УДК 521.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ ОРБИТЫ ДЛЯ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ПЛОСКОСТИ ЭКЛИПТИКИ, С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ЛАПЛАСА © 2012 г. В. Б. Кузнецов
Институт прикладной астрономии РАН, Санкт-Петербург Поступила в редакцию 20.12.2010 г.
В данной работе представлена модификация метода Лапласа для определения предварительной орбиты тела, движущегося в плоскости эклиптики. Показано, что по трем близким положениям на небесной сфере можно определить параболическую орбиту в тех случаях, когда классический метод Лапласа непригоден. Проведена численная оценка числа возможных решений, показано их пространственное распределение в зависимости от начальных условий. Приведен пример определения орбиты кометы Лулинь 2007 N3.
ВВЕДЕНИЕ
При определении предварительной орбиты небесного тела произвольного вида, как правило, достаточно трех наблюдений (Субботин, 1968). Однако в ряде ситуаций, например, когда небесное тело движется в плоскости эклиптики, такого числа недостаточно. Три наблюдения дают три угла и не позволяют определить четыре элемента орбиты. Для определения орбит в плоскости эклиптики по четырем наблюдениям существует специальный метод Гаусса. Для наблюдений, разделенных небольшими промежутками времени, лучше всего подходит метод Лапласа (Херрик, 1977), возможность применения которого к эклиптическим орбитам мы и рассмотрим в дальнейшем.
Из (1) с помощью дифференцирования по времени можно получить следующее уравнение
r = eр + ep - R,
(2)
где точками обозначены производные по времени. Дифференцирование по времени уравнения (2) приводит к следующему уравнению
Г = eр + 2eр + ep - R.
(3)
После подстановки в него ньютоновых уравнений для ускорения объекта
Г- k Г
г — —-Г
1 3 1,
r
(4)
МЕТОД ЛАПЛАСА
Пусть у нас имеются наблюдения объекта, проведенные в моменты времени ?2 и t3, в которые определены векторы положения центра притяжения и направления на объект.
Теперь рассмотрим основное соотношение между геоцентрическими и гелиоцентрическими координатами объекта в некий момент времени ^
ep - R,
(1)
где к = 0.01720209895 — постоянная Гаусса, и ускорения, направленного противоположно ускорению Земли
R = ~ R, R
получим
e р + 2e р + e р = —кг
ep- R+_R r3 R3
(5)
(6)
где e = {cos X cos P, sin X cos P, sin P} — единичный вектор направления на объект (здесь и далее рассматриваем эклиптические координаты объекта), R = {X, Y, Z} — вектор положения центра притяжения относительно наблюдателя (также в эклиптических координатах), г — вектор положения объекта относительно Солнца, р — расстояние между наблюдателем и объектом.
Уравнение (6) вместе с уравнением (1), возведенным в квадрат
= р2 - 2(eR)p + R2,
(7)
где через (вЯ) обозначено скалярное произведение векторов в и Я, образуют основную систему уравнений метода Лапласа.
2
После подстановки (7) в (6) получим
e p + 2e р + e
1 2 k р
Rk
(р2 - 2(eR)p + R2) 1
3/2
r3 (р2 - 2(eR)p + R2)
3/2
(8)
= 0.
Векторное уравнение (8) по трем компонентам — «x», 'у и "¿' — содержит три неизвестных: р, р, (3. Таким образом, в общем случае, решая его методом исключения или методом обращения матриц, мы получаем искомые значения р, р, р, с их помощью определяем векторы гелиоцентрического положения и скорости, а затем и элементы орбиты. Обычно, при наличии трех наблюдений, орбита вычисляется для среднего момента времени тогда мы будем рассматривать е = е2 и И = И2. Выражения для производных по времени вектора е можно представить с помощью следующих формул численного интегрирования 1-го и 2-го порядка (Херрик, 1977), производные для Я можно получить из эфемерид:
е3 ((2 - ti)2 + e2 (( -12)2 - (( - ti)2) - e, ((3 -12)2
(t2 - ti )((3 - 12 )((3 - ti)
„ _ 2 (3 (t2 - ti))- e2 ((3 - ti) + et ((3 -12)) (t2 - ti )((з - (2 )((з - ti) '
(9)
e_
СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ ЭКЛИПТИКИ
Теперь рассмотрим случай, когда наблюдаемый объект движется в плоскости эклиптики. Тогда векторное уравнение (8) будет иметь только две компоненты "x" и "y" (в эклиптических координатах) и разрешить его относительно трех неизвестных невозможно. Необходимо привлечь дополнительное (четвертое) наблюдение. Один из возможных способов решения для четырех наблюдений представлен в работе (Baker и др., 1977).
Если четвертое наблюдение недоступно, то недостаток начальных данных об орбите тела необходимо компенсировать рассмотрением не всех возможных типов конических сечений, а их подмножества, ограниченного по одному из параметров.
Наиболее подходящим здесь является большая полуось орбиты. Рассмотрим интеграл энергии
.2 2k r = —
2
2
(10)
__к_
г а
Здесь, фиксируя значение большой полуоси a, можно получить дополнительное уравнение, связывающее р и (р.
Метод Лапласа для эклиптической орбиты
Рассмотрим метод Лапласа для эклиптической орбиты. Для начала дополним уравнение (8) условием интеграла энергии. Для этого подставим (1) и (2) в (10) и с учетом того, что (ее) = 0:
р2 - 2(eR)p + ё2р2 - 2(eR)p + R2 =
2k2
Л
p2 - 2(eR)p + R2
.kL
a
(11)
Система уравнений (8) и (11) является базовой для определения эклиптической орбиты по методу Лапласа, она удовлетворяет как общему (тогда она избыточна), так и компланарному случаям.
Рассмотрим векторное уравнение (8) в плоскости эклиптики (XY), тогда (8) можно представить в виде системы двух скалярных уравнений:
ёхр + 2exp + ex
Xk
12 k p
(p2 - 2(eR)p + R2)
3/2
R3 (( -
(p2 - 2(eR)p + R2)
3/2
= 0,
ё^ + 2ёyp + ey
2
k p
(p2 - 2(eR)p + R2)
3/2
Yk2
i
R3
(p2 - 2(eR)p + R2)
= 0.
(12)
Теперь перейдем от системы из двух уравнений относительно трех переменных к одному уравнению относительно двух переменных. Для этого выразим р через р и р в обоих уравнениях (12) и приравняем эти выражения. После несложных преобразований мы можем получить выражение для р:
(ёхёу - ёуёх )р + k (ёхУ - ёуХ)
Р = ■
(р2 - 2(eR)p + R2 )-3/2 - R
2(ёхёу ёуёх)
(13)
Уравнение (13) вместе с уравнением (11) составляют систему для определения эклиптической орбиты. Перейдем от двух переменных к одной: р. Для этого запишем (13) в виде:
р = Ар + В (р2 - 2(еК)р + Я2У''2 + С, (14)
где
А1 =
(ёхву - ёувх) к (вхУ - вуХ)
•> В1 =
2(ехёу - вуёх)
2(ехёу - еуех)
к 2_еГ-еуХ1_ В1
С1 - г - г .
Я3 2(ёхёу - ёуёх) Я3
Затем подставим уравнение (14) в (11) и получим:
(А1р + В1 (р2 - 2(еЯ)р + Я2) + С1
2(е1) (А1р + В1 (р2 - 2(еЯ)р + Я2)2 + С1) + (15)
ё2р2 - 2(еII)р + Я
2
2к
^р2 - 2(еЯ)р + Я2
7р2 - 2(еЯ)р + Я2 = ((А2Р2 + В2Р + С2)
х (р2 - 2(еЯ)р + Я2)3 + Х>2р2 + Е2р + ¥2
= (2р + Н)(р2 - 2(еЯ)р + Я2)2 + + /2 (р2 - 2(еЯ)р + Я2)3,
(16)
ням р получим искомое уравнение в виде полинома 18-й степени:
т 18 , т 17 , т 16 , г 15 , г 14 , г 13 ,
J1p + J 2р + J 3р + J 4р + J 5р + J 6р +
+ J 7Р12 + J8Р11 + J 9Р10 + /юр9 + J цр8 + /12Р7 + + ЛзР6 + /l4р5 + ^5Р4 + / 16Р3 +
(17)
+ / 17Р + / 18Р + /l9 = 0,
где
/l = Аь
/2 = 2А2В2 - 14А22(еЯ),
/3 = В22 - 28А2В2(еЯ) + 7А22Я2 + 84А22(еК)2 + 2А2С2,
2В2^2Я8 - /2Я12
В4 я14
¥2Я2 -
Все рациональные и положительные корни (р > 0) уравнения (15) должны удовлетворять искомой эклиптической орбите. Уравнение (15) зависит только от одной переменной р, которая входит в него с рациональными показателями степени, следовательно, оно после раскрытия радикалов может быть преобразовано в полином относительно р. Оценим степень этого полинома, это даст нам верхнюю границу числа возможных корней. Для начала раскроем скобки в (15) и соберем слева все члены со степенью 3/2:
где
А2 = А2Я6, В2 = -2А1В1Я3 - 2А1(еИ)Я6, С2 = В2 + 2В1(е1)Я3, Б2 = ё2, Е2 = -2(еII),
к 2
Г2 = Я2 + в2Я6 + —, 02 = -2А1В1Я6, а
Н2 = 2(е1!)В1Я6 + 2В12Я3, /2 = 2к2Я6.
После возведения обеих частей уравнения (16) в квадрат и приведения подобных членов по степе-
/19 - -Н2Я - 2Н2/2Я10.
Таким образом, максимальное число корней не превосходит 18. Уравнение (17) не представляет практического интереса, так как его коэффициенты получаются менее точными, чем коэффициенты уравнения (15), которое и следует решать.
После того, как найдено значение р, необходимо исправить моменты наблюдения за аберрационное время и перейти к исправленным моментам времени (/ = 1, 2, 3). Затем следует перевычислить производные (9) и повторить весь процесс вычислений до получения нового значения р во втором приближении. Этот итерационный процесс нужно продолжать до тех пор, пока новые значения р будут отличаться от старых на значимое число знаков.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
После того, как мы найдем окончательное значение р из решения уравнения (15) или родственного ему, можно из (14) найти р. Затем по формулам (1) и (2) можно вычислить г и г.
Наиболее известные частные случаи для эклиптических орбит:
♦ круговая орбита (а = г);
♦ параболическая орбита (а = да).
Единственный вариант, для которого в настоящее время известно решение в плоскости эклиптики, на любых интервалах времени, это случай круговой орбиты (Быков, 1989). Для определения круговой орбиты по методу Лапласа достаточно двух наблюдений (Вильев, 1938).
Рассмотрим параболическое движение. Этот тип движения хорошо подходит для определения предварительных орбит как долгопериодических, так и гиперболических комет (с эксцентриситетом немногим больше 1). Для определения пара-
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
X, а. е.
Рис. 1. Максимально возможное число решений по всем ю.
болической орбиты в плоскости эклиптики известна модификация метода Ольберса (Дубошин, 1976; Субботин, 1959). Однако этот метод хорош для тех же интервалов времени между наблюдениями, что и метод Гаусса. При малых интервалах времени следует рассмотреть метод Лапласа.
Вычислим элементы параболической орбиты:
♦ i - наклон орбиты (0° или 180°);
♦ q - перигелийное расстояние;
♦ w - долгота перицентра;
♦ T0 - момент прохождения перигелия.
Определение значения наклона плоскости орбиты к плоскости эклиптики i = 0° или i = 180° производится по знаку следующего выражения:
sign ((R х R) (г х Г)).
(18)
Если (18) положительно, то движение объекта прямое, если отрицательно, то обратное.
Далее, по формулам (Дубошин, 1976), учитывая что t = находим остальные элементы орбиты:
q = r
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.