МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.375
© 2008 г. Н.М. БОРОДАЧЕВ, Г.П. ТАРИКОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ РАСЧЕТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПОД ПЛОЩАДКОЙ КОНТАКТА С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ
Рассматривается пространственная контактная задача для двух упругих тел с учетом тепловыделения. Получены формулы для определения напряжений на глубине (под площадкой контакта). На основании этих формул изучается распределение наибольших расчетных напряжений по третьей теории прочности. Рассмотрен пример, когда площадкой контакта является эллипс.
1. Постановка задачи. При решении пространственных контактных задач теории упругости и термоупругости обычно ограничиваются определением напряжений на площадке контакта. Однако известно, что наибольшее расчетное напряжение по третьей или четвертой теории прочности имеет место не в точках площадки контакта, а на некоторой глубине. Определение этих напряжений, особенно для контактной задачи термоупругости, связано со значительными вычислительными трудностями.
Контактные задачи с учетом тепловыделения рассматривались в [1-4]. Вопрос о распределении расчетных напряжений на глубине изучался в [5, 6].
Рассматриваются два упругих тела, ограниченные выпуклыми поверхностями S1 и S2, соприкасающиеся в точке О, которую примем за начало координат (фиг. 1). Упругие тела находятся в условиях скользящего контакта. Проведем оси Oz1 и Oz2, перпендикулярные к общей касательной плоскости П поверхностей S1 и S2, внутрь каждого из тел. При решении термоупругой контактной задачи касательные усилия на площадке контакта учитываются только при учете тепловыделения.
Принимая концепцию Герца, соприкасающиеся тела заменяем упругими полупространствами прижатыми друг к другу по площадке O, расположенной в плоскости П. На этой площадке z1 = z2 = z = 0. Площадка контакта O находится внутри эллипса Е0: x2/a2 + y2/b2 = 1; a, b - полуоси эллипса E0. Таким образом, приходим к следующим граничным условиям при z = 0:
и?] + 42) = § - 9i(x, y) - Ф2 (x, y), (x, y) 6 O
af = -p(x, y), (x, y)6 O, af = 0, (x, yO
(0 (i) n
тxz = Tyz =0, < x, y < «>
0(0 = ©0(x, y), (x, y) 6 0, 0(0 = 0, (x, y) t O, i = i, 2
(1.1)
где г = 1, 2; иг - проекция вектора перемещения на ось г; ог - нормальное напряжение; тхр туг - касательные напряжения; ф; - уравнение поверхности 0 - температура.
Нормальное давление р(х, у) на площадке контакта заранее неизвестно и должно быть определено в процессе решения контактной задачи. Полуоси а, Ь граничного эллипса Е0 также находятся из решения этой задачи.
Чтобы проверить прочность контактирующих упругих тел необходимо иметь формулы для определения напряжений в точках, расположенных под площадкой контакта. Рассмотрим вывод этих формул.
Фиг. 1
2. Решение пространственной задачи термоупругости. Пространственная задача термоупругости в напряжениях сводится к интегрированию уравнения равновесия
V- Т = 0 (2.1)
условия совместности деформаций
V2f + ——-— VVo = -2цаГVV0 + - ЕV2©1 (2.2)
1+V V 1-V )
и уравнения теплопроводности
V2© = 0 (2.3)
Здесь Т - тензор напряжений; о - первый инвариант тензора напряжений; V2 - оператор Лапласа; V - коэффициент Пуассона; ц - модуль сдвига; а - коэффициент линейного расширения; Е - единичный тензор. Вопрос о граничных условиях будет рассмотрен ниже.
В работе [7] показано, что условие совместности (2.2) будет удовлетворено, если принять, что выражение для Т имеет такой вид:
Г = 6'" 2(Т+~у)('К - Ца( V©) К (2.4)
где О - гармонический несимметричный тензор второго ранга, К - вектор-радиус. Чтобы тензор Т удовлетворял уравнению равновесия (2.1), необходимо чтобы выполнялось соотношение
^ 0 = 2(Г0У) + (2.5)
Тензор О имеет девять компонент. Для их определения имеем девять уравнений: три получаются из закона парности касательных напряжений, три из (2.5) и три в результате удовлетворения граничным условиям.
Дальнейшее изложение проведем для случая упругого полупространства г > 0. На границе полупространства г = 0 имеем граничные условия
-/1 (X, у), (х, у)еОт \/х, у), (х, у) е О2
(2.6)
т = Г , т
гх [0, (X, у) г О1 гу [0, (X, у) г О2
Г-Д(х, у), (х, у)еОз ° = 10, (х, у) г О3
© = Г©0(х, у), (х, у)еО0 (27)
[0, (х, у) г Ос .
Здесь О; (г = 1, 2, 3) - область нагружения в плоскости г = 0; О0 - область, в которой поддерживается ненулевая температура.
Рассмотрим функции N гармонические в полупространстве г > 0:
N(х, у, г) = 21: Ц/;(хт, ут) 1п(г + г^йу 1, г = 1, 2, 3
2пц (2.8)
2 2 2 2 г = (х - х 1) + (у - у1) + г
Используя (2.5), закон парности касательных напряжений, представление (2.4) и удовлетворяя граничным условиям (2.6), находим девять компонент несимметричного гармонического тензора О. Затем по формуле (2.4) определяем компоненты тензора напряжений
тгх = тхг = д2И11дг2 - гЭ2ф/дхдг
тгу = туг = д2 И2/дг2 - г д2ф / д у д г, ог = д2 И3/д г2- гд2ф/дг2 0х дхдг дудг + ду2 + д г гдх2 У ду2 + У + У ^ду2
о =- + + дЗ + дф - гд!ф -2V— + 2(1+ У)а ^
0у д х д г + д у д г + д х2 +д г г д у 2 У д х2+ + У ацдх 2
(2.9)
_ д2N1 д2М2 д2М3 д2ф д2Ф д2^
Тху = т ух = д-удг + дхдг- дхд-у- гшу + 2удхэ-у "2(1+ У)ацдхэу
ф = дФ/дг, © = д¥/дг, ¥ = д^/д г, © = д2^/дг2
Гармонические функции N1, N2, N3, входящие в (2.9), можно определить по формуле (2.8), а функция ф находится из соотношения
ф = д N 1/дх + д N 2/д у + д N 3/д г (2.10)
По формулам (2.9) можно определить компоненты тензора напряжений в любой точке упругого полупространства г > 0, если граничные условия имеют вид (2.6).
Решение уравнения теплопроводности (2.3) с граничным условием (2.7) можно представить в виде
0 = Э¥/Э г
х, у, г)
1
~2я:
гг©о(у!)
J J —-— dxidyi
(2.11)
3. Контактная задача с учетом тепловыделения. Граничные условия этой контактной задачи даются выражениями (1.1). В работе [4] решение данной задачи сведено к двумерному интегральному уравнению первого рода:
($1 + )г гР(у1) 5 - ф1(х, у) - ф2(х, у) = ——— ^-5— йу1-
R
(П!+ П2^rQ0(х1> ( ) О -J J-R-dxidyi, (х, у) 6 О
(3.1)
2п
Д. = (1- V,.)/ц„ п. = (1+ v; )a¡, R¿
(x - Xi)2 + (y - У1 )2, i
1, 2
Из уравнения (3.1) необходимо определить контактное давлениер(х, у). Функции ф;(х, у) и 0о(х, у) считаются известными.
Ограничиваясь рассмотрением лишь локальных эффектов, левую часть интегрального уравнения (3.1) следует представить в виде:
5 - ф1- ф2 = 5 - х2/(2R1) - у2/(2R2)
(3.2)
где 5 - сближение упругих тел. Вопросы, связанные с определением величин Я1 и Я2 подробно обсуждаются в монографии [8].
В работе [4] рассматривается вопрос о выборе функции 0о(х, у), входящей в уравнение (3.1). В результате анализа проблемы установлено, что эту функцию целесообразно принять в виде:
0о(х, у) = 0о( 1- х2/а- у2/ъ2), (х, у)6 О
(3.3)
где а, Ь - полуоси эллипса Е0, ограничивающего площадку контакта О.
С учетом выражения (3.3), решение интегрального уравнения (3.1), (3.2) принимает вид
г 2 2^1/2 ( 2 . 2^
+ У о0о
p(х у) = 2 [pe-1- Yо0(
i -хх_-уу_
22 аъ
i - х_-у_
22 аъ
(х, у) 6 О
(3.4)
P/(nab), Уо = (П1 + П2) / (А + Д)
где Р - нормальная сила, прижимающая упругие тела.
Решение уравнения (3.1), (3.2) позволяет также определить размеры эллиптической площадки контакта. Эксцентриситет е эллипса Е0 можно найти из выражения
R2/R1 D (е) =
(1- е ) D (е) / B (е)
1
[ K( е) - E( е)], B (е)
1 -е2
2
1 -е
- E( е) - K( е)
(3.5)
О
о
О
О
c
е
е
где К(в), Е(в) - полные эллиптические интегралы. Величины полуосей эллипса Е0 находим по формулам
а = еа0, Ь = а7 1 - в2 (3.6)
1/3
а0 = [ РЯХ (^1+ )] ао, ао =
Ъ О(в)
1/3
(3.7)
Величина е находится из решения кубического уравнения
е3 + юе2 = 1 (3.8)
ю = 4 7Т (П1 + П2 О (в) (3.9)
4 ао
Полученное решение позволяет определить распределение нормального давления р(х, у) и размеры площадки контакта с учетом тепловыделения.
Из формулы (3.4) следует, что давление в центре площадки контакта равно
3 1
Ртах = 2 Рс + 4 У 0®0 (3.10)
Полученные выше результаты позволяют перейти к вопросу о распределении расчетных напряжений и к проверке прочности материала при контактном взаимодействии упругих тел.
4. Распределение наибольших расчетных напряжений. При проверке прочности материала в контактных задачах обычно используют третью теорию прочности. Условие прочности по этой теории имеет вид
01- Оз <[о] (4.1)
где о1, о3 - главные напряжения, [о] - допустимое напряжение при одноосном сжатии. Будем проверять прочность в точках, расположенных на оси Ог. В точках оси Ог напряжения ох, оу, ог являются главными напряжениями. В данном случае о3 = ог.
Как показывают предварительные вычисления при в2 = 0.75, о1 = ох при 0 < г/а < 0.09, но о1 = оу при 0.09 < г/а. Наибольшего значения разность О1 — О3 достигает при г/а > 0.09. Поэтому в данном случае формула (4.1) принимает вид
Оу - Ог < [о] (4.2)
Для определения напряжений оу и ог воспользуемся формулами (2.9). В рассматриваемой контактной задаче
N1 = = 0, ф = д N 3/дг (4.3)
Следовательно
д2N3 дф д2ф . д2Ф ) д2^
оу = —- + Д - г —--г-2 V —2+2(1 + v)aц—-2 д х2 д г д у 2 д х2 д х2
ог = д2 N3/дг2- гд2ф/дг2
Отсюда находим
2 2 2 2
Г N3 д N3 дф
д2ф д2ф 0 д2Ф . д2^
—--- - 2V —2-+ 2(1+ v)aц—2
д х д х
ду2 дг2
Учитывая (4.3) и то, что ф = дФ/дг, получим
°y - °г
э2 n 3 э2а д
(1 - 2 v) —-2- + 2 (1 + + гд
2
дх
дх
2
д2 N 3 д2 N 3 дг2 д у2 ,
(4.4)
Гармоническую функцию ^(х, у, г) можно определить по формуле (2.8) при О3 = О. Площадь контакта О расположена внутри граничного эллипса Е0. Следовательно,
Nз(х, у, г) = JJ/з(xi, У1)ln(г + r)dxidyi
(4.5)
Как следует из граничных условий (1.1) и (2.6): /3 (х, у) = р (х, у)
(4.6)
где р(х, у) - нормальное давление на площадке контакта, определяемое формулой (3.4). Так как ¥ = д £/дг, то, используя формулу (2.11), находим
£(х, у, г) = JJ©c(xi, yi)ln(г + r)dxidyi
а
(4.7)
Здесь учтено, что в рассматриваемой контактной задаче О0 = О. Функция ©0(х, у), входящая в (4.7), определяется формулой (3.3).
Таким образом, функции ^(х, у, г) и £(х, у, г), входящие в (4.4), полностью определены. Следовательно, разность главных напряжений оу - ог может быть определена в любой точке тела, находящегося в контакте с другим телом.
С уче
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.