<n/3
(1.3)
где 9 - угол вида напряженного состояния, Ф - потенциал деформаций.
В [2] показано, что характеристики Фт и Фй могут быть определены по формулам
Фт = B./3, Ф^ = {3[(ФИ - Bt )2 ]/8}1/2 (1.4)
где B. = Jj/ij (i = 1, 2, 3) - податливости среды при сдвиге в направлении главных касательных напряжений. При обратном преобразовании они имеют вид:
Bi = Фт -4/3 Фа cos е, B2 = Фт + 2/3 Фа (cos 9 -73 sin 9) (15)
B3 = Фт + 2/3Фй (cos 9 + 73 sin 9)
Если компоненты девиатора напряжений, их квадраты и S0 выразить в главных напряжениях и уравнения (1.1) записать для главных деформаций, то они приводятся к виду характерному для уравнений, описывающих деформацию ортотропной среды, а именно [3]:
Ej. = ajjOj (i, j =1, 2, 3) (1.6)
где a.j, следуя [3], будем называть коэффициентами деформации, которые в общем случае являются переменными величинами. Они отражают приобретенную анизотропию, порожденную пропорционально возрастающими напряжениями, и связаны с техническими характеристиками следующим образом:
a11 = E1 , a12 = -V21E2 , a13 = -V31E3
a21 = —V12E , a22 = , a23 = —V32^Э (1.7)
a31 = -V13E1 , a32 = -V23E2 , a33 = E3
Здесь E. - модули упругости в направлении главных напряжений, а Vj (i Ф j) - коэффициенты поперечной деформации. При наличии функциональных выражений для обобщенных характеристик эти величины определяются для любого напряженного состояния:
E-1 = (Ф* + 3Фт + ФлСг)/9 (1.8)
V12E11 = V21E-1 = (3 Фт/2- Ф* - Ф^)/9
V23E-1 = V32E331 = (3 Фт/2- Ф* - ФС)/9 (19)
V13EI1 = V31E31 = (3 Фт/2- Ф* - ФС)/9
C1 = 3S1/S0 = 2 cos 9, C2 = (73 sin 9 -cos 9), C3 = -(73 sin 9 + cos 9) Полный набор коэффициентов деформации ортотропного тела включает в себя еще три податливости сдвигу в главных плоскостях упругой симметрии: G^, G13,
G-1. Их значение можно определить, воспользовавшись инвариантными величинами, вытекающими из соотношений по преобразованию коэффициентов от одной системы координат к другой. Располагая податливостями В., представленными в (1.5), и соотношениями для инвариантов, находим [3]:
В1 + В2 = G23 + G13
В2 + В3 = GI3 + G-3 (1.10)
S3+ Bi = G-3 + G-3
3 (1) a44 + a55
3 (2 ) = a55 + a'66
3 (3 ) = a66 + a44
где а44, а55, абб - значения коэффициентов в новых осях, повернутых к площадкам с главными касательными напряжениями, /3() - третий инвариант при повороте координат относительно /-го главного направления. Из соотношений (1.10) следует
= = B2, = В1 (1.11) К вышеизложенному следует добавить, что математические возможности для описания деформационной анизотропии заложены и в уравнениях связи напряжений с деформациями, которые коротко можно представить следующим образом:
о, = ЭП/Эе, = л1}£} (/, ] = 1, 2, 3) (1.12)
где П - потенциал напряжений, Л^ - характеристики нелинейной упругости, отражающие приобретенную анизотропию при пропорционально возрастающих деформациях.
Однако, как показано выше, коэффициенты а^ проще связать с техническими характеристиками, поскольку их можно определить по результатам экспериментов, проводимых при заданных напряжениях. Следовательно, на данном этапе исследований необходимо остановиться на подходе, основанном на уравнениях (1.1).
2. Восстановление обобщенных характеристик. С этой целью потенциал деформаций принимается в виде следующего выражения:
Ф = о^2К + Б^бц + Я (5 о )х(0)/3ц (2.1)
где ц и К - модули упругости при сдвиге и объемной деформации соответственно. Функции £(50) и %(0) призваны отражать зависимость нелинейной части деформации от 50, т.е. уровня, и 0 - вида напряженного состояния. Учитывая реальное поведение материала и условие пропорционального нагружения, для первой принимается степенная зависимость £(50) = ЬБ™¡т, а для второй тригонометрическая %(0) = 1 + щ, где
П = 00830; а, Ь, т -постоянные величины.
Пользуясь соотношениями (1.2), находим выражения для обобщенных характеристик:
Ф* = К"1, Фт = Ц-1{ 1+ Ьо [ 1+ ап( 1-3/т)] Б™-2 }, Ф, = ~2
2цш u (2.2)
b0 - bSb 2> Su - S0/Sb, Sb - (obr + °bs)/2
где obr и obs - пределы прочности материала соответственно при растяжении и сжатии.
Модель нелинейной среды, основанная на потенциале (2.1), предполагает линейное изменение объемной деформации от напряжений. Методика, описанная ниже, позволяет найти значения всех констант при наличии диаграмм о ~ е для растяжения и сжатия. Начальные значения модуля упругости E и коэффициента Пуассона v определяются при малых упругих деформациях. Последние позволяют вычислить ц = E/2(1 + v) и K = E/3(1 - 2v).
Из определения для интенсивности деформаций e0 = (2/3e^e^)112, где ej = е j5j - е0, е0 = 1/3ей, и уравнений (1.1) следует соотношение
2 2 1/2
eo = £о(Ф» + 4 Фт Ф^/3+4Ф2/9) /3 (2.3)
Оно, с учетом (2.2), дает возможность описать диаграммы S0 ~ e0 для обобщенного растяжения (0 = 0, п = 1):
eo = So[ 1+ bo ( 1+ a ) Sm-2 ]/3ц (2.4)
и для обобщенного сжатия (0 = п/3, п = -1):
ео = S0[ 1+ b0 ( 1- a ) Sm-2 ]/3ц (2.5)
Если при этом воспользоваться известной формулой для определения коэффициента поперечной деформации за пределом упругости [4]
vt = ( 1- о/3K )/2 (2.6)
то по параметрам
Qr = 3ц e0/S0( 1+ a ) - 1, Qs = 3 ц^А^ 1- a ) -1 (2.7)
определенным в нескольких точках диаграмм, и последующей их аппроксимацией степенными функциями Qr = ЛЛ" и Qc = AsSU, появляется возможность вычислить остальные константы:
b0 = (Ar + As)/2, a = (Лг - As)/2b0, m = (nr + ns -4)/2 (2.8)
3. Сопоставление с результатами экспериментов. Для отработки описанной методики восстановления вида обобщенных характеристик, определения констант и коэффициентов деформации предлагается воспользоваться результатами испытаний алюминиевого сплава 24S-T4, приведенными в [5]. Без каких-либо изменений на фиг.1 перенесены опытные точки и три графика. Кривые 1, 2 и экспериментальные светлые точки иллюстрируют диаграммы растяжения и сжатия соответственно.
Экспериментальные темные точки дают представления об изменении коэффициента поперечной деформации в зависимости от осевой. Кривая 3 представляет собой график, построенный по эмпирической зависимости, принятой в [5], призванной обобщить экспериментальные результаты.
Для их сравнения с результатами расчетов приводится кривая 4, которая графически отображает формулу (2.6). Тот факт, что почти все экспериментальные точки, кроме тех, что расположены вблизи е = 0, лежат выше кривой 4, а график 3 выходит за предельное значение v = 0.5, объясняется в [5] ростом нелинейной объемной деформации (дилатансии). При этом отмечается также высокая склонность данного материала, по терминологии [5], к структурной анизотропии.
Описанная в данной публикации модель материала подтверждает последнее предположение и позволяет более точно объяснить причину аномального поведения коэффициента поперечной деформации. Воспользовавшись представленными диаграммами и начальным значением коэффициента Пуассона, по изложенной выше методике нетрудно определить основные величины: ц = 0.31 ■ 105 МПа, K = 0.81 ■ 105 МПа, a = 0.21, b0 = 2.15, m = 8.6, Sb = 389 МПа. Эти результаты и соотношения (2.2) позволяют найти обобщенные характеристики. Их графики представлены на фиг. 2. Кривая 1, показанная сплошной линией, дает представление о поведении Фт для обобщенного растяжения, а кривая 2 (штриховой линией) для обобщенного сжатия. Обе они асимптотически стремятся к значению 3.2 ■ 10-5 МПа-1 при S0 = 0. Кривая 3 (штрих-пунктирная линия) отражает поведение функции Фа от S0, которая в данном конкретном случае не зависит от вида напряженного состояния.
Наличие этих характеристик и модуля упругости K дает возможность определить по (1.8) и (1.9) технические характеристики. На фиг. 3 сплошными линиями показаны их графики для растяжения, а штриховыми линиями для сжатия. Кривая 1 иллюстрирует изменения модуля El от S0, а кривая 2, расположенная чуть выше, модулей E2 = E3, по другим главным направлениям. Кривые 3,4 и 5 дают представление о поведении коэффициентов поперечной деформации, которые оказываются попарно равными друг другу: нижняя - v23 = v32, средняя - v12 = v13 и верхняя - v21 = v31. Значения последнего графика перенесены на фиг. 1 и п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.