Лёд и Снег • 2013 • № 3 (123)
Ледники и ледниковые покровы
УДК 910.1:551.8
Описание миграции линии налегания в двумерной математической модели ледникового щита
© 2013 г. О.О. Рыбак12, Е.А. Рыбак23
Departement Geografie and Earth System Sciences, Vrije Universiteit Brüssel;
2Сочинский научно-исследовательский центр РАН; 3Институт природно-технических систем РАН, Сочи
orybak@vub.ac.be
Статья принята к печати 4 марта 2013 г.
Антарктида, вариации климата, ледниковый щит, линия налегания, математическая модель, течение льда,
шельфовый ледник.
Antarctica Ice Sheet, climatic variations, grounding line, ice flow, ice shelf, mathematical model.
Объём ледниковых щитов, основание которых лежит ниже уровня моря, сокращается главным образом в результате смещения линии налегания в глубь континентальной области предположительно в результате потепления окружающих его вод океана. Для оценки потенциального вклада ледниковых щитов в будущее увеличение уровня моря в математических моделях необходимо как можно точнее описывать процесс миграции линии налегания. В статье рассматривается алгоритм миграции, в основе которого лежит задание граничного условия потока массы на линии налегания. В численных экспериментах ледниковый щит, будучи выведенным из равновесия внешним воздействием, возвращается к своему первоначальному состоянию при прекращении действия внешней силы. После соответствующей доработки алгоритм можно применять в комплексных моделях ледниковых щитов.
Введение
Граница между ледниковым покровом и шель-фовым ледником (на тех участках, где последний окружает ледниковый щит), т.е. линия налегания, подвижна. Её положение постоянно меняется в зависимости от изменения баланса массы ледникового щита, температуры льда, колебаний уровня Мирового океана и т.д. С физической точки зрения, фундаментальная разница между шельфо-вым ледником и ледниковым щитом заключается в том, что шельфовый ледник находится в гидростатическом равновесии с водами океана. Линия налегания служит резкой границей между этими двумя областями, так как динамика льда в континентальной и шельфовой зонах качественно различна [22]. Во внутриконтинентальной области течение льда определяется в основном тангенциальными напряжениями в вертикальной плоскости, роль же продольных и трансверсальных напряжений (тангенциальные напряжения в горизонтальной плоскости) мала, за исключением районов ледоразделов, а также участков со слож-
ным рельефом ложа и окраин ледниковых щитов [11]. Если нижняя граница континентального ледникового щита находится ниже уровня моря, то его относят к морскому типу. Так, ниже уровня моря расположена нижняя граница Западно-Антарктического ледникового щита. Считается, что участки морского ледникового щита могут находиться в неустойчивом равновесии, если высота подстилающей поверхности увеличивается в направлении океана [1].
Согласно недавним наблюдениям, объём Западно-Антарктического ледникового щита сокращается (исчерпывающий обзор приведён в работе [7]). В частности, на протяжении последних лет для ледника Пайн-Айленд отмечаются практически постоянное ускорение течения и сокращение толщины. Последнее обусловлено отступанием линии налегания в глубь покровного оледенения на 30 км начиная с 1970-х годов.
Устойчивость или неустойчивость морского ледникового щита обусловлена динамикой линии налегания. В настоящее время физические меха-
низмы, вызывающие перемещение (миграцию) линии налегания, известны недостаточно хорошо и даже на качественном уровне понятны не в полной мере [10]. Именно поэтому воспроизведение в численных экспериментах процесса миграции линии налегания до недавних пор было неудовлетворительным. Однако в последние годы наметился прогресс в этом направлении. Интерес к проблеме устойчивости Западно-Антракти-ческого ледникового щита не случаен. Увеличение приземной температуры воздуха оказывает незначительное влияние на современное покровное оледенение Антарктиды. В то же время шельфо-вые ледники, непосредственно контактирующие с водами Мирового океана, способны достаточно быстро реагировать на потепление вод в Южном океане. Текущее потепление климата (вне зависимости от его природы) ведёт к повышению температуры вод океана, что служит причиной ускорения таяния шельфовых ледников [21]. Механическое разрушение потенциально неустойчивого Западно-Антарктического ледникового щита в результате таяния или отступания фронта составляющих его отдельных шельфовых ледников вызвало бы значительное повышение уровня моря. Не исключено, что подобное случалось в предыдущих межледниковьях [14, 19].
Первые попытки объяснить закономерности миграции линии налегания были сделаны около сорока лет назад. Первоначально считалось, что расход массы через линию налегания растёт пропорционально изменению толщины льда [23, 24]. Р. Хайндмарш предположил, что шельфовые ледники ограниченно влияют на динамику покровных ледников и что миграция линии налегания обусловлена потоком льда в континентальной области [9]. Им же предложена концепция нейтрального равновесия, в рамках которой незначительные отклонения положения линии налегания не в состоянии ни усиливать неустойчивость и вызывать отступание ледников на склонах с обратным углом наклона, ни способствовать возвращению к изначальному положению в случае с наклоном в сторону океана. А.В. Вильчинский и В.А. Чугунов [25] показали, что для описания течения стационарного двумерного ледникового щита, имеющего постоянную вязкость, требуется введение дополнительного соотношения между толщиной льда и потоком массы на линии налегания — игнорируемого ранее граничного условия для задачи Стефана. Характерная особенность процессов, описываемых в задаче Стефана, состоит в том,
что в них присутствуют неизвестные (неопределённые), заранее свободные границы между различными фазами (однородного вещества) или «многофазная зона» (в многокомпонентной среде) [2]. В теории К. Шуфа [20] такое граничное условие было сформулировано, что и послужило отправной точкой для последовавших вскоре многочисленных исследований, посвящённых изучению особенностей поведения линии налегания в одномерном случае [3, 4, 7, 17]. Шуф также вернулся к концепции нестабильности, разработанной в работах [23, 24], экспериментально подтвердив её состоятельность с помощью относительно простых математических моделей. Позже потенциальная нестабильность морского ледникового щита на склонах с обратным наклоном была подтверждена экспериментально другими авторами на аналогичных и более сложных моделях — [17 и обзор в работе 7].
Стратегическая задача, стоящая перед разработчиками математических моделей ледниковых щитов, — создание относительно простого и незатратного с вычислительной точки зрения алгоритма, способного описать миграцию линии налегания в комплексной трёхмерной модели ледникового щита. Как установлено экспериментально, граничное условие для потока массы на линии налегания, предложенное в исследовании [12], в принципе может быть использовано и для описания миграции линии налегания на плоскости [18, 19]. В недавнем тестировании математических моделей (в том числе и тех, которые используют концепцию Шуфа) исследовалась реакция линии налегания на изменение реологической характеристики льда в пределах, эквивалентных гляциально-межгляциальным колебаниям температуры [17], и на изменение параметра базального скольжения [18]. Цель настоящей работы — проверить, насколько хорошо работает модифицированная версия алгоритма для описания реакции линии налегания, предложенного в работе [19], в случаях циклических изменений скорости аккумуляции и уровня моря.
Описание модели
Рассмотрим квадратную область размером 4000 х 4000 км. Изотермический ледниковый щит покоится на ложе конической формы. Центр щита и вершина конуса находятся в центре области. Лёд считается вязкой несжимаемой неньютоновской жидкостью. Термомеханическое сопряжение задаётся законом Глена с показателем п = 3 [15] (степень в законе Глена, связывающем скорость деформации с напряжениями). Ледниковый щит
окружён шельфовым ледником. На границе плоскости шельфовый ледник граничит с океаном. Поскольку лёд изотермичен, источники и стоки тепла не рассматриваются и уравнение сохранения энергии исключается из системы уравнений, описывающих динамику системы ледниковый щит — шельфовый ледник (рис. 1).
Эволюция локальной толщины льда Н описывается уравнением
г)Н
(1)
д_ дх
д
ду
2ц Н
2т\Н
дх ду
^Эу + ЭИл . Эу Эх
АА
+ 2Эу
2 Эх
цН
цН
гд и + Эул ду Эх
Гди + ЭуЛ ду дх
„ Л/лЭУ
(3)
„.]/лЭ«
Эх
2т1Я
2 Эи ЭУ
V Эх Эу,
1/л Эя
1_Э_ + 2Эу
ЛЯ
Эм + ЭУ Эу Эх
У»
Vй-
и' -
'■""У *
(4)
Эз>
2лЯ
Эу + Эил . Э}> Эх
2 Эх
. Эм + ЭУ
Эу Эх
]/л Э5
Эу
где г(=
'Эи*2
чЭх,
/Ч \2
ду
\дУу
Эи Эу 1 Эх Эу 4
гди Эу*2 Эу Эх
(1-л)/2л
- эффек-
Физические константы в уравнениях модели и параметры пространственной сетки
э*
где М^ — баланс массы на поверхности щита, равный пространственно-однородной скорости аккумуляции (снегонакопления) А, величина А определяется в каждом эксперименте; В — коэффициент диффузии (в англоязычной литературе В часто носит название «Шйштсйу»)
2) = -|¥|я/Уя, (2)
где ^ — высота поверхности ледника, V — осреднён-ная по вертикали скорость течения.
Её компоненты на шельфовом леднике определяются следующей системой уравнений [13]:
Символ Константа/параметр Значение Единица измерения
Р,- Плотность льда 910 кг м-3
Плотность морской воды 1028 кг м-3
аа Реологический параметр льда 110-19 Па-3 год-1
Ав1 Коэффициент трения 110-9 Н-3 м8 год-1
г Ускорение свободного падения 9,81 м с-2
т Показатель степени в формуле (8) 1/3 —
п 3
N Общее число узлов в пространственной сетке по каждой оси 201
Ах, Ду Шаг пространственной сетки 2-104 м
а в области покровного оледенения сходной системой уравнений [6] —
Для расчёта миграции линии налегания необходимо задать два условия на границе раздела ледниковый щит/шельфовый ледник. Первое граничное условие относится к толщине льда на линии налегания и непосредственно следует из того очевидного факта, что на линии налегания тол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.