ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 9, с. 86-94
УДК 550.837.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦЫ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНО-СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДАМИ ГЕОЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ
© 2004 г. В. Н. Кризский1, |В. Т. Иванов)2, И. А. Герасимов1, С. В. Викторов1
1Стерлитамакская государственная педагогическая академия 2Башкирский государственный университет, г. Уфа Поступила в редакцию 26.09.2002 г.
Рассматривается задача определения границы тела вращения в кусочно-однородной горизонтально-слоистой среде по данным геоэлектроразведки постоянным электрическим током. Вектор параметров описания образующей поверхности (в том числе аппроксимирующего кубического сплайна) ищется как экстремаль функционала А.Н. Тихонова. Решение прямой задачи осуществляется комбинированным методом интегральных преобразований и интегральных уравнений.
Ключевые слова: геоэлектроразведка, кусочно-однородная среда, тело вращения, поиск границы, сплайн-аппроксимация образующей, некорректная задача.
1. ВВЕДЕНИЕ
Актуальной задачей при изучении внутреннего строения Земли является задача поиска месторождений полезных ископаемых и оценки мощности запасов по выявленным контурам границ для обоснования экономической рентабельности разработки. Вместе с тем требуют переоценки уже разведанные запасы с учетом произведенной выработки с уточнением контуров залежей при более полном опоисковании продуктивных зон. В электроразведке проникающим в глубь Земли "инструментом" служит искусственно возбуждаемое электрическое поле, обладающее при малых частотах большой проникающей способностью. Искажаясь имеющимися неоднородностями, поле становится носителем информации об электромагнитных параметрах среды в зоне исследования, по которым можно судить о литологическом составе, петрофизических свойствах пород земных недр.
Конечной целью методов исследований является решение обратной задачи, т.е. интерпретация полевых экспериментальных данных, с целью восстановления структуры района. Академиками А.Н. Тихоновым [Тихонов, Арсенин, 1986] и М.М. Лаврентьевым [Лаврентьев и др., 1980], а также учениками их школ разработаны теория решения подобных задач на основе выделения условно-корректного множества и метода регуляризации.
С некоторой степенью достоверности локальные включения могут быть аппроксимированы телами вращения. Геофизические поля тел сфероидальной формы в однородных пространствах достаточно полно изучены в работе [Комаров и
др., 1998]. Теоретические обратные задачи постоянного тока (при отсутствии погрешности в измеренных данных) в однородной среде в параметрическом классе границ рассмотрены П.С. Мар-тышко [Мартышко, 1986]. Для трехмерных задач получено решение теоретических обратных задач в однородной среде с явно заданным интегро-дифференциальным оператором [Мартышко, 1996]. Решение осуществляется в классе "звездных тел", но лишь для тел в однородном пространстве. Для двумерного случая производится решение обратной задачи методом квазиэквивалентного эллипсоида.
В настоящей работе дается решение прямых и обратных задач при наличии произвольного тела вращения в плоско-параллельном горизонтально-слоистом полупространстве.
2. ПОСТАНОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ, КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ
Пусть в п-слойном полупространстве О, состоящем из горизонтальных слоев О1, О2, ..., Оп с удельными электрическими проводимостями ст1, а2, ..., сп, в слое с номером к находится включение типа тела вращения О0 с удельной электрической проводимостью а0 (рис. 1).
В декартовой системе координат с осью г, являющейся осью вращения, потенциальное поле точечного источника постоянного тока интенсивности I, возбуждаемое в точке (х0, 0, г0) слоя , оь описывается следующей краевой задачей для
уравнения эллиптического типа: Aм,(P) = 0, P(x, y, z)eQ¡, i = 0, n; i Ф l;
Амг( P) = 5( x - xo )8( y)8( z - zo), Ci
P(x, y, z) e Qi;
0
d u1 "d!
= 0;
(1)
(2)
z = 0
д u,
ui\z = z¡ = ui + 1 lz = z; — dz
= a
dui + i
z = zi
uo\s = ut|s;
i = 1, n - 1; du0
'д n
i + 1"
д uk
k 3ñ
д z
Zi (3)
(4)
u¡ —»- 0, Jx2 + y2 —»■ ^, i =1, n - 1;
n /"1 2 2 un—- 0, л/x + y + z —►
Здесь S - граница тела Q0, плоскость z = z¡ - ни
P(r, ф, z) e Q,, i = 0, n; i * i;
Lu¿ P) = --— 8( r - r о )8(ф)8( z - z o), r0 al
P(r, ф, z) e Qi;
(6)
д u1 "d!
= 0;
z=0
эй, дф
= 0; z > 0, r > 0, i = 0, n;
ф = 0, п
д u,
ui I z = z¡ = ui + 1 lz = z, ; ai Íz
= a
dui+1
z = z,
u0 S = ui S;
i = 1, n - 1; _ д u0
0dn
i+1"
duk
k эП
д z
(7)
(8)
z, , (9) (10)
\\\44\\44\\\44\\\44\\44\\\VÍ< У Qi, —i
A(Xo, У0, zo) Q —
^ a0 Qk, —k
z Qm —
Рис. 1. Тело вращения в горизонтально-слоистой среде.
, фе [0,п];
u¡ —► 0, r un —— 0, a/Í
2 2 r + z
(11)
фе [0, п],
где условие (8) есть условие симметрии поля от-(5) носительно полуплоскостей ф = 0 и ф = п.
Применим к задаче (6)-(11) косинус-преобразование Фурье по азимутальной координате ф:
жняя граница слоя Q¡ (i = 1, n - 1), A - оператор Лапласа, 8 - функция Дирака, n - единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Применим к задаче (1)-(5) комбинированный метод решения, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Перейдем к цилиндрической системе координат (r, ф, z) с осью Oz, совпадающей с осью вращения включения с плоскостью ф = 0, содержащей источник тока. Получим:
т (т_д2м>' 1 Эм>' 1 п
Lu¡ (P) = —+ --э— + -2—2 + —2 = 0, Эr r Эr r Эф Эz
um (r, z) = J u (r, ф, z) cos m фйф.
0
Получим представление решения задачи в виде: u(r, ф, z) = п-1 2- 8m)um(r, z) cosmф, (12)
'0, i *j
=0
где 8m - символ Кронекера 8, =
1, i = j
Умножим (6)-(11) на ео8(шф) и проинтегрируем по ф от 0 до п, получим однопараметрическое семейство (по параметру т = 0, 1, ...) двумерных задач относительно коэффициентов Фурье ит(г, г) разложения искомой функции и(г, ф, г) в ряд (12):
L u, =
Э2 m m -ч2 m 2
u, 1 du, д u, mm
д/ + r дr + dz2 r2 u' 0,
P (r, z) e Q i, i = 0, n; i * i;
L ui = - Г-^— 8( r - r0 )8( z - z 0), 2 r0—l
(13)
P (r, z) e Q1; = 0;
д ux lz
(14)
ui |z = z, = ui + 1 |z = z,
=z,;
z=0
m д u i
dz
= —
m
dui+1
i +1"
z = z¡
dz
z = z¡
(15)
i = 1, n - 1;
X
S
S
п
m
m
S
т
ml mI д u0
U0 = Uk |s; a0'
д n
д uk-
= ak —
k д n
0, r —»- ^, i = 1, n - 1;
0, J~r2 + z2
КРИЗСКИИ и др. (16)
(17)
wm (P0) = wm (P0)+1 A P0), wm (P0) = wm( P0) -1 vm (P0),
где
We (P0), Wi (P0) и Wm (P0) соответственно
~ внешнее, внутреннее и граничное значение по-
В (13)-(17) S - сечение п°верхн°сти S плоско- тенциала. Воспользовавшись формулами разры-
стью ф = const - образующая тела врaщения, n - Ва (23), а также условием непрерывности потен-
вектор внешней нормали к S, Qi (i = 0, n) - азиму- циала um(r, s) на S (первое условие (16)), получим
тальное сечение области Q. Решение задачи интегральное уравнение Фредгольма второго ро-
(13)-(17) будем искать в виде [Иванов В.Т. и др., да относительно неизвестной плотности двойного
1986; Иванов, Кризский, 1993]: слоя q) (m = 0, 1, 2, ...): um(P) = Wm(P) + vm(P), P(r, z) £ ¿¿0;
U0m(P) = с(Wm(P) + Vm(P)), P(r, z) e ¿¿0,
(18)
с некоторой константой с,
Wm (P) = JV (Q) rQ ЩШ d~S q;
q
Vm(P) = Gm(P, A); 2ol
ц%Р)-2^т(0г0д°ЛПрМ &ё = =(Р, А),
J дп ^ и о,
^ = оо - ок оо + ок
Функция точечного источника 0т( Р, 0) - решение задачи (19)-(22) - представима в интегральном виде Ханкеля-Вебера:
G
Р(г, г), 0(г0, г)), А(го, го),
где цт( 0) - неизвестная плотность потенциала где двойного слоя на границе 5 тела, а функция точечного источника От( Р, 0) во вмещающем по- < лупространстве определяется следующей краевой задачей:
\r, z, rQ, Zq) = JGm(a, z, rQ, Zq)aJm(ar)da,
"(a, z, rQ, zq) = JGm(r, z, rQ, zq)rJm(ar)dr.
L Gm( P, Q) = 0, P (r, Z )eQ i, i = 1, n; i ф l; LGT(P, Q) = -f Hr - rQ)b(z - zq), (19)
P(r, z)e Qi;
д g:
д z
= 0;
(20)
Применим последнюю формулу к задаче (19)-(22), получим следующее семейство (по параметру а е [0, Н) одномерных краевых задач:
,2 ~ т _
а Ог 2 ~т А . ~л— . —2— а 01 =0, 1 =1, я; 1 Ф I;
аг ,2 ~ т
а О, 2 ~ т _ .
— - а ОI = -Зт(агй)Ъ(г - г)), г = /;
dz
Gi I Z = Zi = Gi +1 I Z = Zi; ®
z = 0
дGk
д z
= а
д gui
i +1
z = Zi
д z
д(}"
^Z
= 0;
i = 1, n - 1; Gm —>- 0, r —- ^, i =1, n - 1;
Gm —- 0, Jr
Z = Zi
(21) Qm\ — Qm I
V ' Gi I Z = Zi = Gi +1 I Z = Zi;
ar
z=0
дG 1
^z
= а
дС
i +1
i + г
Z = Zi
^Z
Z = Zi
0, Vr2 + z2
(22)
i = 1, n - 1;
Gm —- 0, z —»
Постоянный коэффициент с формулы (18) может к решению последней может быть применен, на-быть определен из второго равенства (16): с = ок/о0. пример, рекуррентный метод быстрого счета
[Филатов, Хогоев, 1987]. Сравнение аналитического решения иа для случая шара [Жданов, 1986], рыв, для которого имеют место формулы: Ро е 5 сжатого и вытянутого сфероидов [Халфин, 1956]
Потенциал двойного слоя Wm( P) претерпевает раз-
m
u
m
u
оо
n
0
0
Q
СО
25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25
25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25
(а)
5 = 0%
(б)
5 = 5%
(в)
5 = 10%
(г)
5 = 15%
-т*—I-1-1-1-1-1-1-г
-20 -10 0 10 20
-20 -10 0 10
20
х,
0
х
0
ц лц
Рис. 2. Зависимость погрешности т от величины ошибки в данных 5.
Т, %
20 15 10 4
в однородном пространстве и решения и, полученного по описанному выше алгоритму [Иванов, Кризский, 1993], показывает достаточную точность совпадения (относительная погрешность |иа - и |/иа х 100% не превышает 0.2%). Для задач электроразведки учет условия го = 0 - источник на "дневной" поверхности - осуществляется построением функции Грина От( Р, ))) горизонтально-слоистого полупространства [Филатов, Хогоев, 1987].
3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБРАЗУЮЩЕЙ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Будем искать поверхность тела 5 в параметрическом классе границ: 5 = 5(5(£, г), ф), г е [а, Ь],
ф е [0, 2п), где = (5, г) - его образующая, £ =
= |т; < s¡ < И,, I = 0, Ь } - конечномерный вектор ограниченных параметров. Определение границы 5 сведем к нахождению компонент вектора £ ,
входящего в описание образующей 5. В этом случае на конечном и ограниченном и, следовательно, компактном множестве векторов £ найдется квазирешение задачи [Иванов и др., 1978]. В частном случае может быть найден аппроксимирую
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.