МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 533.6.011+536.24
© 2008 г. М. Н. КОГАН, А. Н. КУЧЕРОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТРЕХМЕРНОЙ ОБЛАСТИ ВЫДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ДАВЛЕНИЯ
Анализируется трехмерное стационарное сверхзвуковое течение со слабым тепловыделением. Рассматриваются две сопряженные задачи: определение сил, действующих на окружающие заданный тепловой источник поверхности, и определение области выделения и количества выделенного тепла по измерению давления в окружающем пространстве. Указаны особенности трехмерного течения. Характерные свойства трехмерного течения иллюстрируются на примере сферического гауссова источника.
Ключевые слова: тепловой источник, мощность, сверхзвуковой поток, пластина, давление, сила.
Рассматривается обтекание области тепловыделения сверхзвуковым потоком газа. Подобные области создаются сгоранием топлива и другими химическими реакциями, электрическими разрядами [1-5], лазерным излучением [6]. Области с выделением тепла рассматриваются, в частности, в качестве средства управления силами и тепловыми потоками на близлежащих поверхностях. В задачах обтекания тел сверхзвуковым потоком области тепловыделения используются для уменьшения сопротивления, нагревания летательных аппаратов или в качестве органа управления ими [1, 2, 5, 7].
Отметим некоторые конкретные стационарные решения, полученные в рамках линейной теории [8-13]. В [8] решена плоская задача об обтекании слабого точечного источника тепла сверхзвуковым потоком. В [9] получено решение об обтекании бесконечно тонкого факела (нити, конечной по потоку длины) сверхзвуковым потоком, проинтегрированное в [10] для цилиндрического источника конечной толщины. В [11] получено решение для энергоисточника сферической формы. В [12, 13] получены решения для распределенных источников тепла в дозвуковом и сверхзвуковом потоке.
Представляет интерес и обратная задача определения выделенной энергии и области ее выделения по распределению давления по выбранной поверхности [5]. Часто бывает трудно установить завершенность химических реакций. Спектроскопические измерения, в принципе, позволяют обнаружить как линии излучения от продуктов реакций, так и от молекул радикалов, участвующих в различных стадиях реакции. Однако при сложной конфигурации области выделения тепла по этим измерениям трудно определить геометрию области выделения тепла и распределение интенсивности его выделения. В большинстве случаев выделение энергии определяется путем измерения температуры потока. Однако, и здесь возникают трудности, так как датчик может измерять не только энергию, передаваемую ему нейтральными молекулами нагреваемого газа, но и энергию, выделяемую возбужденными радикалами на поверхности датчика. Отмеченные факторы указывают на необходимость разработки альтернативных методов определения выделяемой энергии и областей ее выделения. В настоящей работе этой проблеме уделяется особое внимание.
1. Постановка задачи. Рассмотрим обтекание трехмерной области О выделения тепловой энергии потоком сжимаемого невязкого газа со скоростью и0, давлением р0 и плотностью р0. Уравнения движения можно записать в виде
дрих дриу дриг Эх Эу дг
д их др „ диу др „ диг д р „ „
рих эх + дх = 0' рих эХ + др = 0' рихэх + э!? = 0 (1Л)
д ур др _
рихдх(у-Г)р - ихих _ 9
где q - энергия, выделяемая в единице объема в единицу времени, у - постоянная адиабаты. Пусть возмущающая течение величина q мала, так что
р _ ро + р\' р _ Ро + Р1> их _ и0 + их1. иу _ иу1. иг _ иг1 где все величины с индексом 1 малы. Линеаризуя уравнения (1.1), имеем диг, диу1 диг1 др,
Ро "ЭТ + Ро "э7 + Ро "Э# + и0 = 0 (1.2)
д их1 д р, д иу1 д р, диг, д р,
Р0и0"Э^ = Р0и0 "э7 + ¿у = 0' Р0и0"Э7 + ^ = 0 а3)
У д гр, РЛ др, ,, „
р0и0Т-1 дх ^ - и0 ах- _ 9 (1.4)
Уравнение (1.4) с использованием уравнений (1.2) и (1.3) можно привести к виду
(1_ м2 + ^ + _ (1^19 (15)
(1 м > д х + д у + д г у р 0 ( )
где М = и0/а0 - число Маха и а0 - скорость звука в набегающем течении. Далее для сокращения письма введем обозначение в = л/м 2-1.
Проинтегрируем уравнения (1.2)-(1.5) по г от г = до г = принимая, что на бесконечности все возмущения при х < и М > 1 равны нулю. Начало координат х = у = г = 0 поместим в области выделения тепла О (фиг.1). Тогда имеем:
р2эи _ ж _ (у - 1 >6
дх ду ур0
д и дР „ д V дР
'ах + ах = 0' р0и0ах + ду
Р0и0¿г + 57 _ 0' Р0и0д7 + — _0, ^ _0 (1.6)
и(х, у) _ | их1йг, V _ | иу 1 йг, W _ | иг1йг, Р _ | р1 йг, 6 _ | цйг
—^ —^ —^ —^ —^
где и, V, Р, 6 - интегралы по г от соответствующих величин. Полученные уравнения (1.6) для всех проинтегрированных по г искомых величин совпадают с хорошо известными уравнениями для двухмерного течения (смотрите, например [13]). Соответ-
Фиг. 1. Область тепловыделения G в форме шара на расстоянии |y0| от пластины М > 1. Сечение плоскостью г = 0. Характеристики FD, BE есть n = const, FFj, BB1 - Е = const
ственно и решения для этих случаев одинаковы при одинаковых Q(x, y). Однако структура течений для двухмерного и трехмерного случаев различна. В физически двухмерном течении иг = 0 и все другие величины постоянны по г. В рассматриваемом здесь трехмерном течении в уравнения (1.6) входят интегралы по г от, в общем случае, переменных по г величин. Ниже, в отличие от физически двумерного течения, под двухмерным случаем понимается двухмерная система уравнений (1.6).
Исключая P из второго и третьего уравнений (1.6) и вводя характеристики Е, П, получаем соотношения вдоль характеристик:
Е = x/p - y, n = x/p + y (1.7)
n
V- pU = i-LlI) [ Qdn', Е = const (1.8)
2jpn J
о ^
V + p U = -^Y—^ [ QdE', n = const (1.9)
2Уро J
Из уравнений (1.2)-(1.6) следует для трехмерного случая и для двухмерного случаев соответственно:
Pi(х У, г) = -роUoUxi(х, y, г)
( ) PoUo Х Г(у -1) ( ) -Uy1 диг
p1( х, y, г) = —2- I --- q(х, y, г) - ---^
M -1 JJ YPo -У дг
P(х, y) = -роUoU(х, y)
(1.10)
dx
P(х, y) = ipU- | Q(х, y) -Э-^У)■
M2 - 1 J L YPo -у
(1.11)
dx
Фиг. 2. Распределение давления по х для источника (без пластины, у0 ^ в трехмерном рп (кривая 1) и двухмерном Р1 (2) случаях (а), распределения рп по г (у = 0): 1 - х = 0, 2 - х = хА = 2.14г0,3 - х = хв = МхА = 4.28г0, 4 - х = 15г0; М = 2, у = 1.4 (•)
Первое из уравнений в (1.10) и (1.11) справедливо во всех точках течения. Второе справедливо вдоль характеристик третьего семейства (линий тока) при переменных x и постоянных у и z.
Будем рассматривать течение только с выделением тепла, т.е. положим q > 0. В этом случае из соотношений (1.8) и (1.9) вдоль характеристик следует, что U < 0 и из первого уравнения (1.11), что давление P > 0. Эти неравенства выполняются и в физически двухмерном случае, когда реальное физическое возмущение давления, вызванное выделением тепла, везде положительно. В рассматриваемом здесь трехмерном случае это условие может не выполняться для реально измеряемого давления, но должно выполняться для интегралов от давления вдоль линий с переменными x и постоянными у.
Проиллюстрируем это на сферической области выделения тепла. Рассмотрим гауссово распределение выделения тепла:
2 2 2 2 ^
= eXP ( -( Х+ УГ + Z)/r° -, qo = I Z = J JJqdxdydz (1.12)
qo njn ro J
Здесь r0 - гауссов радиус, Z - суммарное выделение тепла в области G. Согласно (1.12) формально выделение тепла имеет место до бесконечности. Введем эффективный радиус R = 2.14r0 сферической области выделения тепла G из условия q(R)/q(0) = 0.01. Численное решение системы уравнений (1.2)-(1.6) получено по схеме (алгоритму) Мак-Кормака второго порядка аппроксимации по всем координатам [14].
Рассмотрим картину течения в плоскости z = 0, без пластины в безграничном пространстве. Проведем касательные к области G характеристические плоскости n = const и £ = const (фиг. 1). Из соотношений (1.8) и (1.9) видно, что вниз по потоку от характеристик, проходящих через точку B, величины U и V равны нулю и, согласно первому уравнению (1.11), величина P также равна нулю. На фиг. 2, а показаны безразмерные распределения возмущений давления вдоль оси x (у = z = 0) для сферического источника в
трехмерном pn = pi/ep0 и двухмерном P1 = P/ep0 r0 случаях соответственно. Здесь
р _ (у - 1)Z
Ь _ 2 Y uo Po ro
A, B
Фиг. 3. Распределение вдоль х величин А (1) и В (2); источник без пластины, М = 2, у = 1.4, хА = 2.14г0, хВ = 4.28г0
масштаб возмущения газодинамических величин. В пространственном течении возмущение давления p1 в области вниз по течению от характеристических поверхностей, проходящих через точку B, не равно нулю и может быть отрицательным. Этот факт еще более отчетливо виден на фиг. 2, б, где показаны распределения p1 по координате z в различных плоскостях x = const (при y = 0). Интегралы от p1 по z в сечениях x = const, лежащих вверх по потоку от точки B, положительны, а в сечениях x = const, расположенных вниз по потоку от этой точки, - равны нулю. Наличие отрицательных возмущений давления, обусловленных выделением тепла, и областей, в которых интегралы от функции возмущения давления равны нулю, являются важными особенностями трехмерного течения с выделением тепла. Важная роль этих особенностей будет видна ниже в разделе 2. Например, вдоль оси, проходящей через центр сферы вниз по потоку от точки B, имеем
ím 6 (°) dX = í
dV ( x,°) Эу
dx
(1.13)
Интеграл в левой части уравнения (1.13) постоянен вниз по потоку от точки А, так как Q = 0 при х > хА, и положителен (приняли q > 0). Тогда и правый интеграл положителен, и положительные величины дУ/ду должны превалировать в правом интеграле от точки С до точки В, в которой уже справедливо равенство (1.13), т.е. в этом интервале превалирует торможение и растекание потока. Для сферической области выделения тепла на фиг. 3 показано распределение вдоль координаты х величин А и В, входящих соответственно в уравнения (1.11) и (1.10)
A = уМ dV J_
= М2 - I3)- е м°'
B = YM2 гд и у ! + Э^Л М _ 11. Эу Эz Je u°
Для двухмерного случая, как и следовало ожидать из только что сказанного выше, дУ/ду только положительно. В трехмерном течении имеется область, в которой диу1/ду + диг1/дг становится отрица
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.