МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2014
УДК 533.15: 536.25
© 2014 г. М. К. АСЕМБАЕВА, В. МУКАМЕДЕНКЫЗЫ, А. Т. НЫСАНБАЕВА, И. В. ПОЯРКОВ,
О. В. ФЕДОРЕНКО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦЫ МОЛЕКУЛЯРНОГО МАССОПЕРЕНОСА ДЛЯ ПЛОСКОГО ВЕРТИКАЛЬНОГО КАНАЛА С МАССОНЕПРОНИЦАЕМЫМИ
СТЕНКАМИ
Численно определена граница молекулярного массопереноса в изотермической трехкомпо-нентной газовой системе для плоского вертикального диффузионного канала с массонепрони-цаемыми стенками. Определено критическое число Рэлея смены режима "диффузия-конвекция" для щелевого канала. Показано, что теоретические исследования, проведенные в рамках линейной теории устойчивости, согласуются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: диффузия, конвекция, диффузионная неустойчивость, линейная теория устойчивости, числа Рэлея.
При исследовании массопереноса в многокомпонентных газовых системах необходимо знать, какой тип смешения в ней осуществляется — диффузионный или конвективный. В связи с этим одна из задач, решаемых при изучении смешения, — определение границы перехода системы из устойчивого состояния, характерного при диффузии, в неустойчивое, свойственное конвекции. Смена режима возникает из-за образования стратифицированных по плотности областей в диффузионном канале [1]. Установить это возможно либо через эксперимент, либо с помощью расчета. Однако учитывая сложности и большие материальные затраты при использовании экспериментальных методов, был предложен ряд расчетных методик, позволяющих получить необходимую информацию, не прибегая к эксперименту [1, 2].
1. Постановка задачи. Макроскопическое движение идеальной тройной газовой смеси описывается общей системой уравнений гидродинамики, которая включает в себя уравнения Навье—Стокса, сохранения числа частиц смеси и компонентов, и уравнение состояния [1, 3]
Р
.1 * <")■
= -Vp + nV 2u + + ^j V div u + pg
^ + div (от) = 0, ^ + vVct = -divj,, i = (1,2) (.1)
ji = -A*iVCi + А*2УС2^ j2 = -D*lVCi + D2VC2) p = p (c1, c2, p), T = const
u = P1U1 + P2U 2 + P3U3 v = niu 1 + n2u 2 + n3u 3
p n
где u, v — среднемассовая и среднечисловая скорость тройной смеси соответственно; р — плотность; p — давление; g — ускорение силы тяжести; п и Е, — коэффициент сдвиговой и объемной вязкости; ji, ci — плотность диффузионного потока и концентрации
Ь
2г
г
у
х
Фиг. 1. Плоский вертикальный канал
г-го компонента; Б* — практические коэффициенты диффузии (г,у е {1, 2}), определяемые через коэффициенты взаимной диффузии Вц (г,у е {1, 2, 3}) соотношениями
п* Б13 [С1Б32 + (с2 + сз) Рц]
Бц —-,
11 Б
* Б23 [С2А3 + (С1 + Сз) Б12]
Б22 —-,
22 Б
Б = С1Б23 + С2Б13 + С3Б12
* С1Б23 (Б12 - Б13)
Б12 —--
12 Б
* С2Б13 (Б12 - Б23) б21 ---
Б
Решение системы уравнений (1.1) ищем для плоского вертикального канала, схема которого приведена на фиг. 1.
Для упрощения задачи рассмотрим щелевой канал, в котором длина Ь вдоль оси г много больше поперечного размера 2г. Сила р g действует только вдоль вертикальной оси г.
Ранее в работе [1] было найдено решение системы (1.1) при обращении в нуль скорости на поверхности полости и возмущения концентрации на границе в виде
(сьс2,и} = {с0,с0,и0}(п + 1)пх ехр
х = ± 1: и = 0, с: = 0
(1.2)
где п и X — мода и декремент возмущения, индекс "0" соответствует начальным условиям.
В реальных устройствах ограничивающие поверхности массонепроницаемые.
В настоящей работе система уравнений (1.1) решена для изотермического случая при граничных условиях, предполагающих исчезновение скорости и отсутствие переноса веществ через вертикальные плоскости, ограничивающие слой газовой смеси
х = ± 1: и = 0,
д с1
= 0,
дс2
= 0
(1.3)
дх дх
Граничные условия (1.3) более корректно отражают экспериментальное изучение смены режима смешения.
Фиг. 2. Области диффузионного (I) и конвективного (II) смешения для системы 0.21 С3Н8 + 0.79 СО2 — К20: линии — граница устойчивости, рассчитанная в настоящей работе (1) и в [2] (2), и Ур = 0 (3); точки — опытные данные для диффузии (4), конвекции (5-10); р = 0.2 (4), 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.9 МПа (5-10)
2. Результаты. Решения краевой задачи (1.1), (1.3) выражаются в следующем виде:
u _ shyx sin ух c _ K ishYx + sin yx ' shy sin y' ' y4 I shy sin y
Y4 = адтп + K 2R2
(Ax - A2t12 ) _ ( A2T11 - A1T21 ) „ _ D*
1 A1 (T11 — T12T21), 2 A2 (t11 — T12T21), ,У D
*
где Ту — параметры, определяющие соотношение между практическими коэффициентами диффузии, А^ — концентрация ;-го компонента, Я, = gв1A¡d4/vDfi — парциальное диффузионное число Рэлея. Декремент возмущений у, определяемый через парциальные числа Рэлея Д и Я2, можно определить из следующего уравнения:
сЛу = -^у (2.1)
Переход от диффузии к конвекции характеризуется критическим числом Рэлея, которое находится из уравнения (2.1). Для щелевого канала Я1 = 31.29.
В этом случае граничная линия устойчивости на плоскости чисел Рэлея имеет вид
/ А \ /
Т11
1 - A2 Т12 IR + A1
A2
T11 - AlT21 IR2 = Y4 (11 -T12T21) (2.2)
На линии, определяемой (2.2), происходит срыв диффузионного процесса и возникновение конвективного течения (например, двух токов, идущих по половинкам канала).
В частности, для системы 0.21 С3Н8 + 0.79 СО2 — М20 (концентрации даны в мольных долях) это уравнение дает на плоскости чисел Рэлея прямую (фиг. 2, линия 1), разделяющую ее на область диффузии — I (возмущения затухают) и неустойчивости
механического равновесия — II (возмущения нарастают). Критическое парциальное число Рэлея составляет Я1 = 31.12 (при Я2 = 0), что близко к теоретически найденному значению.
На плоскости (Д, также можно определить положение линии, все точки которой отражают состояние равновесия смеси с равным нулю градиентом суммарной плотности (фиг. 2, линия 3)
тпД =-я2
Эта линия разделяет плоскость чисел Рэлея на две области: зону, расположенную выше нее (градиент плотности положителен), и ниже — градиент плотности отрицателен. Отрицательность градиента плотности показывает, что газовая смесь большей плотности располагается под смесью с меньшей суммарной плотностью, что в поле силы тяжести соответствует устойчивому, т.е. диффузионному процессу смешения.
Для подтверждения этих расчетов были использованы экспериментальные результаты, полученные двухколбовым методом [4, 5]. В опыте колбы соединялись диффузионным каналом в виде плоской щели, имеющей размеры (0.17 х 0.05 х 0.003) • • 10-4 м3. Эксперименты показали, что при давлении р = 0.25 МПа для системы 0.21 С3Н8 + 0.79 СО2 — М20 в диффузионном канале происходит смена режима смешения: ниже этого давления наблюдается диффузия, выше — конвекция.
Результаты экспериментальных исследований можно отобразить на плоскости чисел Рэлея, используя следующие формулы:
2 2 2 2
„ gna Ь (т - т3) Дс! „ gna Ь (т2 - т3) Дс2
----, Л2 _---
pvAÍ ь ру£*2 Ь
где а и Ь — толщина и ширина канала; — масса молекулы ;-го сорта (для расчетов мы предполагали, что индекс I = 1, 2, 3 нумерует компоненты смеси: 1 — М20, 2 — С02, 3 —
С3Н8).
Сравнение результатов эксперимента с проведенными численными расчетами отражено на фиг. 2. Видно, что точка 5, соответствующая давлению р = 0.3 МПа, лежит на линии устойчивости (1), рассчитанной при условии массонепроницаемо-сти ограничивающих поверхностей. Точки, соответствующие более высокому давлению, т.е. точки 6—10, находятся в области неустойчивости. Точка 4, рассчитанная для давления меньшего р = 0.3 МПа, лежит в области устойчивого массопере-носа, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Также на фиг. 2 приведена линия устойчивости 2, полученная при граничных условиях (1.2), согласно которой смена режима смешения должна происходить при давлениир > 0.5 МПа, более чем в два раза превышающее опытные результаты.
Заключение. Предложена математическая модель описания смены режима "диффузия—конвекция", учитывающая размеры диффузионного канала с массонепроницае-мыми стенками, адекватно описывающая экспериментальные данные при монотонных возмущениях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Косов В.Н., Селезнев В.Д., Жаврин Ю.И. О диффузионной неустойчивости в изотермических трехкомпонентных газовых смесях // Теплофизика и аэромеханика. 2000. Т. 7. № 1. С. 127— 135.
2. Жаврин Ю.И., Косое Н.Д., Новосад З.И. Описание нестационарной диффузии в многокомпонентных газовых смесях методом эффективных коэффициентов диффузии // Ж. физ. химии. 1975. Т. 49. № 3. С. 706-709.
3. Akylbekova G.A., Kossov V.N., Poyarkov I.V., Zhavrin Yu.I. Diffusion in isothermal ternary gas mixtures // 5th European Thermal-Sciences Conf. Eindhoven, Netherlands, 2008.
4. Жаврин Ю.И., Мукамеденкызы В., Поярков И.В. Диффузионное и конвективное смешение бинарной смеси пропана и двуокиси углерода с чистой закисью азота // Ж. техн. физики. 2007. Т. 77. № 7. С. 127-129.
5. Жаврин Ю.И., Молдабекова М.С., Поярков И.В., Мукамеденкызы В. Экспериментальное исследование диффузионной неустойчивости в трехкомпонентной газовой смеси при нулевом градиенте плотности // Письма в ИЖТФ. 2011. Т. 37. № 15. С. 62-68.
Алматы Москва
Поступила в редакцию 5.XI.2012
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.