научная статья по теме ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНО ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОРАКЕТНОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ДЛЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ Энергетика

Текст научной статьи на тему «ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНО ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОРАКЕТНОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ДЛЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ»

№ 2

ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА

2015

УДК 629.78

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬНО ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОРАКЕТНОЙ ДВИГАТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ДЛЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ

© 2015 г. А.В. ИВАНЮХИН

НИИ Прикладной механики и электродинамики "Московский авиационный институт", Москва

E-mail: distantstar@nm.ru

Рассматриваются минимальные по энергетике решения для задач проектирования энергетической и электроракетной двигательной установки космического аппарата (КА), на основе задачи оптимального управления, двойственной задачи быстродействия. Эти решения дают оценки для параметров энергетической и двигательной установок таких как мощность, тяга и конечная масса аппарата, которые могут служить основой для проектирования КА с электроракетной двигательной установкой. Показаны варианты использования установок с ядерным и солнечным источниками энергии на гелиоцентрических участках межпланетных перелетов. Получены решения для перелета к Меркурию, Марсу и Юпитеру с минимально возможной мощностью аппарата, для них приведены зависимости характеристической скорости и минимальной тяги двигательной установки от времени перелета при оптимальной дате отправления от Земли. Для перелетов Земля—Марс и Земля-Меркурий построены системы изолиний на поле дата старта — время перелета.

Ключевые слова: механика полета с малой тягой, минимальная тяга, межпланетные перелеты, энергоустановка космического аппарата, электроракетные двигательные установки.

COMPUTATION OF MINIMUM REQUIRED POWER PARAMETERS OF ELECTRIC PROPULSION SYSTEM FOR INTERPLANETARY MISSIONS

A.V. IVANYUKHIN

Research Institute of Applied Mechanics and Electrodymanics of Moscow Aviation Institute, Moscow

E-mail: distantstar@nm.ru

Minimal power-consumption solutions for designing power plants and electric-propulsion systems of a spacecraft are considered based on optimal control, dual to the minimumtime problem. These solutions give lower bounds for the parameters of the power-supply and propulsion systems, such as power and thrust, and the final weight of the spacecraft. They can serve as the basis for designing spacecraft with electric propulsion system. There are showing the variants of use of systems with nuclear and solar power source at the heliocentric parts of interplanetary flights. Solutions are obtained for the flights to Mercury, Mars and Jupiter with the lowest possible onboard power consumption. The dependences of the delta-v (change in velocity) and minimum thrust of propulsion system on time of flight at the optimum date of departure from the Earth. Received a system of contour lines in the field date of the start — flight duration is pelted for flights Earth—Mars and Earth—Mercury.

Key words: mechanics of low-thrust Spaceflight, minimum-thrust problem, interplanetary trajectories, power plant of Spacecraft, electric propulsion system.

ВВЕДЕНИЕ

Космический аппарат (КА) с электроракетной двигательной установкой (ЭРДУ) представляет собой космическую транспортную систему с высоким удельным импульсом тяги, низкой тяговооруженностью, требующую наличия на борту мощного энергетического обеспечения. Сочетание этих особенностей делает привлекательным их использование вдали от гравитирующих центров, например, для довыведения на высокие околоземные орбиты и особенно на гелиоцентрических участках межпланетных перелетов. Именно задачи исследования солнечной системы дают наиболее широкие перспективы для использования ЭРДУ.

Бортовая энергоустановка КА может быть выполнена на основе внутреннего или внешнего источников энергии. В качестве внутреннего могут выступать ядерные или химические источники, а внешнего — энергия Солнца. Солнечные энергетические установки нецелесообразно использовать на больших удалениях, где плотность солнечной энергии весьма мала, ядерные источники — более универсальны.

Выбор проектных параметров КА с ЭРДУ и характеристик его энергоустановки во многом заключается в определении основных параметров его двигательной системы: ее мощности, тяги, эффективной скорости истечения, ресурса работы, масс отдельных систем и количества рабочего тела; на них оказывает влияние программа полета при выполнении транспортной операции. Причем именно траекторная задача часто является критически важной и может оказывать существенное влияние на характеристики КА. Это может быть связано с жесткими временными рамками выполнения транспортной операции, с необходимостью продолжительной работы двигательной установки и ее работой на различных удалениях от Солнца, что важно для системы с солнечными батареями. В свою очередь вид решения транспортной задачи, оптимального по выбранному критерию, и вообще существование такого решения связано с параметрами двигательной установки и параметрами бортовой энергетической установки. Эта связь создает сложную комплексную задачу, решение которой трудоемко и не поддается автоматизации. Но возможность получения оценок минимально допустимых значений для параметров энергетической и двигательной систем, рассматриваемая в этой статье, упрощают ее решение.

На современном этапе основой энергосистемы для межпланетных миссий могут служить ядерные энергоустановки и системы на солнечных батареях [1]. Оба варианта можно обобщить, представив выдаваемую энергоустановкой электрическую мощность, как функцию положения и времени:

N = N (х, О,

где N — электрическая мощность; x — вектор положения, ? — время.

При этом можно задаться такими видами зависимости, располагаемой на борту электроэнергии:

— для солнечной энергоустановки

МОДЕЛЬ ЭНЕРГОУСТАНОВКИ

(1)

— для ядерной энергоустановки (постоянная мощность) N (x, t) = Nо,

где И0 — начальная электрическая мощность в момент ?0 на расстоянии одной астрономической единицы от Солнца; ?0 — начальный момент времени; а — параметр, характеризующий скорость деградации солнечных батарей; п — параметр, связанный с зависимостью мощности солнечных батарей от гелиоцентрического удаления КА (обычно находящийся в диапазоне 1,7...2).

Реактивная мощность зависит от располагаемой электрической и к.п.д. преобразования энергии и может быть представлена в виде:

Nj = (3)

где Щ — реактивная мощность; п^ю — к.п.д. преобразования энергии.

Предполагается, что на участке активного полета подавляющая часть энергии тратится на двигатели, расходами на остальные системы можно пренебречь.

Реактивная мощность связана с тягой Т и скоростью истечения с:

^ = Тс/2. (4)

Таким образом, используя соотношения (1)—(4), получаем некоторые зависимости тяги и скорости истечения от положения и времени в общем виде:

Т = Т(х, Г); с = с(х, Г). (5)

Конкретное представление этих функций может быть различным в зависимости от принятых допущений относительно режимов работы двигательной установки. В данной работе рассматривается вариант только постоянной скорости истечения, что приводит к сохранению зависимостей (1)—(2) для тяги, и делает ее значение в начальный момент времени базовым параметром энергодвигательной системы.

ПОСТАНОВКА ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

В задаче нахождения минимальной начальной тяги, соответствующей в данном случае (c = const) минимальной начальной мощности энергоустановки, рассматривается традиционная для механики космического полета с малой тягой система динамических уравнений движения центра масс КА [2, 4]:

dx _ v

dt

dv _ П x +5Г (x't )e

dt m

dm _ 5T (x, t)

dt c

где x — вектор положения КА; v — вектор скорости КА; ? — время; т — масса КА; О = = ц/г — силовая функция гравитационного поля; ц — гравитационный параметр Солнца; г = |х| — гелиоцентрическое удаление КА; 8 — функция тяги (8 = 1 при включенном и 8 = 0 при отключенном двигателе); Т^, ?) — функция величины тяги; e — единичный вектор в направлении вектора тяги; с — скорость истечения.

Заданы начальный ?0 и конечный ^ = ?0 + А? моменты времени, начальные и конечные краевые условия, как функции моментов времени:

х (¿0) = хрЮ (¿0), V (¿0) = \рЮ (¿0), т (¿0) = то, (7)

х {¿/) = хр¥ ^), V (Г/) = Vр1/ (Г/), (8)

где xpl0, vpl0 — векторы положения и скорости планеты отправления; т0 — начальная масса КА; xplf, v — векторы положения и скорости планеты назначения.

Необходимо найти оптимальное управление, т.е. программу направления вектора тяги e и функции 8, минимизирующие функционал, вида:

J = T(x0, t0) ^ min .

),S(t)

(9)

Эта задача может быть решена с помощью принципа максимума Понтрягина [3]. Записывая ее гамильтониан

т т T т T

H = px V + pvQ x +8 I-Pve - Pm~

\m c

и максимизируя его по управлению

Г1, ¥> 0

e=pv/p„; ¥ = Pu - pm; 8 = m c

0 или 1, ¥ = 0 0, ¥ < 0,

(10)

(11)

приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для фазовых ф, v , т) и сопряженных к ним ^^ pv, рт) переменных:

• = v

dx dt

dv = Q | 8T(x, t) Pv

dt m pu

dm = 8T(x, t) dt c

dPx=_Q xxpx-дтл ч

dt dx

dpx

= _ps

(12)

йг

ЛРт = ЪТ(х, г) йг т2 1

Для замыкания краевой задачи и определения минимальной начальной тяги необходимо дополнить равенства (8) условиями трансверсальности:

Pm(tf ) =0;

(13)

J ¥ dt = XT; XT = const > 0.

(14)

Из выражения (13) и учитывая, что производная сопряженной переменной к массе (12) всегда положительна, следует, что эта переменная всегда не положительна, функция ¥ всегда не отрицательна, двигатель работает на всей траектории 8 = 1. Константа ХТ определяется условием нормировки сопряженных переменных, ее можно выбирать различными способами, например, положив равной единице или составив какую-либо комбинацию с ней и фазовыми или сопряженными переменными в начальный или конечный момент времени. Следует помнить, что нулю она может быть равна только на особых решениях, которые не могут гарантировать нахождение минимума функционала, по крайней мере с помощью принципа максимума.

Таким образом, оптимизационная задача сводится к краевой, в которой необходимо определить значения сопряженных переменных в начальный момент времени. Эту краевую задачу можно решать любым соответствующим методом, в данной работе использовался метод продолжения по параметру.

ооооооооооо ооооооооооо

•хАэ 'вхэ1гэс[эп крчэс[д

Рис. 1. Изолинии з

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком