МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 528.08:534.1
© 2008 г. А.О. БЕЛЯКОВ, А.П. СЕЙРАНЯН
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ КРУПНОГАБАРИТНЫХ ТЕЛ ПО КОЛЕБАНИЯМ В УПРУГОМ ПОДВЕСЕ
Для обеспечения маневренных характеристик самолетов и быстроходных морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически определить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача измерения моментов инерции массивных крупногабаритных тел. С этой целью в ЦАГИ им. Н.Е. Жуковского на основе нового метода определения моментов инерции тела по колебаниям в упругом подвесе был спроектирован измерительный стенд [1]. В связи с этим возникла необходимость разработки соответствующих математических алгоритмов определения моментов инерции.
Настоящая работа посвящена созданию математических алгоритмов определения моментов инерции тела, использующих методы идентификации линейных систем в пространстве состояний [2-5]. Представлены три варианта решения задачи определения моментов инерции тела в зависимости от сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда. Изучено влияние демпфирования на точность определения моментов инерции. Приведены результаты расчетов конкретной системы.
1. Конструкция измерительного стенда и процесс измерений. В [1] предложен новый метод измерения моментов инерции, где помещенное на четыре пружины тело совершает свободные колебания преимущественно по трем степеням свободы, как показано на принципиальной схеме измерительного стенда (фиг. 1). Моменты инерции тела (включая центробежные) содержатся в инерционной матрице колебательной системы. Инерционная матрица определяется по сигналу с датчиков, измеряющих смещение тела, при этом не требуется знание жесткостей пружин.
Спроектированный в ЦАГИ на основе предложенного метода стенд [1] предназначен для измерения инерционных параметров тел удлиненной формы массой порядка 15 т, длиной 6 м и диаметром 2 м. Тело при помощи специальных хомутов помещается на шарнирах на четыре пружины, закрепленные консольно другими концами на бетонном основании. Таким образом, упругое основание из пружин имеет жесткость в горизонтальном направлении, что придает системе устойчивость. Точки крепления пружин к хомутам образуют прямоугольник, как и точки крепления пружин к основанию. В точках крепления пружин к хомутам расположены датчики, измеряющие вертикальное смещение. В системе возбуждаются малые колебания по трем степеням свободы. В результате определяются два осевых и один центробежный моменты инерции тела. Затем измерения повторяются с телом, повернутым на 90°C вокруг оси Cx (фиг. 1). Таким образом определяется весь тензор инерции тела за исключением одного центробежного момента инерции. Другими словами, кроме главных моментов инерции определяется и отклонение соответствующей главной оси инерции от оси Cx.
Использование в представленном методе упругих элементов (пружин) позволило сделать измерительный стенд компактным, что особенно важно при работе с крупногабаритными телами. Не фиксируется ось вращения, что упрощает процесс измерения. Колебания происходят по трем степеням свободы, что позволяет обойтись двумя измерениями для определения пяти компонент тензора инерции. При этом две оси крутильных колебаний проходят недалеко от центра масс, что уменьшает относительную погрешность вычисления центральных моментов инерции тела.
2. Математическая модель стенда и постановка задачи. Введем связанную с телом ортогональную систему координат Oxyz, изображенную на схеме стенда (фиг. 1) и на виде сверху на расположение пружин и датчиков (фиг. 2). Точка O начала координат находится в точке крепления первой пружины к телу, ось Ox проходит через точку крепления второй пружины к телу, ось Oz проходит через точку крепления четвертой пружины к телу, ось Oy направлена вверх перпендикулярно осям Ox и Oz. Аналогично введем неподвижную систему отсчета OaXYZ (фиг. 1), связав её с точками крепления соответствующих пружин к основанию стенда.
Запишем уравнения движения твердого тела. Для этого введем систему координат Cxyz (фиг. 1), начало которой расположено в центре масс тела C, а оси параллельны осям системы Oxyz. Пусть система координат CaXYZ неподвижна относительно системы OaXYZ. Если тело находится в положении равновесия, то система CaX'YZ и связанная с телом система Cxyz совпадают. Движение тела описывается законами изменения импульса и момента импульса в системе CaXYZ, записанными в проекциях на оси системы Cxyz [6]:
md u/dt + mw x u = Y f (2.1)
i
Idw/dt + w x Iw = Y, Pi x fi (2.2)
i
где u - вектор скорости смещения центра масс тела C от положения равновесия Ca; w - вектор угловой скорости вращения системы Cxyz относительно системы CaX'YZ;
&
1 X
Z
C x z
Фиг. 2
йи/йХ и й w/dt - векторы относительных производных; I - тензор инерции тела; р; - радиус-векторы точек приложения сил К уравнениям движения (2.1) и (2.2) следует добавить уравнение наблюдений
у = Ь(Р!,..., Р4, z) (2.3)
где Ь - вообще говоря, нелинейная вектор-функция, у - вектор вертикальных смещений точек крепления пружин относительно положения равновесия, получаемых с четырех датчиков, z - вектор переменных состояния системы.
Получим выражения для сил Каждая пружина создает усилие, направленное противоположно смещению точки крепления к телу. При этом не создается дополнительный момент относительно осей, проходящих через точку крепления пружины к телу, так как крепление шарнирное. Ввиду того, что пружины имеют цилиндрическую форму, они обладают тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии упругих свойств [8]. Поэтому в системе координат ОаХУД, совпадающей с осями симметрии пружины, упругие постоянные пружины можно представить в виде матрицы
G;
C 0 0 0 k¡ 0 0 0 C:
(2.4)
где г - порядковый номер пружины, к - жесткость пружины в продольном (вертикальном) направлении, а сг - жесткость пружины при смещении ее свободного конца в любом поперечном направлении. По диагонали матрицы расположены коэффициенты жесткости пружины в направлениях ОаХ, ОаУ и ОаД. Эти коэффициенты считаются постоянными на всем протяжении процесса колебаний. Действующие на тело со стороны пружин силы выражаются по следующей формуле:
f = -G*Xi (i =1, 2, 3, 4)
(2.5)
где X - вектор смещения точки крепления г-й пружины от положения равновесия, а О* - матрица жесткости г-й пружины в связанной с телом системе Слуг. Эта матрица связана с матрицей следующим образом:
G* = STSTOGiSOS (i = 1, 2, 3, 4)
(2.6)
где 8 - матрица преобразования поворота системы Слуг относительно системы СаХ'УД, а 8О - системы СаХ'УД относительно системы ОсХУД.
r
x
r
L
L
X
Положение тела в инерциальной системе отсчета CaXYZ описывается радиус-вектором положения центра масс x и тремя углами поворотов фх, фу и фг связанной с телом системы координат Cxyz относительно осей системы CaXYZ. В качестве фх, фу и фг берутся углы Крылова [9], так как из них можно составить вектор малого поворота j, взаимнооднозначно связанный с матрицей преобразования поворота S. Матрица S состоит из произведения матриц поворотов S = SxSySz относительно осей CaX, CaY и CaZ „де
/ \ 1 0 0
0 cos (фх) -sin (фх)
0 sin (фх) cos (фх)
s„ =
sin(Фу) 0 cos(Фу) 0 1 0 -sin(Фу) 0 cos(Фу)
Sz =
cos(ф^.) -sin(ф^,) 0 sin(ф^ cos(ф^.) 0 0 0 1, Выразим смещения пружин £¡ через векторы x и j:
X¡ = X + Sp¡ - p¡ (i =1, 2, 3,4)
(2.7)
Предполагается, что скорости центра масс и угловые скорости тела малы по сравнению со своими единицами размерности. Следовательно [7], с точностью до малых величин второго порядка можно отбросить члены mw х u в уравнении (2.1) и w х Iw в уравнении (2.2). Также предполагается, что в процессе измерений смещение точек крепления пружин к телу относительно положения равновесия мало по сравнению с характерными размерами стенда и, следовательно, амплитуды крутильных и поступательных мод колебаний также малы. Значит, с точностью до второго порядка малости относительная производная вектора x равна его полной производной. В результате u = x и d u/dt = u = x. Матрица поворота может быть записана в виде
' 1 -Ф, Ф? '
S = Ф, 1 -Фх (2.8)
V -Ф? Фх 1 у
Компоненты вектора угловой скорости w находятся [6] из матрицы
/ \ 0 -w
w.
—w
v у
■z wy
0 —w.
w
0
C точностью до второго порядка малости S S 1 = Ф , где
/ \
Ф = S — E =
0 —ФФу Фz 0 —Фх —Фу Фх 0
и Е - единичная матрица, откуда следует, что = ф и й w/dt = лу = ф . Используя обозначение Ф, выражение (2.7) можно записать в виде
x = x + Фр; (i = 1, 2, 3, 4)
(2.9)
Структура матрицы Ф такова, что произведение ее на любой вектор-столбец равно векторному произведению вектора ф на этот вектор. Учитывая, что векторное произведение антикоммутативно, можно записать: Ф ■ р = ф х р = -р х ф = -Я ■ ф, где матрица Я имеет структуру, аналогичную матрице Ф:
R
' 0 -Pz Py Л Pz 0 -P* -Py P* 0
Выражение (2.9) запишется линейно относительно векторов х и ф: £; = х - К;ф. После подстановки полученного выражения в (2.5) имеем выражение для сил
Г; = - О*х + О*К;ф (; = 1, 2, 3, 4) Учитывая, что р; х f1■ = Я^, получим выражения для моментов сил Р; X Г; = - К;О* X + К;О* К;ф (■ = 1, 2, 3, 4)
(2.10)
(2.11)
Также будем считать малым угол поворота системы СаХ'У2' относительно системы ОдХУХ, описываемый матрицей преобразования 8О, которая имеет структуру как 8 в (2.8). Тогда из формулы (2.6) видно, что с точностью до первого порядка малости углов верно равенство О* = С;. Оставляя члены первого порядка малости после подстановки выражений (2.10) и (2.11), уравнения движения (2.2) и (2.1) можно записать в матричном виде
' m E 0 ^ / x + f XGi
1 0 I J V j 7 V XRi Gi
j
0
(2.12)
Матрица жесткости представима в следующем виде
' X Gi -XG¿ Ri Л v XRiGi -XRiGiRi ,
= С G С
(2.13)
Í Gi 0 0 \ 0 í E \ -Ri
0 0 G2 0 0 G3 0 0 , С = E E -R2 -R3
V 0 0 0 G 4 7 v E -R4 7
что удобно для дальнейших преобразований. Используя геометрию стенда (фиг. 2), выразим радиус-векторы точек крепления пружин к телу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.