ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 2, 2004
УДК 539.319.001.2
© 2004 г. Тихомиров В.М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ МЕТОДОМ ФОТОУПРУГОСТИ В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ
РАЗРУШЕНИЯ
Рассматриваются способы, в которых для определения коэффициентов интенсивности напряжений используются экспериментальные данные, полученные методом рассеянного света. Предложена методика определения коэффициентов для трещин в трехмерном теле на основе аппроксимации поля напряжений решением Нейбера о растяжении осесимметричного тела с гиперболическим вырезом. Это позволило корректно учесть степень стеснения деформаций в окрестности вершины трещины, а для расчета коэффициентов интенсивности напряжений брать данные на некотором удалении от сингулярной зоны, что обеспечило высокую точность и меньшую трудоемкость экспериментальных измерений.
Механическими характеристиками материала, с помощью которых можно оценить прочность конструкций с учетом имеющихся макротрещин, являются коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Методы определения КИН основаны на анализе напряженного состояния у вершины трещины: аналитическом, численном или экспериментальном. Использование аналитических решений ограничено классом осесимметричных задач и задач для плоских трещин в бесконечном теле [1-4]. Численные способы реализации алгоритмов конечных или граничных элементов позволяют определять КИН для трехмерных тел сложной геометрии [5, 6]. Однако для правильного построения численной модели произвольного трехмерного тела необходима экспериментальная проверка результатов расчета. Единственными экспериментальными методами определения КИН в задачах трехмерной механики разрушения являются поляризационно-оптические: методы "замораживания" деформаций [7, 8], составных моделей [9] и рассеянного света [10, 11]. В настоящей работе рассматриваются способы, в которых для определения КИН используются экспериментальные данные, полученные методом рассеянного света.
Методика исследований трехмерных прозрачных моделей по методу рассеянного света связана с характером напряженного состояния исследуемой задачи, так как необходимо выбирать такие направления просвечивания, где отсутствует или очень мало вращение квазиглавных осей тензора напряжений [12]. В этом случае применим простой оптико-механический закон, связывающий разность квазиглавных напряжений с параметрами интерференционной картины, наблюдаемой в рассеянном свете
йш ,1Ч
°2 = (1)
где о1, о2 - квазиглавные напряжения, действующие в плоскости, перпендикулярной направлению просвечивания s; ш - порядок полосы интерференции; о0 - оптико-механическая постоянная материала модели (цена полосы).
лпс
Рис. 1. Схема просвечивания модели лучом света: ЛПС -луч поляризованного света
Проведем анализ напряженного состояния в произвольной точке фронта плоской трещины с целью применения метода рассеянного света для определения КИН. Используем асимптотические выражения для напряжений в окрестности вершины трещины [2]
о.
K
= cos (9 /2)
к
J 2 nr
Т2Лг
sin (9/2)
1 - sin(9/2)sin(39/2) 1 + sin (9/2) sin (39/2) sin (9/2) cos (3 9/2)
2 + cos (9 /2) cos (3 9 /2)
- cos(9/2)cos(39/2) cos(9/2)sin(39/2) - ctg(9/2)
(2)
Txz k jjj -sin (9/2)
_Tyz_ J 2 nr cos (9/2)_
о
о
v(o x + oy) - плоское деформированное состояние, 0 - плоское напряженное состояние,
где: Kj, Kjj, Кш - коэффициенты интенсивности напряжений, соответствующие трем характерным деформациям: нормальный отрыв, поперечный и продольный сдвиг берегов трещины; r, 9 - полярные координаты точки (рис. 1); v - коэффициент Пуассона. Ось z является касательной к фронту трещины в точке O, а плоскость трещины совпадает с плоскостью координатной системы xOz.
Рассмотрим основные способы определения КИН. Анализ асимптотических выражений (2) показывает, что по любым направлениям 9 = const отсутствует вращение направлений квазиглавных напряжений, даже при смешанном нагружении (Kj Ф 0, Kjj Ф 0, Kjjj Ф 0) [10]. В этом случае
I 2 2 1 2
о1 - о2 = ./(Ое - oz) +4т9z, о9 - oz = - [Kjcos(9/2)(cos (9/2) -2к) -
72^ (3)
-Kjjsin(9/2)(3 cos (9/2)-2к)], T9z =
1
Jlnr
K jjj cos (9/2),
где для плоского напряженного состояния к = 0, а для плоского деформированного к = V.
Ввиду сложности проблемы в основном исследуются трещины нормального отрыва (К Ф 0, Кц = 0, Кш = 0). В этом случае, учитывая соотношения (1) и (3), получаем коэффициент интенсивности напряжений К1 = {о0 V2 ш /соз(0/2)[соз2(0/2) - 2к])(^ш/^г).
Подобный способ впервые был предложен в работе [13]. Просвечивание при этом проводили под углом 0 = 0 и предполагали, что в сингулярной зоне, где справедливы соотношения (2), реализуется плоское напряженное состояние. Для повышения точности применяли компенсационные способы и аппроксимацию распределения функции
m(r) степенным рядом [14, 15] вида m(r) = ^
a r
i/2
i = 0
о
y
т
xy
k
У У У
о 1
г
У /
/
У
Рис. 2. Схемы просвечивания модели: 1 - плоский пучок ("нож") поляризованного света
Для того, чтобы исключить операцию дифференцирования экспериментальных данных, при которой можно получить достаточно большие погрешности, необходи-
мо проинтегрировать выражение (1). Получим Аш :
0 [0 (01 - о2)йт, где Аш :
ш0 - шт:
ш0 и шт - порядок полосы интерференции в точке т = 0 и в произвольной точке. При
Кш = 0, Кп = 0 и, учитывая (3), получаем К1 = {о0Аш/соз(0/2)[соз2(0/2) - 2к]} Vп/2т.
Подобный подход к определению К1 предлагается в [16]. Несмотря на объемное напряженное состояние исследуемой задачи предполагалось, что в окрестности вершины надреза ог = 0. Однако в вершине трещины в действительности никогда не реализуется плоское напряженное состояние даже при растяжении тонких пластин. Плоское деформированное состояние реализуется только для внутренних плоских трещин, что следует из решений Нейбера [1], Кассира и Си [17].
Если просвечивать модель в направлениях, параллельных оси г (рис. 2, а, б), то экспериментальные данные не будут зависеть от величины напряжений ог. Такой порядок исследования был использован в [16, 18]. При этом для трещин с непрямолинейным фронтом по направлению просвечивания имеет место ротация квазиглавных осей. В работе [18] предложен способ выбора уровня нагрузки, при которой можно использовать зависимость (1). Таким образом, определение КИН К1 и К11 предполагается методами, разработанными для плоской задачи механики разрушения. Для определения КИН можно использовать асимптотические выражения (2). Однако область, где они справедливы, достаточно мала и не определена, поэтому необходимо учитывать регулярную составляющую напряженного состояния. Для этого используют разложение регулярной части полного решения в ряд Тейлора [16], которое для трещин нормального отрыва записывают в виде ох - о2 =
= [К/Т2Пг) 8Ш0] + ] Ь (т/с)', где с - характерный размер трещины, а первое
слагаемое получено из (2).
Разложение регулярной части в степенной ряд используется также в работе [10], где для определения КИН применяется схема просвечивания, представленная на рис. 1. При этом сингулярная часть решения записывается в виде (2) и предполагается плоское деформированное состояние в исследуемой области модели. Здесь впервые была рассмотрена возможность определения КИН при смешанном нагружении (К1 Ф 0, Кц Ф 0, Кш ф 0).
Основные проблемы рассмотренных способов определения КИН связаны с тем, что при аппроксимации экспериментальных данных применяется решение плоской задачи механики разрушения. Для этой цели можно применить решение задачи для бесконечного осесимметричного тела с глубоким гиперболическим вырезом [1]. Чтобы упростить эксперимент (избежать многочисленных направлений просвечиваний) будем использовать схему просвечивания модели плоскостью поляризованного света (рис. 2, в).
У
о
х
Е = const
^Е
Чп
П = const
Если продольный сдвиг отсутствует = 0), то разность квазиглавных напряжений Oj = о2 = = oy - ог, а по пути светового луча (y = const) направления квазиглавных осей не вращаются.
Решение Нейбера построено в эллиптических координатах Е, п. В данном случае связь декартовых и эллиптических координат следующая:
x = c (ch Е sin п + 1), y = c sh E cos п,
(4)
Рис. 3
где с - радиус осесимметричного тела в плоскости у = 0.
На рис. 3 показано напряженное состояние точки в криволинейных координатах при осевом растяжении тела. Выражение для напряжений в случае, когда радиус кривизны в вершине гиперболического выреза стремится к нулю, запишем следующим образом [1]:
ое
2 h
sh2Е(1 - 2у) - 2у cos п + cosj - 2cosп(2 - v)
ch2 Е h2
2
= p cos п (cos п 1 - 2 v °п = 2 h2 V- 1 + cos п J
J,
2h2
(1 - 2v) th2Е + 2( 1 - v ) cos п - ( 1 - 2v ) ( 2 + cos п ) cos п' ch2 Е 1 + cos п
(5)
1Еп
p th Е sin 2п( cos п 1-2 v
где h ■
4h2 V h2 1 + cosпJ'
J sh2 Е + cos2 п - коэффициент искажения эллиптической системы координат; p - среднее напряжение в плоскости y = 0, которое определяется растягивающим усилием P; p = P/nc2.
Напряжение oy определим по известным соотношениям теории упругости oy = = Ое cos (y, Е) + sin (y, Е) - Теп sin2(y, Е) или, учитывая связь между декартовыми и эллиптическими координатными системами (4),
1
Оеsh Еsin п + опch Еcos п -2хЕп sh2E sin2п
(6)
Если просвечивать прозрачную модель плоскостью поляризованного света перпендикулярно к фронту трещины, как показано на рис. 4, а на примере растяжения цилиндра, то в рассеянном свете будет наблюдаться интерференционная картина полос (рис. 4, б; p = 350 кгс). Картина зарегистрирована фотоприемником, ось которого ориентирована под 45° к плоскости просвечивания. Это соответствует направлению максимального контраста.
Таким образом, имеется информация о распределении порядков полос m(x) на достаточно большом количестве лучей yi = const (рис. 5). Используя соотношение (5), можно записать выражения для Am,j в j-x точках на каждом просвечивающем луче
А Ш;
Ч
= О !(° y- ) dx ■
(7)
y
Е
z
x
О
z
О
y
о
4 ПМ и НМ, < 2
97
I
о
♦ I
« * \
В = 40
I
Рис. 4. Модель цилиндра с кольцевой трещиной: а - геометрия модели, б - картина полос интерференции, зафиксированная
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.