АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 84, № 2, с. 185-192
УДК 523.985.3-337-425
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ МАГНИТНОГО ПЕРЕСОЕДИНЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
© 2007 г. О. Г. Ден
Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова,
Троицк, Россия Поступила в редакцию 13.05.2006 г.; после доработки 07.07.2006 г.
Исследован вопрос магнитного пересоединения для общего магнитного поля без нулевых точек в отсутствие плазмы. Рассмотрено модельное потенциальное магнитное поле четырех зарядов. Предложен метод нахождения потенциально возможных областей пересоединения и положения сепаратора по некоторым вычисляемым дифференциальным характеристикам магнитного поля. Исследованы некоторые свойства сепаратора и выявлены области на сепараторе, где выполняются наилучшие условия магнитного пересоединения.
PACS: 96.60.Hv, 96.60.Hv, 95.30.Qd, 96.60.qe
1. ВВЕДЕНИЕ
На Солнце в условиях вмороженности плазмы особую роль играют так называемые предельные силовые линии или сепараторы, по которым может происходить перераспределение потоков от независимых источников магнитного поля, или магнитное пересоединение. Для протекания процесса магнитного пересоединения необходимо существование токовых слоев вдоль таких особых линий, и часто с ними связывают области энерговыделения во время солнечных вспышек. Впервые такие линии рассмотрены в работах Свита [1], Сыроватско-го [2—3], затем — в работах Баума и Братенала [4], Соннерапа [5], Сомова [6—8] и др. Подразумевается также, что сепаратор должен соединять две нулевые точки магнитного поля. В работе Дему-лина и др. [9] предлагается находить области магнитного пересоединения для реального магнитного поля на Солнце по максимальному отклонению концов силовых линий от двух близлежащих точек на фотосфере. Однако такой способ, очевидно, весьма сложен и трудоемок. Сомов и др. [10] при исследовании знаменитой Бастильской вспышки (Bastile day flare) 14 июля 2000 г. рассмотрели модельное магнитное поле с пятью источниками (зарядами). Сепаратор при этом находился как пространственная силовая линия, соединяющая две нулевые точки, расположенные в плоскости источников поля (фактически эти точки являются "двумерными" нулевыми точками).
В данной работе развивается общий подход, основанный на использовании некоторого "врож-
денного" свойства таких особых линий. Так, свойством сепаратора является то, что в перпендикулярной направлению поля плоскости вблизи его вершины должна наблюдаться такая же картина магнитного поля, как для особой Х-точки в двумерном случае [8]. Распространив такое свойство и на другие точки особых линий, попытаемся предложить общий метод нахождения таких линий. В трехмерном случае наличие нулевых точек магнитного поля представляется достаточной редкостью, что возможно лишь при определенной симметрии источников поля. Поэтому будем рассматривать произвольное общее магнитное поле без нулевых точек. С помощью некоторых вычисляемых дифференциальных характеристик магнитного поля попытаемся выделить области, где может происходить магнитное пересоединение, и дадим альтернативное определение сепаратора.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Пусть имеется ортогональная прямоугольная система координат XYZ, в которой задано или проводится расчет потенциального магнитного поля (рис. 1). Каждой точке пространства поставим в соответствие локальную систему координат, в которой магнитное поле направлено по новой оси, например, Z2. Для этого исходную систему координат повернем (положительный угол отсчитывается по направлению против часовой стрелки) сначала
Рис. 1. Поворот исходной системы координат по направлению магнитного поля.
вокруг оси Z на угол axx1, определяемый из условия
Bx Ву
cos axx1 =
\¡Bl + B2'
sin axx1 =
Jy
\¡Bl + B2'
затем вокруг новой оси У1 на угол ах1х2 , определяемый из условия
Bz
cos aziz 2 =
sin azlz 2
у/B2 + B2 + B2'
I B2 + в2 ~ VbÍTBíTBF '
и, наконец, сделаем обратный поворот вокруг новой оси Z2 на угол axx1. Можно было не производить последний поворот, но мы его сделали, чтобы положение конечной системы координат было ближе к исходной. На рис. 1 показана схема поворотов исходной системы координат для получения локальной системы координат нашей задачи.
Введем следующие обозначения:
си = 1 - cos2 axxi(1 - cos aziz2), (1) ci2 = cos axxi sin axxi(1 - cos aziz2), C13 = sin aziz2 cos axxi, C22 = 1 - sin2 axxi (1 - cos aziz2), C23 = sin aziz2 sin axxi, C33 = cos aziz2-
Тогда связь между новыми и старыми координатами будет выражаться следующим образом:
Хз = CiiX - Ci2y - C13Z, X = CiiХз - C12Уз + C13Z3, Уз = C12X + C22y - C23z,
У = -С12Ж3 + С22У3 + С23 ^3,
^3 = С13 ж + С23 у + С33 г = -С13жз - С23У3 + С33^3-
В системе координат, связанной с магнитным полем, разложим скалярный потенциал Ф (В = —gradФ) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки (жзо,узо, гзо) и ограничимся членами второго порядка малости:
Ф = Ф(жзо, Узо ,гзо)+ (3)
дФ дФ
+ я-(жз — жзо) + д-(уз — Узо) +
джзо дузо
дФ . 1 д2Ф л2
+ ^-(гз — гзо ) + (жз — жзо) +
дгзо 2 джзо
1 д2Ф, л2 1 д2Ф, л2
+ 2 дуг(У3 - Узо) +2 оЩ^(z3 - Z30) +
д2Ф
+ --о—(Хз - Х30)(уз - Узо) +
+
дхзо ду зо
д2Ф дх зо дzзо д2Ф
+
ду зо дzзо
(хз - Хзо )(zз - zзо) +
(уз - Узо - Zзо).
Рассмотрим поведение потенциала в плоскости гз = гзо. Так как в точке (жзо ,узо , гзо) магнитное поле направлено по оси Z3, то в выражении для потенциала останутся только следующие члены:
1 д2 Ф 2
Ф — Ф(жзо,Узо, гзо ) = т тт^ (жз — жзо) + (4)
2 дХ2о
+
д2Ф
дХзо ду зо
1 д2Ф
(Хз - Хзо)(уз - Узо) +
+ -
2 дУ2о
(Уз - Узо)2.
Введем следующие обозначения:
1 д2Ф 1 дВ.
2 дХзо
,x3
1 д2Ф
2 дХзо 1 дBxз
= А,
(5)
2 дХзо дУзо 1 _ 2 дУЮ
2 дУзо 1 дВуз
= B,
2 дУзо
= C.
(2)
В Приложении приведены формулы (10)—(12) для нахождения величин А, В и С.
Из теории линий второго порядка известно, что квадратичную форму вида Q = Аж2 + 2Вжу + + Су2 + D можно привести путем поворота системы координат к каноническому виду Q = Л1(ж/)2 + + Л2(у')2 + D, где Л1 и Л2 являются корнями харак-
10
20
30
40
10
20
30
17.40
17.45
17.50
17.55
40 Y
Рис. 2. Поведение потенциала Ф (в усл. ед.) в окрестности некоторой точки, в которой F<0, в плоскости Х4У4 модельного поля. Стрелками показаны направления магнитного поля в рассматриваемой точке.
теристического уравнения Л2 — (А + С)А + (АС — -В2) = 0 и
Рис. 3. Вг-компонента модельного поля (в усл. ед.) при г = 0.
Л (А + С) ±У(А + С)2 — 4(АС — В2) Л1,2 = -2-• (6)
Квадратичная форма Q является эллиптической, если ее характеристические числа Л1 и Л2 отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, и гиперболической, если эти числа разных знаков. Если ввести обозначение F = Л1Л2, то форма Q будет эллиптической, если F>0, и гиперболической в случае F<0.
Если свободный член D в выражении квадратичной формы Q равен нулю, что выполняется в рассматриваемом случае, при F>0 квадратичная форма Q определяет одну единственную точку (X = 0,у' = 0), а при F<0 — две прямые ^/\[х' + + V—Л2у' = 0 и \fA~ix' — \/—Л2у' = 0, если взять, например, Л1>0 и Л2<0. В первом случае говорят о вырожденном эллипсе, во втором — о вырожденной гиперболе. Нас будет интересовать случай вырожденной гиперболы.
Таким образом, если рассмотреть разложение потенциала в системе координат, приведенной к главным осям, Х4, Y и Z4 = Zз = Z2, то вместо (4) будем иметь:
(7)
1 д2Ф
2 дХ|0
Ф — Ф(Х40 ,У40,^40) =
1 д2Ф
1 д2Ф
Л1 = 2 дХЮ =
1 д^Ф Л2 = 2 дУ4о=
F = Л1Л2 =
1 дВХ4
2 дх40 '
1 дВу4
2 ду40 ,
1 дВх4 дВу4 4 дх4 ду4
(8)
(х4 — х40 ) + (У4 — У40 )
2 ду40
На рис. 2 показано типичное поведение потенциала в окрестности некоторой точки при F<0 в системе координат Х4^^4 для модельного магнитного поля, которое мы опишем чуть ниже. ОсьХ4 направлена сверху вниз, ось Y4 — слева направо. Так как оси Х4, являются главными, то относительно них две прямые изолинии потенциала имеют симметричный вид. По этим осям направлено магнитное поле в рассматриваемой точке. На приведенном рисунке направление магнитного поля показано стрелками. В окрестности этой точки имеем типичную картину Х-точки магнитного поля. Оси Х4впредь будем называть осями магнитного пересоединения. В Приложении приведены примеры расчета некоторых дифференциальных характеристик первого порядка (дивергентных членов) магнитного поля в системе координат магнитного пересоединения Х4^^4 относительно производных в исходной системе координат — формулы (17)—(19).
Аналогичный результат был получен в работе Подгорного [11]. В этой работе рассмотрено разложение в ряд магнитного поля в окрестности особой линии в системе координат, связанной с магнитным полем. Чтобы в окрестности разложения силовые линии магнитного поля имели гиперболический
Y
4
и
2
вид, матричные коэффициенты разложения должны иметь противоположные знаки. Это согласуется с полученным в настоящей работе условием существования Х-точки: F = Л1Л2<0.
3. ОБЛАСТЬ МАГНИТНОГО
ПЕРЕСОЕДИНЕНИЯ
Чтобы понять основные закономерности задачи, рассмотрим модельное поле с четырьмя зарядами со следующими параметрами:
Xsl = 10-0, у81 = 10^0, = —1-0, qsl = 4000;
Х82 = 23-0, у82 = 17-0,
¿82
—1-0, qS2 = —2000;
Х83 = 17-0, у83 = 23-0,
¿83 = —1-0, qsз = 2000;
х84 = 30-0, у84 = 30-0,
¿84 = —1-0, qS4 = —4000-
Такое поле, очевидно, не имеет нулевых точек. Будем рассчитывать потенциальное магнитное поле с уровня г = 0 и выше.
На рис. 3 показано положение нейтральной линии Вх = 0 модельного поля при г = 0 и видимые места локализации четырех зарядов (расположенных на глубине г = —1-0 ), описывающих рассматриваемое нами потенциальное магнитное поле, а на рис. 4 — распределение F-фактора (^ = = Л1Л2) на разной высоте г = 0-0, 3-0, 7-0, 11-0. Заштрихованы области, где F<0, т.е. области, где
может происходить магнитное пересоединение. Таким образом, проводя такие области на разных уровнях по z, можно выделить пространственную (весьма сложной формы) потенциально возможную область магнитного пересоединения. Можно сказать, что всякая силовая линия по входе в эту область приоб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.