ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1413-1422
УДК 519.65
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА И СТРУКТУРЫ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ МЕТОДОМ
РЕНТГЕНОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ1-*
© 2007 г. В. Г. Назаров
(690041 Владивосток, ул. Радио, 7, Ин-т прикл. матем. ДВО РАН) e-mail: naz@iam.dvo.ru Поступила в редакцию 02.05.2006 г.
Переработанный вариант 26.03.2007 г.
Рассматривается вопрос об определении химического состава неоднородного тела, состоящего из нескольких однородных частей, методом рентгеновской томографии. На первом этапе с помощью индикатора неоднородностей определяется внутренняя структура тела. Затем, используя полученную информацию, при некоторых дополнительных предположениях о свойствах частей предлагается метод частичного или полного определения химического состава каждой части тела. Математически задача сводится к решению уравнения переноса излучения и систем линейных алгебраических уравнений. На основе метода компьютерного моделирования выполнен ряд численных экспериментов. Результаты расчетов иллюстрируются серией графиков и томограмм. Библ. 11. Фиг. 3. Табл. 1.
Ключевые слова: уравнение переноса излучения, рентгеновская томография, численный метод решения задачи определения химического состава среды.
1. ВВЕДЕНИЕ
Определение химического состава вещества радиографическим методом является интересной задачей с точки зрения теории и, кроме того, имеет большую практическую значимость. Среди последних работ, посвященных этому вопросу, отметим [1], [2]. Существуют патенты, связанные с практической реализацией различных радиографических методов нахождения химического состава (см., например, [3], [4]). В данной работе рассматривается следующая
Задача. Определить внутреннюю структуру и химический состав неоднородного тела, состоящего из конечного числа однородных по составу частей и занимающего в [ ограниченную выпуклую область G, по результатам просвечивания этого тела рентгеновским излучением на диапазоне энергии [Еа, Ер].
Такая постановка задачи представляется оправданной в случаях, когда, например, речь идет о нахождении внутреннего устройства промышленного изделия, разборка которого на части невозможна.
Ввиду большого количества различных условий, которые ставятся при решении задачи (условия на гладкость границ частей тела, входящее излучение, структуру сечений тела плоскостями, химический состав частей), мы сочли целесообразным приводить эти условия по ходу изложения решения.
На первом этапе решения задачи кратко излагается способ нахождения границ неоднородностей с помощью индикатора неоднородностей. Подробное описание этого метода можно найти в [5, 6]. Основная часть работы посвящена второму этапу решения задачи - способу определения химического состава неоднородностей. При этом с учетом информации, полученной на первом этапе, посредством энергетического сканирования тела по конечному набору специально выбранных прямых производится определение химических элементов, входящих в состав каждой неоднородности, находятся их массовые доли и плотности материалов, составляющих неоднородности. Полученные теоретические результаты иллюстрируются описанием одного из проведенных численных экспериментов.
1) Работа выполнена при государственной поддержке научных исследований, проводимых ведущими научными школами РФ (грант НШ-9004.2006.1) и в рамках гранта № 06-П-СУ-01-001 конкурса интеграционных проектов ДВО РАН с научными учреждениями Сибирского и Уральского отделений РАН.
2. НАХОЖДЕНИЕ СТРУКТУРЫ ТЕЛА
В работах [5], [6] изучалась следующая задача рентгеновской томографии. Пусть неоднородная среда занимает некоторую ограниченную выпуклую область О в трехмерном пространстве, состоящую из конечного числа попарно непересекающихся подобластей, заполненных различными материалами, и подвергается рентгеновскому облучению. Считается, что энергия фотонов сравнительно невелика и процесс переноса излучения хорошо описывается следующим стационарным интегродифференциальным уравнением переноса (см. [5]):
ю-V,/(г, ю, Е) + |( г, Е) / (г, ю, Е) = 11 к (г, ю • ю', Е) / (г, ю', Е) Сю'+ J( г, ю, Е). (1)
а
Здесь г - точка трехмерного евклидова пространства К3 с ортонормированным базисом е1, е2, е3,
а = {ю е К3 : |ю| = 1}, ю, ю' е а, Е- энергия излучения,/(г, ю, Е) - плотность потока фотонов в точке г, движущихся в направлении ю и имеющих энергию Е, |(г, Е) - коэффициент полного взаимодействия фотонов с веществом, к(г, юю', Е) - индикатриса рассеяния, J(г, ю, Е) - плотность внутренних источников излучения. В записи ю • Vг и ю • ю' точка означает скалярное произведение векторов из К . При упругом рассеянии фотонов их энергия не меняется, поэтому переменная Е в этом управлении присутствует в качестве параметра. В дальнейшем для нас будет важна зависимость коэффициентов | и к от энергии, поэтому эта переменная в уравнении сохранена.
Функции |ж(г, Е) и |а(г, Е), определенные равенствами
|(г, Е) = 4^|к(г, ю • ю', Е)Сю', | = |(г, Е) - |(г, Е),
а
называются коэффициентом рассеяния и коэффициентом поглощения энергии соответственно.
Считаем, что на границах подобластей по крайней мере один из коэффициентов к, J уравнения (1) имеет разрыв I рода по пространственной переменной. Далее эти подобласти будем также называть неоднородностями. Задача состоит в нахождении границ подобластей (неодно-родностей) с помощью уравнения переноса при условии, что на границе области известна плотность выходящего из нее излучения И(ц, ю), п е дО, ю е а.
Для нахождения границ использовалась одна из версий индикатора неоднородностей (см. [6]).
3
Остановимся вкратце на сути метода. Пусть Р - подпространство в К , порожденное векторами еъ е2, пересечение В = О п Р не пусто и Вь ..., Вч - совокупность всех плоских областей в В, которые получаются при пересечении плоскости Р с неоднородностями из О, q > 2:
В = иВг, Во = ивг. Вг п В, = 0, г Фу, г, ] = 1, 2,..., q.
г =1 г =1
Пусть ах = а п Р, V2 = е1 д- + е2 д-, С(г, ю) - расстояние от точки г е В0 до дО в направлении ю.
дг1 дг2
Функция У(г, Е), определенная равенством
V(г, Е) =
V21/(г + С(г, ю)ю, ю, Е)Сю
а,
г е В0, юе а]5
(2)
называется индикатором неоднородностей. Заметим, что под интегралом в (2) стоит плотность выходящего из О излучения в точках г + С(г, ю)ю е Р п дО, а сам интеграл берется по направлениям, лежащим в Р. При выполнении некоторых естественных условий гладкости на коэффициенты уравнения (1) и границы неоднородностей функция У(г, Е) непрерывна по г (см. [6]).
Пусть г - точка контакта двух соседних областей В, и В,, 1 < г <у < q, г е В п дВ, п дВj, в точке г кривые дВ ,, дВ, являются гладкими, п(г) - нормаль к дВ, в точке г; тогда существует число 5 > 0 такое, что для г = г + Ш(г), 0 < М < 5, справедливо равенство
У(г, Е) = 2|М(г, Е)| |1п|г - г|| + Е(г, Е),
где M и F - некоторые ограниченные функции. Таким образом, наличие логарифмической особенности у функции V позволяет найти те точки множества dD0, в которых M(z, E) Ф 0 при данной энергии E.
В [5], [6] выводятся формулы для функции М. Ввиду громоздкости приводить их здесь мы не будем. Отметим лишь следующее. В случае когда внутренние источники излучения в среде отсутствуют и J = 0, а излучение fz, ю, E) близко к изотропному в точке z для энергии E, величина M(z, E) пропорциональна скачку I|a(z, E)J коэффициента поглощения в точке z е D n dDi n BDj, который, по определению, равен
I|а(z, E)J = lim (r, E) - lim (rE), r е Dl, r' е Dj.
r —^ z r] ' — z
Во многих случаях энергию E можно подобрать так, чтобы скачок [|a(z, E)J, а вместе с ним и функция M(z, E) были достаточно большими для того, чтобы можно было успешно найти множество dD0. Таким образом будет найдена часть структуры области G, лежащая в плоскости P. Используя набор различных секущих плоскостей можно найти границы всех искомых неодно-родностей в G.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА
Предлагаемый способ определения химического состава основан на том, что для различных химических элементов коэффициенты их полного взаимодействия имеют разрывы при различных значениях энергии E. Далее речь всегда будет идти о коэффициентах |(E) и |a(E), относящихся к однородным (по пространственной переменной) веществам или химическим элементам, поэтому аргумент r у | и |a опущен. Для более подробного изучения зависимости | и |a от энергии E использовались таблицы из [7], которые содержат данные для 92 химических элементов от водорода до урана включительно и 48 веществ сложного химического состава, представляющих интерес для дозиметрии. Данные представлены в виде сеточных функций, определенных для ряда значений энергии из промежутка 1 кэВ-20 МэВ. Для получения информации об элементах с атомными номерами от Z = 93 до Z = 100 нами использовалась база данных из [8]. Была написана компьютерная программа, анализирующая данные о 100 химических элементах, основные результаты работы которой состоят в следующем.
1. На промежутке 1 кэВ-20 МэВ функции |(E) и |a(E) для каждого элемента непрерывны всюду, кроме конечного числа точек, в которых они одновременно имеют разрыв I рода. Такие значения энергии мы будем также называть скачками. Отметим, что наличие скачков у функций |(E), |a(E) следует из физических моделей взаимодействия излучения с веществом, на основе которых строились таблицы в [7]. При этом величины скачков могут быть как очень маленькими, так и большими. Для элементов с номерами Z меньше 11 функции |(E) и |a(E) непрерывны на рассматриваемом промежутке энергии.
2. Для разных элементов все точки разрыва E' функций |(E), |a(E) всегда различны. Общее число всех различных скачков (для всех элементов) составляет 566. Самый первый скачок (в порядке возрастания по энергии) имеет место при E' = 1.002 кэВ (для фермия), а самый последний -при E = 143.1 кэВ (тоже для фермия).
3. Для всех веществ в точках разрыва E' коэффициенты |(E), |a(E) всегда возрастают, при этом величина |*(E') = |(E' + 0)/|(E' - 0) - отношение правого предельного значения коэффициента | к левому предельному значению в точке E меняется в пределах от 1.0044 (для рения) до 12.02 (для ма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.