МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2010
УДК 539.374
© 2010 г. Ю.И. КАДАШЕВИЧ, С.П. ПОМЫТКИН
ОПИСАНИЕ ЭФФЕКТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА В РАМКАХ ЭНДОХРОННОЙ ТЕОРИИ НЕУПРУГОСТИ ДЛЯ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Кратко изложена история становления и развития эндохронного подхода. На основе варианта теории течения в форме Новожилова—Кадашевича записаны определяющие соотношения эндохронного типа и указан метод их обобщения на область больших деформаций и поворотов. Демонстрируется несколько примеров качественного описания неупругих эффектов второго порядка. Отмечается, что в рамках геометрически линейных теорий неупругости феноменологического типа подобные эффекты теоретически не объяснимы с единых позиций.
Ключевые слова: неупругость, эндохронная теория, определяющие соотношения, большие деформации, эффекты второго порядка.
1. Введение. Термин "эндохронная" применительно к теории пластичности был введен К.С. Валанисом [1] в 1971 году. С этим определением связывалась теория пластичности, в которой не сдержится понятие поверхности текучести. Неупругие деформации в этой теории определяются через некоторую неубывающую переменную величину, обычно и называемую внутренним временем. Истоки такого подхода, несомненно, восходят к работе А.А. Ильюшина [2]. В рамках теории упруго-пластических процессов в определяющие соотношения им было введено понятие функционала, который не требует специального постулирования существования поверхности текучести (но и не отвергает ее). Кроме того, этот функционал содержал в своей структуре параметры, характеризующие сложность и историю траектории деформирования. Поэтому эту теорию можно считать первой феноменологической теорией пластичности без поверхности текучести. Здесь же отметим, что до появления работы [1] были опубликованы статьи [3—5], которые уже содержали элементы нового подхода.
Бурное развитие эндохронного подхода началось с 1980 года, когда была введена новая мера внутреннего времени [6]. Здесь отметим две отечественные работы [7, 8], посвященные эндохронному подходу. Существенный вклад в развитие эндохронной теории неупругости безусловно сделан в [9]. Отметим ряд интересных работ [10—13]. Из зарубежных отметим статьи, выходные данные которых упомянуты в обзорах по эндохронной теории [14, 15]. Очень интересные соображения о влиянии внутреннего времени на определяющие соотношения были высказаны в [16—18].
Эндохронный подход вызвал бурную научную дискуссию. Он имеет как сторонников, так и противников. Явными противниками были такие известные ученые как В.Д. Клюшников [19] и Р.С. Ривлин [20]. Положительно относились к эндохронной теории А.А. Ильюшин и А.А. Вакуленко. В.В. Новожилов, нейтрально относясь к эндохронной теории неупругости, тем не менее, представил для публикации в "Докладах Академии Наук СССР" серию статей Ю.И. Кадашевича и А.Б. Мосолова (см., например, [21]) и настоял на публичной дискуссии на страницах журнала "Механика твер-
дого тела". Результаты дискуссии опубликованы в [19, 22]. Участники дискуссии остались на своих позициях, но основные претензии к эндохронному подходу были отклонены.
Впоследствии, ряд зарубежных авторов, к сожалению, отказались от основного варианта теории, предложенного в [6], и приступили к анализу его предельного случая, не осознавая, что они фактически перешли к варианту теории течения в форме [23], что и было отражено в [24].
В настоящее время в области теорий, использующих эндохронный подход, в России плодотворно работают много школ и коллективов [25—28].
Интенсивные исследования вязкоупругих явлений и неупругости с использованием эндохронных теорий ведутся и за рубежом (например, [30, 31]).
Основное содержание настоящей статьи будет посвящено распространению эндо-хронной теории в тензорно-параметрической форме [5] на область больших деформаций и поворотов, а также демонстрации некоторых описательных возможностей эн-дохронного варианта теории неупругости, учитывающего большие деформации, в приложении к эффектам второго порядка (по терминологии и классификации работы [32]). Отметим, что геометрически нелинейные варианты эндохронных теорий достаточно успешно применяются для моделирования явлений вязкоупругости в высокоэластичных полимерных материалах [33], при компактировании заготовок и изделий их порошковых материалов [34], при описании поведения песков, грунтов и бетонов [35].
2. Эндохронная теория пластичности при малых деформациях. Рассмотрим один из вариантов теории течения с изотропно-кинематическим упрочнением в форме Ново-жилова—Кадашевича [36]:
С (1&н
г. = е. + г. гу. = , = х(Х) + р. (2.1)
у н
здесь а у, Ву, е., е. — девиаторы тензоров действующих напряжений, полных, упругих и неупругих деформаций, соответственно. Предел текучести т(1) — экспериментально определяемая функция материала, зависящая от параметра нагружения (параметра
Одквиста) ё"к = е^^^б^ и характеризующая текущий радиус поверхности текучести. Компоненты девиатора тензора остаточных микронапряжений (по терминологии Новожилова) ру характеризуют положение центра поверхности текучести в девиаторном пространстве напряжений (или деформаций). Кинетические уравнения для остаточных микронапряжений ру могут записываться самым различным образом (см., например, [36]). На практике чаще всего используется достаточно простой и эффективный вариант в форме [5]:
-Р./-Х + А р;у = В-б"/-X + Се^ (2.2)
В 1967 году при анализе тензорно-линейных соотношений, связывающих напряжения и пластические деформации, было установлено [5], что одинаковый порядок производных напряжений и пластических деформаций по параметру Одквиста, входящих в уравнения, лишает теорию течения понятия поверхности текучести. Было предложено добавить в уравнения (2.1) малые слагаемые, уравнивающие порядок производных и удаляющие из рассмотрения поверхность текучести. Например, если а — малый параметр (0 < а < 1), то для (2.1), (2.2) имеем
+ ^ = + Р., %+ АР„ = В%+ Сен а,
Соотношения (3) весьма подробно были изучены [10] для задач упруговязкопла-стичности, когда т = т(А,, X ).
Если использовать понятие параметрического тензора гу [8] или "новой" меры внутреннего времени dz = кйг [6], то уравнения теории без поверхности текучести в
дифференциальной форме можно записать в виде
+ ^ -« = т< г) -? + р„ -Г = (24)
г, = - < 1 - а)^Ч АР„ = С*
В частности, для варианта теории течения Новожилова—Кадашевича [36] при А = 0, С = 0 уравнения (2.4) будут иметь наиболее простую для анализа структуру
Э, + 0?-? = Т1Г + —' Г, = - < 1 - ' йг = (2.5)
2 С 2 О-г -г g + а 2 С
Здесь уже т — деформационный предел текучести (то есть та деформация, которая соответствует началу пластического течения), g — параметр, характеризующий упрочнение (разупрочнение) материала. При одноосном активном нагружении для выбранного а кривая "напряжение-деформация" выходит на асимптоту е = (1 + g)a/(2G) — gт, что позволяет достаточно просто определить константы и функции материала.
Таким образом, оказалось, что фактически каждому варианту теории течения можно сопоставить сопутствующее уравнение-спутник, но уже без поверхности текучести. Получаемые уравнения, не опирающиеся на понятие поверхности текучести, мало отличаясь от уравнений теории течения, позволяют сохранить все достоинства исходных соотношений, придать новые описательные и предсказательные возможности и отодвинуть на второй план проблемы, связанные с выбором допуска на определение поверхности текучести и с постоянной проверкой условия "нагрузка-разгрузка". Не требуется разделение деформации на упругую и неупругую составляющие.
При этом следует подчеркнуть, что решения, связывающие напряжения и деформации и полученные при а = 0 (теория течения) и при а ^ 0 (эндохронный вариант), различаются. Несмотря на кажущуюся асимптотическую эквивалентность, было показано [37], что решения краевой задачи по уравнениям (2.1), (2.2) и (2.3) существенно различаются. Порождаемые определяющие соотношения эндохронной теории по своим описательным возможностям оказались значительно шире порождающей их теории течения.
Безусловно, не следует и идеализировать определяющие уравнения эндохронной теории тензорно-параметрического типа. Нужно отметить, что косвенно понятием поверхности текучести все равно приходится пользоваться для экспериментального определения "предела текучести" и выяснения его зависимости от длины дуги пластического деформирования и скорости деформирования, а также при верификации кинетических уравнений для микронапряжений (2.2). При решении пространственных краевых задач для некоторых граничных условий (например, Р—М—р нагружение толстостенной трубки) может возникнуть неустранимая дифференциальная нелинейность, позволяющая, однако, продолжить решение по методу последовательных приближений [38].
3. Эндохронная теории пластичности, учитывающая большие деформации и повороты.
При построении определяющих соотношений теории неупругости для больших деформаций и поворотов традиционно поступают двумя способами.
В первом из них при малых деформациях и поворотах выбирают какую-нибудь экспериментально обоснованную феноменологическую модель неупругого поведения материала и записывают соответствующие ей уравнения связи между напряжениями и деформациями (упругими, пластическими, вязко-пластическими). Затем вместо материальной производной по времени для входящих в уравнения тензорных величин используют некоторую объективную производную, определяемую из общей кинематики точки сплошной среды (см., например, некоторые модели в [39, 40], а также [41]). В этом подходе множественность вариантов объективных производных приводит к проблеме выбора наилучшей из них и невозможности однозначного обобщения определяющих соотношений на область больших деформаций и поворотов. Методы выбора — совпадение результатов расчета с экспериментальными данными, термодинамическая непротиворечивость получаемых результатов, "здравый смысл" (например, отсутствие колебательного поведения напряжений при жестком пропорциональном деформировании). Многочисленные исследования [42, 43] по применению различных объективных производных для тех или иных ва
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.