МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. С.Е. ОМАРОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ КОНСТАНТЫ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ БЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
С использованием метода осреднения определяются материальные функции линейной моментной теории упругости. Предложенная методика применяется для нахождения константы материала в задаче о равновесии бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием.
Ключевые слова: моментная теория упругости, материальная функция, осреднение, композит.
1. Введение. В 1887 году Фойхт [1] для исследования упругих свойств кристаллов ввел новую модель среды, между элементами которой предполагается кроме обычного центрального еще и вращательное взаимодействие. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит братьям Коссера, которые свои идеи изложили в монографии [2], вышедшей в 1909 г. В основу их исследований была положена модель с центральным и вращательным взаимодействием частиц, которая теперь в литературе часто именуется континуумом Коссера. Напряженное состояние такой среды характеризуется двумя несимметричными тензорами: тензором силовых напряжений и тензором моментных напряжений.
В настоящее время при исследовании напряженного или деформированного состояния среды развились в основном два направления (варианта). В первом из них перемещения частиц среды и их малые жесткие вращения полностью описываются вектором перемещений и (псевдоконтинуум Коссера). К этому варианту относятся, например, работы [3—5]. Во втором направлении при подходе к веществу как к дискретной системе частиц перемещения центров тяжести определяются вектором перемещения, а малый поворот вокруг центра тяжести — вектором вращения ю, который кинематически не зависит от и. К такого рода исследованиям относятся работы [6—8]. Упругое поведение новой модели изотропной среды в первом варианте характеризуется четырьмя упругими константами, число которых в плоском случае сокращается до трех Е, V и В, где Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона и В — новая упругая константа (модуль кривизны или изгиба), имеющая размерность силы. Во втором варианте упругое поведение новой изотропной модели характеризуется шестью упругими константами [8, 9].
Что касается постановки эксперимента для определения новых упругих постоянных, то различные соображения высказываются в работах [3, 10—12]. В работе [13] предложен способ определения материальных функций определяющих соотношений линейной моментной теории упругости с использованием основных положений метода осреднения [14]. В настоящей работе этот способ применяется для нахождения материальных констант в задаче о равновесии бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием. Полученные результаты сравниваются с известными решениями аналогичной задачи в работах [4,15].
2. Применение метода осреднения для нахождения материальных функций определяющих соотношений моментной теории упругости. Определяющие соотношения линейной моментной теории упругости представляют собой обобщения закона Гука и записываются в виде
= Аук1ик, I + Вцк1кк1 .„ ..
(2.1)
= ^1]к\ик, I + Ецк1кк1
Здесь ы1 — компоненты вектора перемещений, а^, ^ — тензоры напряжений и момент-ных напряжений, к¡/ — тензор искривлений, который связан с вектором вращения ю формулами:
кц = Ю;; } (2.2)
Пусть в некотором объеме V с R3 заданы объемные силы X и объемные моменты М .. На части Е1, ограничивающей объем V, заданы перемещения и ° и компоненты вектора вращения ю° , на части Е2 — поверхностные силы Б° и поверхностные моменты
М° . Тогда краевая задача моментной теории упругости с учетом соотношений (2.1), (2.2) заключается в решении шести уравнений равновесия в V:
j + X = 0 (2.3)
Ы j + Чк^к + М = 0 (2.4)
при удовлетворении граничным условиям
^ = и°, Ъjin]\ ^ = (2.5)
Ю| ^ = ю^ е2 = М° (2.6)
Здесь п, — компоненты вектора единичной нормали, — символы Леви—Чивиты.
В [14] методом осреднения решена статическая задача теории упругости для композита с компонентами, описываемыми с помощью линейных соотношений
= ст&к1 (2.7)
где €ук1 — компоненты тензора модулей упругости, а тензор деформации еи связан с вектором перемещений u формулами Коши:
Чг = 1/2 (ик 1 + и1> к) (2.8)
Согласно методу осреднения решение задачи сводится к решению двух рекуррентных последовательностей задач теории упругости. Одна из этих рекуррентных последовательностей связана с решением краевых задач теории упругости для однородной среды, а другая — с решением задач для неоднородной среды на ячейке периодичности.
В процессе сведения исходной задачи для упругого композита к упомянутым выше рекуррентным последовательностям задач приходится использовать понятия момент-ных теорий упругости.
Если рассмотреть только теорию "нулевого приближения" [14], то можно построить эффективные характеристики моментной теории упругости для композита исследуемой структуры.
В методе осреднения вводится малый геометрический параметр а, характеризующий структуру композита. Вводятся "быстрые" координаты Е, связанные с глобальными координатами х формулами
Ъ = Х/а, I = 1, 2, 3
Пусть задан вектор ф, определяющий структуру композита
Фг(5) = аЫ.ао + а// + а + ...)
где а0, а, Ь,к, ... — известные величины.
Введем компоненты тензора моментных напряжений, например, следующим образом:
Мг/ = ЧцФк(. 5 )сЙ (2.9)
Используя асимптотическое разложение
и1 = и1(х) + аМЦ (5) О/- к1(х) + а(5) и]> ^ (х) + ...
выразим напряжения (2.7) и моментные напряжения (2.9) через перемещения согласно (2.7), (2.8) и подставим в уравнения (2.3), (2.4) и граничные условия (2.5), (2.6). Получим две рекуррентные последовательности задач: одну — для нахождения вектора
У(х), а другую - для определения локальных фуНкций ^/к (Е), М1/1к1 к2 (Е), М1/1к1к2к3 (Е), .... При этом усредненные значения по ячейке периодичности этих величин, обозначенные угловыми скобками, равны нулю:
^ = 8- <к) = 0, Я > 0
По известным локальным функциям находятся эффективные тензоры к/щ , к/кЦ ,
к(2) :
'Ч/к111213 ' ••• •
кцк^...^ + 1 = < Сиш1Я + 1Мтп11..Лг1 + Сцтп^тк^... 1Я + ^п) , Я = 0,
Чертой обозначаются производные по быстрым переменным
Для теорий нулевого и первого приближений достаточно рассмотреть только по две задачи каждой из рекуррентных последовательностей.
После нахождения эффективных модулей к, к/ц и локальных функций
(ЕХ М1/1к1 к2 (Е) можно записать ссюто^™^ связывающие средние напряжения < Су) и моментные напряжения < Иг/) со средними кинематическими характеристиками и,,(х) и
^ / = 1/2 ект1°т, к/
| < С/) = лтик , + Бт^к1 (2.10)
I < Мг/ = Вцк1 ик, I + к1
A = h (0) B = а, h (D
Aijkl = hijkl, Bijkl = {x^nmkhijmnl
Dijkl = *jmn <фт(^)(CinpqNpkiq + Cnkl)) (2Л1)
Eijkl = a^pqj ^ )( CipmsNmnrl\s + CipmlNmnr )) enrk
При сравнении соотношений (2.10) и (2.1) видно, что материальные функции определяющих соотношений моментной теории упругости (2.1) могут быть найдены методом осреднения из теории первого приближения (2.11). Никаких дополнительных экспериментов не требуется.
3. Задача о концентрации напряжений вблизи кругового отверстия в поле простого растяжения. В работе [4] получено решение задачи о круговом отверстии радиуса a в однородном поле растяжения р. Контур отверстия r = a свободен от напряжений и мо-ментных напряжений, а на бесконечности реализуется напряженное состояние
СТ* = p, = TXy = TyX = И* = Иу = 0
Здесь <зх, ... — обозначения для напряжений и моментных напряжений, используемые в [4].
Соотношения, связывающие моментные напряжения с кривизнами, приняты в виде И* = 4 Bkx, Иу = 4Bky (3.1)
Константа B выражается через константу материала l:
l2 = 2(i±v) B (3.2)
E
В полярной системе координат (r, 9) при l Ф 0, r = a, 9 = ±п/2 вычисляется коэффициент концентрации напряжений
k = (ст0 )max/p = (3 + F)/(1 + F)
F = _8 (1 - v)__(3.3)
4 + ( a /1)2 + 2 ( a/l) K0( a/l) /K1( a /1)
где K0(a/l), Kx(a/l) — модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядков соответственно.
Таким образом, при учете моментных напряжений коэффициент концентрации зависит от коэффициента Пуассона v и от отношения радиуса отверстия к постоянной материала l. Если пренебречь моментными напряжениями, то следует положить l = 0. Тогда, в силу того, что
lim *№ = 1
a/l ( a/l)
решение задачи сводится к известному решению Кирша [16]: коэффициент концентрации при F = 0 принимает обычную величину 3. При уменьшении отношения a/l уменьшается и коэффициент концентрации. Например, при a/l = 3:
k\a/l = 3 =
3 + 0.44( 1 - v ) 1 + 0.44( 1 - v )
так, что при изменении v от 0 до 1/2 коэффициент концентрации напряжений изменяется в пределах от 2.4 до 2.6.
Согласно методу, изложенному в п. 2, вычислим константу B в соотношениях (3.1) по формулам теории первого приближения. Пусть ф3 = aa0^. Тогда при сравнении соотношений (3.1) и (2.11) получим для слоистого двухкомпонентного композита с изотропными упругими компонентами
B = 0.02083а üqPlY( 1 -у)[ц1у2 - ц2(1 - Y)2]
P = ü 2 - ü 1 (14)
1 YÜ2 + (1 - Y)Ü1
где у — концентрация связующего в периоде структуры композита, ц и ц2 — модули сдвига компонентов 1 и 2.
По формулам [4] при v = 1/2, a/l = 10, a = 30, G = ц = 0.3333E (E — модуль Юнга) из (3.2) следует:
2
B = 12G = l2 • 0.3333E = 1й- • 0.3333E
100
Соответствующее значение коэффициента концентрации: k\a/l = 10 =
2.98.
Для тех же исходных данных вычислим значение B по формуле (3.4). Считаем ц2 > v: = 0.3. Тогда
Ü1 = I, ( - E1 ) = 0.3846153E1, ü2 = I, ( - E ) = 0.3333 E2
2 (1 + V1) 2 (1 + V2)
где Ex, E2, v:, v2 — модули Юнга и коэффициенты Пуассона компонентов 1, 2 периода структуры композита.
Пусть v2 = v, E2 = E, E1 = 0.2E2. При а = 0.1, у = 0.7, v2 = 1/2, a0 = 107, получим
B = 10.089416 • 0.3333E2 (3.5)
Из (3.5) следует, что l = 3.1763811. Это означает, что a/l = 9.4447 при r = 30. По формуле (3.3) вычислим коэффициент концентрации:
Ща/l = 9.4447 = 2.94
4. Заключение. Таким образом, при одних и тех же исходных данных получено для константы B, вычисленной с применением метода осреднения, значение коэффициента концентрации k меньшее, чем значение коэффициен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.