16. Берман Г. П. и др. Введение в квантовые компьютеры. — Ижевск, М.: ИКИ, 2004.
17. Grib A. A., Rogrigues W. A. Nonlocality in Quantum Physics. — N.Y.: Kluwer Academic — Plenum Publ., 1999.
18. Пул Ч. мл., Оуэнс Ф. Нанотехнологии. — М.: Техносфера, 2006.
19. Довбета Л. И., Лячнев В. В., Сирая Т. Н. Основы теоретической метрологии. — СПб.: Изд. СПбГЭТУ (ЛЭТИ), 1999.
20. Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — Ижевск, М.: ИКИ, 2003.
21. Александров В. С., Кухарь В. В., Трунов Н. Н. // Российская Метрологическая Энциклопедия. — СПб.: Лики России, 2001. — С. 154.
Дата одобрения 28.01.2008 г.
681.516.7.015.2
Определение классификационных характеристик
случайных процессов
А. М. ПРОХОРЕНКОВ, Н. М. КАЧАЛА
Мурманский государственный технический университет, e-mail: prohorenkovam@mstu.edu.ru, kachalanm@mstu.edu.ru
Предложен алгоритм классификации случайных процессов по одной реализации, основанный на использовании непараметрических критериев, показателя Херста, байесовской процедуре классификации и нечеткой логике.
Ключевые слова: случайный процесс, непараметрический критерий, показатель Херста, нечеткая переменная, классификация.
One realization-based algorithm for classification of random processes is proposed. It implies application of non-parametric criteria, Hurst items, Bayesian classifying procedure and fuzzy logic.
Key words: random process, non-parametric criterion, Hurst item, fuzzy variable, classification.
Качество функционирования информационно-измерительных систем, осуществляющих сбор информации от объектов с помощью первичных измерительных преобразователей, обработку и передачу результатов измерения оператору или в системы управления, определяется погрешностями результатов измерений. В объектах управления протекают непрерывные случайные процессы. Случайный характер возмущающих воздействий на объекты управления предполагает применение статистической обработки результатов измерений, которая обусловливает статистическую погрешность и погрешность, вызванную неадекватностью алгоритма обработки реальному случайному процессу. Причиной последнего вида погрешности является ошибка классификации наблюдаемого процесса.
Таким образом, чтобы уменьшить погрешность результатов измерений, необходимо априори иметь сведения о модели процесса. Кроме того, установление класса процесса во многом предопределяет алгоритм обработки результатов измерений и аппаратные средства. Вопросы классификации наблюдаемых случайных процессов рассматривались во многих работах [1—3]. Однако в них не ставилась задача разработки автоматической процедуры определения класса процесса по одной реализации с целью интеграции в информационно-измерительные системы.
Классификация случайных процессов. Случайные процессы, протекающие в объектах систем управления, можно
представить как результат совместного действия детерминированного полезного сигнала и стационарной помехи. В общем случае влияние помехи на полезный сигнал можно выразить оператором Z(t) = V(ф(t), е(^), где ф(^ — полезный сигнал (сигналы); — стационарная помеха. В зависимости от вида оператора V различают аддитивную, мультипликативную и аддитивно-мультипликативную модели сигналов, которые выражаются соответственно формулами [4]:
Z(t) = ф1 ® + е(0; Z(t) = ф20 е(0; Z(t) = ф^ (0 + ф2(0 г(П, (1)
где ф.|(0, ф2(^ — детерминированные функции времени;
— стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием me = 0 и постоянной дисперсией Ое.
Для получения информации о состоянии объекта управления используют средства измерений. Как известно, измерения принципиально нельзя выполнить без погрешностей. Измерительные приборы располагаются непосредственно на объекте измерения, подвержены влиянию внешних неконтролируемых факторов и имеют дополнительную случайную погрешность. Выходной сигнал средства измерений можно представить моделями (1). Примером аддитивного процесса может служить выходной сигнал измерительного прибора, когда полезный сигнал суммируется с тепловым шумом. Изменения жесткости мембраны датчика маномет-
ра, коэффициента усиления усилителя, опорного напряжения в цифровом вольтметре являются причинами мультипликативной погрешности измерительных систем, которая описывается мультипликативной моделью.
В инженерной практике обычно рассматривают стационарные в широком смысле процессы. Поэтому при классификации нестационарных процессов предлагается исходить из анализа изменения во времени математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. С учетом принятых допущений математическое ожидание тдисперсия Dz и корреляционная функция RZ случайных процессов, представленных моделями (1), имеют следующий вид: аддитивная модель
mz(t) = Ф1 (<); Dz(t) = Ое; Rz(t1, у = Re(t1, £,);
(2)
мультипликативная модель т= У)=0; 0= Ц)=ф!(?)Ое; Rz(tv <г) = ф2(дф2(£,^Д, t2); (3) аддитивно-мультипликативная модель т2(*)=ф1(/); 02(*)=ф^)0е; Rz(t1, ¿2) = Ф2(t1)Ф2(t2)Re(t1, <2). (4)
Из приведенных соотношений следует, что математическое ожидание для моделей (2), (4) зависит от детерминированной составляющей ф1(<). Дисперсия и корреляционная функция модели (2) полностью характеризуются свойствами стационарной помехи. Вероятностные характеристики моделей (3), (4) определяются также и детерминированной составляющей ф2(<).
Выражения (2), (4) показывают, что для процессов, представленных этими моделями, математическое ожидание можно оценить по одной реализации с помощью той или иной операции, эквивалентной фильтрации низких частот. Если дисперсия е (<) помехи постоянная, то определить средний квадрат мультипликативного и аддитивно-мультипликативного процессов (и тем самым получить оценку дисперсии) также можно по одной реализации [1]. Таким образом, для процессов, представленных моделями (1), нет необходимости проверять эргодические свойства нестационарного случайного процесса. Точность оценки статистических характеристик зависит от типа и параметров детерминированных процессов ф1(<) и ф2(<) [5], поэтому классификация по виду нестационарности должна быть дополнена классификацией по виду детерминированных процессов.
С учетом изложенного разработана классификация случайных процессов при наличии одной реализации процесса (рис. 1). В качестве классификационных признаков выбраны класс процесса, виды нестационарности по математическому ожиданию (МО), дисперсии, корреляционной функции (КФ), а также законы изменения математического ожидания и дисперсии. В предлагаемой классификации в качестве детерминированных составляющих рассмотрены наиболее часто встречающиеся в инженерной практике переходные процессы: линейный, экспоненциальный, периодический, периодический затухающий.
В самой общей постановке задача классификации заключается в отнесении каждого из заданного множества объектов или явлений к одному из ранее известных классов. Пусть д-й наблюдаемый случайный процесс задается вектором информативных признаков Ха = (ха 1, ха 2, ..., хц п). Мно-
Рис. 1. Классификация случайных процессов, представленных одной
реализацией:
МО — математическое ожидание; КФ — корреляционная функция
жество наперед заданных классов случайных процессов определим как уе {С,, с12, ..., с1т}. Задача классификации заключается в выполнении отображения вида Ха ^ у. Необходимо сформировать вектор информативных признаков X и построить автоматическую процедуру классификации случайных процессов, позволяющую определить класс (стационарный, нестационарный), вид (аддитивный, мультипликативный, аддитивно-мультипликативный) процесса и тип детерминированной составляющей.
Формирование вектора информативных признаков. В существующей практике выявления нестационарности случайных процессов обычно используют непараметрические критерии [6], которые не требуют никаких предположений относительно функции распределения исследуемых данных. В данной работе для выявления класса процесса критерии выбирали из условий минимизации трудоемкости вычислений и высокой информативности критерия, позволяющего получить ответ не только на вопрос о случайном характере наблюдений, но и об изменениях вероятностных характеристик исследуемого процесса.
Проведенный анализ на модельных и экспериментальных временных рядах дал возможность выбрать следующие критерии: инверсий, Фостера-Стьюарта, поворотных точек, положительных разностей, ранговой корреляции, Аббе.
Результаты моделирования показали, что на вывод о классе процесса и виде нестационарности при использовании любого критерия оказывают влияние параметры модели, длина реализации, шаг дискретизации, размер выборки. В связи с этим решение о классе процесса следует принимать по результатам применения совокупности критериев. Затем необходимо получить некий обобщенный классификационный показатель.
По итогам использования отдельно каждого непараметрического критерия можно получить два взаимно исключающих ответа: «случайный процесс не содержит детерминированную составляющую» и «случайный процесс содержит детерминированную составляющую». Поэтому в основу классификации по непараметрическим критериям предлагается положить байесовскую процедуру для бинарных признаков [7]. Полученные таким образом оценки далее рассматриваются как обобщенный показатель применения непараметрических критериев, а апостериорная вероятность, изменяющаяся от 0 до 1, — как значение классификационного признака.
Одним из методов анализа временных рядов, ориентированным на выявление и оценку нестационарных составляющих случайного процесса, является метод Херста [8]. Он предполагает вычисление безразмерного показателя R/S в виде отношения размаха накопленного отклонения от среднего к среднему квадратическому отклонению. Зависимость lg (R/S) от логарифма времени наблюдения представляет процесс в виде фрактальной функции. При аппроксимации этой функции прямой линией определяется угловой коэффициент H, называемый показателем Херста. По его значению можно судить как о стационарности процесса по МО, так и о виде детерминированной составляющей. Это позволяет априори рассматривать три класса процессов: стациона
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.