АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2008, том 42, № 4, с. 317-340
УДК 523.24
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ БЛИЗКИХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА
© 2008 г. В. А. Авдшшев, М. А. Баньщикова
НИИ прикладной математики и механики Томского госуниверситета Поступила в редакцию 29.06.2007 г.
Исследуются некоторые проблемы в определении орбит близких спутников, которые связаны со сложным характером поведения целевой функции, сильно овражной и с многочисленными минимумами, что имеет место, когда орбита спутника определяется по ряду разрозненных наблюдений, распределенных на достаточно длительном интервале времени. Эти особенности в обратных задачах рассматриваются на примере динамики близких спутников Юпитера: Амальтеи, Тебы, Адрастеи и Метиды. Построены численные модели движения спутников, параметры которых определены по имеющимся на данный момент наземным наблюдениям. Предлагается составной подход для эффективного поиска минимума целевой функции, позволяющий даже при довольно грубых начальных приближениях получить соответствующие оценки орбитальных параметров всего за несколько десятков итераций. Показано, что при наличии двух групп наблюдений (Адрастея) формальная минимизация целевой функции дает множество решений, из которых фактически не удается выбрать наилучшее с точки зрения представления орбитального движения. Даются другие оценки, характеризующие специфику исследуемых обратных задач.
PACS: 95.10.Ce, 96.30.L-, 95.10.Eg, 91.10.Sp
ВВЕДЕНИЕ
Одна из главных трудностей в определении орбиты любого близкого спутника обусловлена его быстрым движением около планеты: частота обращения спутника настолько высока, что всего за год он совершает порядка тысячи оборотов и более. Эта особенность в движении приводит к тому, что в обратных задачах целевая функция, минимизируемая по орбитальным параметрам, имеет сильно овражную структуру, что выражается в плохой обусловленности матрицы квадратичной формы, аппроксимирующей целевую функцию. Вместе с тем из теории оптимизации известно, что минимизация овражных функций весьма затруднительна и требует привлечение специальных подходов. При использовании традиционных методов типа Гаусса-Ньютона для решения таких задач итерационные схемы методов обычно плохо сходятся, причем имеют малые области сходимости, т.е. фактически их применение возможно только при очень хороших начальных приближениях.
Другая трудность связана с неоднозначностью определения спутниковой орбиты, что имеет место, когда орбитальные параметры определяются по нескольким группам наблюдений, рассредоточенным на достаточно длительном временном интервале. В данном случае целевая функция может иметь довольно много почти равнозначных минимумов, среди которых трудно узнаваем тот, что соответствует наилучшим оценкам орбитальных параметров. Поэтому даже если итерационная схема сходится, практическая ценность полученной орбиты не может быть безусловной.
В данной работе эти особенности в обратных задачах рассматриваются на примере динамики близких спутников Юпитера: Амальтеи (J5), Тебы (J14), Адрастеи (J15) и Метиды (J16).
Уже первые наблюдатели Амальтеи, Тебы, Адрастеи и Метиды (Barnard, 1892; Jewitt и др., 1979; Synnott, 1984) предпринимали попытки определить их орбитальные элементы по немногочисленным наблюдениям. Каждые новые наблюдения стимулировали исследователей к очередному уточнению спутниковых орбит. Поэтому орбита пятого спутника Юпитера, открытого еще в 1892 г. и наблюдаемого на протяжении уже более ста лет, изучена лучше, чем орбиты трех других близких спутников, которые были обнаружены только в 1979 г. Спутник Теба, в отличие от Адрастеи и Метиды, имеет гораздо более плотный ряд наблюдений, обработка которых не вызывает особых затруднений, и его орбита также определяется достаточно уверенно. Вместе с тем два последних спутника наблюдались настолько редко, что на довольно длительном интервале времени моменты их наблюдений рассредоточены всего в нескольких группах. В этой связи обработка таких наблюдений с целью уточнения орбитальных параметров сопряжена с указанными выше трудностями.
Близкие спутники движутся внутри орбит га-лилеевых спутников по почти круговым йовиэк-ваториальным орбитам на расстоянии от Юпитера 1.8-3.1 его радиусов. Ввиду чрезвычайной близости спутников к Юпитеру их движение главным образом подчинено мощному гравитацион-
ному влиянию массивной планеты, вследствие чего частоты обращения спутников очень высоки и соответствующие им периоды находятся в пределах 0.3-0.7 сут.
Первые модели движения Амальтеи были весьма просты и учитывали лишь возмущения первого порядка от сжатия Юпитера (Tisserand, 1893; Cohn, 1897). В дальнейшем для описания орбиты спутника все чаще стали прибегать к кинематическим моделям, в которых используются формулы прецессирующих кеплеровских эллипсов (Van Woerkom, 1950; Sudbury, 1969; Jacobson, 1994). Несмотря на примитивность этих моделей, они довольно хорошо (даже в соответствии с точностью современных наблюдений) представляют движение Амальтеи и поэтому до сих пор применяются для обработки наблюдений спутника (Jacobson, 1994). Впрочем, следует заметить, что Sudbury (1969), используя модель прецессирующих эллипсов, потерпел неудачу в попытке объединить в рамках одной системы орбитальных параметров ранние наблюдения с временным пробелом около 30 лет. Выдвигались гипотезы (Sudbury, 1969; Pascu, 1977), объясняющие причину этой неудачи, которые по сути сводились к несовершенству используемой модели. Тем не менее, на наш взгляд, наиболее вероятная причина фиаско кроется в характерной особенности обработки спутниковых наблюдений, о чем будет сказано ниже в основной части работы. Кроме того, следует заметить, что Jacobson (1994) все же удалось преодолеть эту трудность, не прибегая при этом к более сложным моделям. Предпринимались также попытки создания динамических моделей на основе высокоточных аналитических теорий движения Амальтеи (Кирюшенков, 1969; Аразов, 1972; Breiter, 1996), которые, насколько нам известно, не получили широкого распространения в астрономической практике. По-видимому, аналитические теории на данный момент еще дают настолько избыточно высокую точность (в сопоставлении с точностью наблюдений), что модели, построенные на их основе, пока остаются не востребованными. Что касается спутников Те-ба, Адрастея и Метида, то для интерпретации их движения, как правило, используют прецессиру-ющие эллипсы (Jacobson, 1994).
В данной работе мы прибегаем к численному интегрированию спутниковых орбит (Баньщико-ва, Авдюшев, 2006), где в качестве определяемых параметров для каждого спутника рассматриваем компоненты вектора его начального динамического состояния в фазовом пространстве прямоугольных координат и скоростей. Численные модели основаны на высокоточных дифференциальных уравнениях движения, в которых учитываются основные гравитационные силы, а также релятивистские эффекты. Как и другие авторы, мы
определяем орбитальные параметры в рамках задачи наименьших квадратов по имеющимся в настоящее время наземным наблюдениям спутников, однако для эффективного поиска решения задачи мы применяем предлагаемый нами составной подход, включающий в себя известные итерационные методы Гаусса-Ньютона и градиентного спуска совместно с так называемым проекционным методом. Вместе с тем минимизируемые целевые функции задачи исследовались на предмет множественности минимумов, а также приемлемости соответствующих оценок орбитальных параметров для описания спутникового движения.
ПРОБЛЕМА НЕОДНОЗНАЧНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ
Пусть в некотором пространстве р известны N положений небесного объекта рО в моменты времени ^ (г = 1, ..., при этом орбитальное движение объекта описывается моделью
рс = рс(/, я, Е), Е = п(1 - /о) + Ео, (1)
где я - орбитальные параметры, однозначно определяющие траекторию небесного тела; Е -быстрая переменная; п - частота, а Е0 - переменная Е в эпоху /0. При этом рс 2п-периодична по Е, т.е. рс(/, я, Е) = рс(/, я, Е + 2п).
Положим пока, что параметры я не зависят от п,
„ 2 2 , О с ч
и рассмотрим квадраты расстояний рг = р2 (рг , рг )
О с 2
между положениями рг и рг как функции п: рг =
= р2 (п). Нетрудно видеть, что функции р2 периодичны по п с соответствующими периодами 2п/(/ - /0). В силу этого, очевидно, среднеквадра-тическая величина
N
а2 = N 2р2 (2)
г = 1
будет иметь бесконечное множество минимумов вдоль п. Следовательно, минимизация а2 по п будет давать множество решений, из которых только одно соответствует истинной частоте п.
Орбиты близких спутников могут быть также представлены в виде (1), где, однако, некоторые из параметров я (такие как, например, большая полуось или фокальный параметр) непосредственно связаны с частотой п. Поэтому, вообще 2
говоря, рг оказываются не периодичными по п. Тем не менее при достаточно больших величинах / - /0 функции р2 в окрестности истинной частоты п будут очень близки к рассмотренным выше периодическим составляющим и, следовательно, про-
р/2л
а
Рис. 1. Поведение функции f = а2 + 2(1 + а)(1 - cos ф) при X = 10.
блема множественности минимумов для а2 здесь также будет иметь место.
Характерная особенность в поведении а2 относительно п раскрывает генезис проблемы множественности решений, которая реально может возникать в обратных задачах динамики близких спутников. Действительно, на практике орбитальные параметры спутника, как правило, определяются из условия достижения минимума некоторой функции вида (2), которая выражает степень близости наблюдаемых и моделируемых положений объекта в пространстве р. По крайней мере, один из параметров обязательно связан с частотой п, но это обстоятельство как раз и становится причиной неоднозначного определения спутниковой орбиты.
Рассмотрим подробнее проблему множественности решений на примере круговой задачи, где легко удается получить довольно ясные и в то же время полезные для практики результаты, позволяющие, кроме того, оценить всю важность исследуемой проблемы.
КРУГОВАЯ ЗАДАЧА
В комплексной плоскости круговую орбиту можно представить как
х = аеЕ, Е = п (г - г0) + Е0, п = л/ц / а , (3)
где х - полож
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.