научная статья по теме ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Математика

Текст научной статьи на тему «ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 2, 2015

УДК 532.5

© 2015 г. С. Г. Артышев

ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Для плоского течения несжимаемой жидкости без привлечения сведений о симметрии и групповых методов получен точный класс решений уравнений Навье—Стокса с использованием известных свойств цилиндрических функций.

1. Введение. Плоское течение вязкой несжимаемой жидкости в полярной системе координат (г, О) описывается следующим уравнением для функции тока [1]:

дДу + 1 дудДу_ 1 дудДу = уД 2у Д = ^ +1А + X Л^ (1 П

дг г дЗ дг г дг дЗ ' дг2 г дг г2 дЗ2 ( .

где V — кинематическая вязкость.

Из-за нелинейности уравнения известно лишь небольшое число его точных решений, большинство из них приведено в монографиях [2, 3] и др., а из сравнительно недавних работ упомянем статьи [4, 5]. С вращающимися потоками жидкости связана работа многих технических устройств и объяснение ряда важных физических явлений, например, в геофизике [6].

Ниже предлагается простой способ нахождения точных решений без использования групповых методов, но с широким привлечением известных свойств цилиндрических функций.

2. Особый класс точных решений. Укажем один класс точных решений уравнения (1.1). Теорема. Если функция /(г, О, г) подчиняется системе уравнений

А/ = ±к2/, д/ + = ±у к2 / (2.1)

дг v '

где к и ю — произвольные постоянные, то функция тока

у(г, О, г) = -Ю г2 /2 + / (г, О, г) (2.2)

удовлетворяет уравнению (1.1).

Доказательство проводится прямым вычислением. Сначала вычисляем левую часть

уравнения (1.1), которая оказывается равной V к4/. Затем представим V к4 = у(±к 2)(±к2) и в силу первого уравнения системы (2.1) будем иметь

ук4 / = у(±к 2)Л/ = уЛ(Л/ ) = уД(Л(у + юг2 /2)) = уД(Лу + 2ю) = уЛ2 у

что и требовалось.

Поле скоростей имеет вид

П. = 1 /, ^ =® г-/ (2.3)

г дЗ дг

и соответствует обычному вращению жидкости с постоянной угловой скоростью ш вокруг начала координат, на которое наложено поле скоростей

* = 11*' -I'• <2.4)

В силу линейности уравнений (2.1) имеем следствие: если функции /1(г, Э, 1) и /2(7", 1) удовлетворяют системе уравнений (2.1), то функция

й(гД О = /ДО + /гЛ1)

где а и ^2 — произвольные постоянные, также удовлетворяет системе уравнений (2.1)

и у (г 1) = -га г /2 + Н(г, 1) — другое решение уравнения (1.1).

Таким образом, получаем один из способов размножения решений в рассматриваемом классе.

Укажем некоторые решения. Методом характеристик легко установить, что второе уравнение системы (2.1) позволяет представить искомую функцию в виде

/(г, 9,1) = е±хк\(г, 9 - юг) (2.5)

где g(г,ф) — произвольная функция двух переменных, ф = 0-ю Г. Подставляя выражение (2.5) в первое уравнение системы (2.1), будем иметь равенство

^ = ±к2 g (2.6)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением решений во всей плоскости, поэтому функция g(г, ф) должна иметь по второму аргументу период 2п. Ищем решения в виде

g (г ,ф) = К(г )Ф(ф)

и получаем систему уравнений

г2 Я" + гК - (п2 ± к2г2)Я = 0, Ф'' + п2Ф = 0, п = 0,1,2,... (2.7)

В случае нижнего знака в выражениях (2.5)—(2.7) имеем следующую последовательность решений:

/о(г, 3,1) = е''[(Л • (3 - и 1) + ао)/о(кг) + (Во • (3 - и 1) + РоЩкг)]

(2.8)

/п(г, 3,1) = е Ук *[Лп б1п(п(3 - и 1) + ап)/„(кг) + Вп б1п(п(3 - и 1) + вп)Уп(кг)]

где Ап,Вп, ап,вп — произвольные постоянные, п = 1,2,... . В случае верхнего знака в выражениях (2.5)—(2.7) имеем другую последовательность решений, отличающуюся от (2.8) заменой V на -V, а функции Бесселя 1п(кг) и Уп(кг) п -го порядка первого и второго рода заменяются на соответствующие модифицированные функции Бесселя 1п(кг) и Кп(кг). Из требования 2п-периодичности по углу 9 следует, что в равенствах (2.8) надо положить Ао = Во = о. Согласно указанному выше следствию из теоремы функция тока

ад

у(г, 3,1) = -юг2/2 + 5; 5 = X /п(г, з, 0 (2.9)

п=о

будет решением уравнения (1.1). Если в правой части этого решения отбросить первое слагаемое, то оставшаяся сумма будет определять векторное поле в подвижной системе координат, вращающейся с угловой скоростью ю.

10

n = 2

n = 3

4 % - - ^ «• - " ✓ ✓ S S *-*////✓-«> - . . \ \ \ \ \ . ' • ' - s \ \ \ s -f f - sSWS-K' t//-f ; / \ \ - *-. N s » • 1 i t * V \ \ t » - * \ 1 4 \ \ t / / - H N \ 1 \\\ ' r t t t . % \ \ \

Г T \ > * W \ \ * hi^'u// I \ 1 W*»«*/ / / / / t \ \ к - ✓ / I \ \ » t \ % . « \ \ \ * S \\^ / / J - ^ V W-«- ✓ / 1 ✓ •"»•»/! ✓ - N \ \ \ N - * . # . t 1 1 1 1 • • ♦ ч-У////*-* / S s " - *

t / ' - * \ l 4 / > ' ' - 4 \ \ \ N•И f • • / / I f \ 1 - J I N^ Ч / / V - - V \ \ 1 1 ♦ 4 \ * / / ^ - 4 N / ✓ -^N / / / / - * N —/ / M t . . \ / M \ \ * ' 4 - ' t ' • • \

\\•• \ t / - H'tí f v, n - / f f * / f f / — i Ч ч . f t 1 4 \ . • * ✓ ✓ S*'*^*-*-- i / / * i * \ 1 J / / . . / \H * * ' / \ \ 4 ** ^ / \ \ \ \ / , / 1 1 1 ч - V ^ V

-10

10 -10

10

Фиг. 1

0

0

0

Далее покажем, как при определенных условиях можно просуммировать этот ряд. Каждое его слагаемое или какая-нибудь их конечная сумма могут представлять самостоятельный интерес.

В качестве примера проиллюстрируем ячеистую структуру поля скоростей, определяемого функцией тока

2) = Аек 2 - ю2))/п(кг)

в подвижной системе координат при

А = 1, у = 0.01, к = 0.5, ш = 1, 2 = 1

для п = 2 (левая часть фиг. 1) и п = 3 (правая часть фиг. 1).

3. Соотношения Якоби. Укажем способ, который позволяет при определенных условиях просуммировать ряд (2.9). Напомним, что

Ф(г) = exp

.2 (< -1

x Е IR, z е С

является производящей функцией для функций Бесселя Jn(x), n g Z. Ряд Лорана

да

ф^) = Е Jn(x)zn (3.1)

п=-да

сходится на всей комплексной плоскости, за исключением точки г = 0. Из многих свойств функций Бесселя, которые непосредственно следуют из разложения (3.1), выделим только те, что были открыты Якоби и носят его имя [7]. Если положить z = е*ф, то разложение (3.1) заменится на равенство, из которого при учете очевидных тождеств J-n(x) = (-l)nJn(x), следуют соотношения Якоби

да

cos(x sin ф) = Jo(x) + 2^ J2n(x) cos 2пф (3.2)

n=1

да

sin(x sin ф) = 2^ J2n_1(x) sin(2n - 1)ф (3.3)

n=1

10

t = 2.36

t = 3.93

✓ / ' ' / ✓ / / ✓ ✓ / / / / * * ' ' / / • / / ' / ' / / • / / > ' / S .//> '// • ' ' ✓ / ' ' ' ' / ' ' / / ' ✓ ' ' ✓ ✓ ✓ / ' ' / '////<'/* / - S / < ' / / • / //<*////< </////>'*

' * / * ' / / ' s / ' > / S / S г < / > / / - ' /V ' // • '♦//'<//•/ • / / ' ' / / - f J ' / ' < / S / / ' * * , *✓ . * * <//'/'>// / f / ' > / s < >'/'*//// /•/'>//- / /' S ' > / / / / ' < ' ' / / / / ' ' / ' / S s / ' ' / * / * s * , * * s

\ \ • \ \ ^ \ ч ^ * • \\ * N\ 4 >• * W * N \\ ч N\\ . \\ ч \\*\\\*\ Л • \\ * Л\ -V\N • \\ - As N \\ ♦ \N N N * \N ^ \\ • N N\N ^ \\ - N\4 ч \\ • \ * \\N * \\ • N \\ » N\N N \\ - \\ • N\N *

\\ * 4 4\N V\\ > \\ -N\\ • \\ • \\ 4 N\N » • \\ * N\ 4 ^ • W ^ N ЧКччЧч.КЧ \\ ч \\ . ч * \\4 * \\ . \s \\.\\\ч\\ N ^ \\ * W N * \N - \\ \\4 N N\N-\N'W>

-10

10 -10

10

0

0

0

Фиг. 2

При замене в них ф на ф + п / 2 получим еще два соотношения Якоби

да

cos(x cos ф) = J0(x) + 2^ (-1)nJ2n(х)ео8 2пф (3.4)

n=1

да

sin(x cos ф) = 2^ (- 1)n+1 J2n-1(x)cos(2n - 1)ф (3.5)

n=1

В выписанных тождествах Якоби положим x = kr,ф = 0- шt и обратимся к формулам (2.8). В них в свою очередь положим

Ao = 0, а о = A, Bo = 0, в о = 0, а n = п/2 A2n = 2A, A2n-1 = 0, Bn = 0, n = 1,2,...

При этом A — произвольная постоянная.

В выражении для функции тока (2.9) возьмем слагаемые fn(r, t) указанным образом, тогда соотношение Якоби (3.2) приведет к решению уравнения (1.1) в виде

y(r, S, t) = -©r2/2 + Ae-vk2t sin(kr sin(S - ©t + 8) + S0) (3.6)

где S = 0, $0 = n/2.

Аналогичным образом из соотношений Якоби (3.3), (3.4), (3.5) и формул (2.8), получим другие решения уравнения (1.1), выражаемые формулой (3.6), в которой (S,S0) = (0,0), (п/2,п/2) и (п/2,0) соответственно.

Поле скоростей, определяемое функцией тока (3.6), обладает в подвижной системе координат следующим свойством: в любой фиксированный момент времени все векторы скорости параллельны. Фиг. 2 иллюстрирует это свойство, на ней изображено поле скоростей в подвижной системе координат при

A = 2, v = 0. 1, k = 3, © = 1, 8 = 1.57, S 0 = 0

в моменты времени t = 2. 36 (слева) и t = 3.93 (справа). Времена подобраны так, чтобы за промежуток времени At = 3.93 - 2.36 осуществился поворот векторов поля на угол ©At « п/2. Имея благодаря фиг. 2 подсказку, строго доказать сформулированное выше

свойство легко. Для этого надо в каждой точке (r, 9) базисные векторы (er, es) из равенства (2.4) представить как

er = cos & ex + sin&ey, es = - sin&ex + cos & ey

Тогда получим другую запись этого равенства

V(r,9,t) = kAe v cos(krsin(9-at + 8) + 90)[cos((ot -8)ex + sin(©x-S)ey]

которая доказывает параллельность всех векторов скорости в фиксированный момент времени t.

Заменив x на ix, придем к модифицированным функциям Бесселя In(x) = (-i)nJn(ix). Соотношения Якоби (3.2) и (3.3) изменятся соответственно. Замена в них ф на п/2 - ф дает еще два соотношения Якоби. Как и выше, положим x = kr, ф = 0- ю t, а также внесем изменения в формулы (2.8):

V ^ -V, Jn ^ In, Yn ^ Kn

Подбирая в правой части измененных формул (2.8) нужные коэффициенты, добьемся того, чтобы сумма S в правой части общего решения (2.9) с точностью до множителя совпадала с правой частью одного из соотношений Якоби с модифицированными функциями Бесселя. Опуская очевидные подробности, запишем полученные таким образом другие решения уравнения (1.1)

^(r, 9, t) = -юr2/2 + Aevk tch%, - юr2/2 + Aevk tsh%, - юr2/2 + Aevk t(3.7)

где x = kr sin(9 - ю t + 5), а A, k, 8, ю — произвольные постоянные.

Заметим, что в силу следствия к теореме, любое из трех решений (3.7) может быть получено из двух других.

4. Теоремы сложения. Другую возможность просуммировать ряд S в правой части равенства (2.9) дают теоремы сложения для цилиндрических функций. Иногда их называют теоремами сложения и умножения, они часто применяются в задачах небесной механики [7]. Ограничимся лишь одним ее вариантом [8, 9]

ад

Z0 (VR2 + r2 - 2Rrcos9) = Z0 (R)J0 (r) + 2^ Zn (R)Jn (r)cosn9 (4.1)

n=1

где Zn(R)

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком