МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Ю.И. БУТЕНКО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРАНСЛОЕВ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛОС. Ч. 1.
Предлагается точное решение задачи погранслоя (убывающего от края напряженно-деформированного состояния) для трехслойных полос (стержней) из различных материалов слоев. Методом асимптотического интегрирования получены собственные пограничные функции и характеристическое уравнение для определения параметра, описывающего скорость затухания погранслоя. Выясняется влияние материала среднего слоя на зону распространения погранслоя.
1. Постановка задачи краевого эффекта для слоя. В последнее время в литературе широко обсуждается вопрос об уточнении напряженно-деформированного состояния (НДС) у краев многослойных конструкций [1-6, 9]. Для этого кроме решения внутренней задачи необходимо для каждого слоя иметь решение задачи погранслоя, что и является целью данной работы для многослойных полос в точной постановке плоской задачи теории упругости.
Рассмотрим плоскую задачу погранслоев в трехслойных полосах размерами 2H х l в физически и геометрически линейной постановке. Будем считать, что среда состоит из трех ортотропных слоев, отсчет которых ведется от нижнего слоя. Каждый k-слой имеет толщину 2hk (H = h1 + h2 + h3) и описывается индивидуальной системой координат xkyk, в которой ось xk связана со средней линией полосы, а ось yk нормальна к ней. Оси орто-тропии всех слоев совпадают между собой и с осями координат.
Для k-слоя задача погранслоя описывается однородными уравнениями равновесия
3oXk )/Э xk + ЭтХ? / Э yk = 0, ЭтХ?/Э xk + ЭоУk) / Э yk = 0 (1.1)
и физическими соотношениями ортотропного тела
ík) R(k)dU(k) + R(k)3y(k) rn R(k)3U(k) + R(k)3V(k)
°x = Bl1 "э^+ Bl2 "эУ7' °y = 21 -jx- + "ЭУ7 (1.2)
Xxky) = G1k2)(3 U(k)/dyk + dy(k)/dxk)
Здесь o|;k) - компоненты тензора напряжений, ü(k) (U(k), V(k)) - вектор перемещения,
n(k) n( k)
G-j - модули сдвига в соответствующих плоскостях, а Bj - некоторые постоянные,
которые выражаются через модули упругости E<(k) и коэффициенты Пуассона v jk) (i, j = 1, 2) следующим образом:
F(k) F(k )v(k) (k)v( k) (k)
B (k) = E1 B (k) = E1 V 12 B (k) = E2 V 21 B (k) = E 2 11 1 - v (k)v (k)' 12 1 - v (k)v (k)' 21 1 - v (k)v (k)' 22 1 v (k)v (k)
1 v12 v21 1 v12 v21 1 v12 v21 1- v12 v21
В соотношениях (1.1)—(1.2) переходим к безразмерным координатам и перемещениям
= xk/l, Zk = ykl H, u(k) = U(k) /l, V(k) = V(k) /1
где l - длина полосы, H - полутолщина стержня. При этом появляются е = H/l - малый геометрический параметр и ak = hk/H - безразмерная полутолщина слоя (a1 + a2 + a = 1). Тогда уравнения плоской задачи теории упругости ортотропного слоя принимают вид
еЭа?) / Э^ + Эт®/dZk = 0, еЭт®/Э^ + dayk)/dZk = 0 (1.3)
Л (k) (k) (k) (k)
(k) (k)du e-i (k )du (k) (k)du e-i (k )du
= e Bl2"aZk~' °y = В21Ж e B22"ack"
(1.4)
/ л (k) (k)N
T(k) _ ^(k)( -1 ОМ__Л
Txy = Gl2 Iе 3Zk +
Рассмотрим погранслой у кромки = const для чего проведем растяжение координаты = te. Уравнения погранслоя примут вид
За® Эт® Эт® ЭОУ k)
—— + —XL = 0 —+ —y— = 0 (15)
э tk + dZk ' d tk + э Zk
„(k) e"i(D(k)du(k) , D(k)du(k)Л (к) -1 ( дад«® ^n(k)dv(k) av = e i в,, + I, a„ = e i в, + в
zk
x " ^11 эt, 3Ck / u> - ° r21 дt, "22 3Ck
/Л (k) (k)
T(k) ^(k)e-1(du , du T = G12 e ^гт:—+
(1.6)
- -12 - ^ dCt дt,
Уравнения (1.5)—(1.6) описывают плоский погранслой для к-го слоя.
2. Решение задачи краевого эффекта для слоя. Решение задачи погранслоя (1.5)—(1.6)
ищем в виде асимптотического представления
(_(к) (к) т(к), ^ е^/_(к)5 _(к)5 (к)!)
5 = 0 (2.1) .(к) „(к)) _ ^е4 +1^.(к)5 Лк)5\
5 = 0
, (k) (k). V"1 q + 1/ (k)s (k) s, ,
(u , u ) = ^ e (u , u ), q = s + k
Здесь 5 - показатель порядка асимптотического разложения, а к - параметр, который выбирается из условия согласования краевых условий внутренней задачи и задачи погранслоя.
После подстановки (2.1) в уравнения плоской задачи погранслоя (1.5)-(1.6) для коэффициентов ряда получим следующие уравнения равновесия
ЭоХк)5 Эт®5 Эт®5 ЭоУк) 5
^ + -ТТ = 0, + "5?- = 0 (2.2)
о г к дСк Ык дСк
и соотношения упругости
л (к)5 Л (к)5 Л (к)5 Л (к)5
(к) 5 д(к)Эм_ д(к)Эц_ (к) 5 (к )ди_ д(к)Эц_
дгк д1ък дгк о^к (2.3)
Тху = °12 (ди /дСк + /Э)
Из уравнений (2.2)-(2.3) видно, что на каждом этапе ^ для каждого слоя решается плоская задача теории упругости на неизвестном пока протяжении, на котором имеет место погранслой.
Решение задачи проводим в перемещениях и®5, и®5, для определения которых имеем уравнения
Л2 (к) 5
Э и Э?2
+ V
Л2 (к) 5
(к )Э И
1 "Ж
+ V
Л2 (к) 5 Л2 (к) 5
(к )Э V Э V
э?2
эск
+ V,
Л2 к (5)
(к)Э V
2 Э ?к ЭС к
-.2 (к)5
(к)Э И
Э ?к ЭСк
= 0
= 0
(2.4)
V
(к)
п(к) 012
1 - в(к)' ^ - в(к) '
(к)
(г(к) + в (к)) (012 + В12 )
V
(к)
к) 012
в
(к)'
22
V
(к)
Лк)
3 (к К
(о 12' + В21)
в
(к)
22
11 11
Решение однородной системы уравнений для слоя (2.4) ищем в виде метода Фурье, для чего компоненты вектора перемещения представим в виде
и(к)5(Ск)
(к). -Х>к (к)у . (к). -Х>к И (Ск)е , и (Ск) - "2 (Ск)е
(2.5)
«1 " ^к> ^ - и2 ^^к^ где X > 0 - показатель скорости изменяемости (убывания) погранслоя.
После подстановки (2.5) в систему уравнений (2.4) получим однородную систему для
. ц (к) 5 (к) 5
определения изменяемости функций и1 и и2 по толщине слоя
2 (к) 5
X2 и(к) 5 + v(к)
*
(к) 5 (к). "и2
- V" х * С,
V«* )Х2»<*)' +
2 (к) 5
* И
* с
(к )Х *И1
2 - ^
((к) 5)
-0
Соотношения упругости (2.3) записываются в виде
_(к) 5 д(к) - В11
(к)5 (к) *и2
(к) «Л
-X "1 + V
12
* с*
-Х^
_( к) 5 ху
- о
*и1
(к)5
* Ск
■ - Хи
(к) 5
-Хг„
Л к) 5 д( к) - В22
(к) 5
(кК ..(к)5
* с*
■- V21 Х"1
-Хг„
(2.6)
(2.7)
Решение системы (2.6) ищем в форме
к ( 5)
С(к)
к (5 )
С2 к)5е^
(2.8)
„(к) 5 „(к)5 ,
где С1 , С2 - постоянные интегрирования к-го слоя.
После подстановки (2.8) в (2.6) приходим к однородной алгебраической системе урав-
„(к) 5 „(к) 5
нений относительно постоянных С1 , С2 :
МкУ + X2)с(к)5 - v2k)Xyс2к)5 - 0 -^к)ХуС1к)5 + (у2 + v3k)Х2) С2к)5 - (
(2.9)
3
Наличие ненулевого решения требует, чтобы определитель коэффициентов этой системы был равен нулю. Из этого условия следует алгебраическое уравнение относительно у:
(k) 4 (k) (k) (k) (k). 2 (k). 4
v1 y + Л( 1+ v1 Y, - v2 v4 )y + v3 Л
0
(2.10)
Это уравнение хорошо изучено [2] и его корни имеют вид
1+ v(k )v(k) v( kVk) i
(k)2 л 2 1 + v1 V3 - V2 V4 2 1 y 1, 2 = - Л -—-±Л
2 v1
(k)
2v1
(k)
(k)
„( k) (k) (k) (k) (k К2 , (k) (k)
D = (1 + v1 v3 - v2 v4 ) -4v1 v3
В зависимости от значений упругих постоянных характеристическое уравнение имеет следующие корни: Задача А при 0<к) = 0:
Y (k)2 = i xp(k), y 3k4 = - i ^p(k), p(k) = .
Задача В при 0(к> > 0:
г(к)2 - ±ар(к), у3к4 - ±ар2к)
(k)
Р1
p2k)
1 -[ 1+v(k)v3k) - v2k)v4k)-JD^]
2v1
(k )L
1 ri (k) (k) (k) (k) /„( k
- [ 1 + v1 v3 - v2 v4 WD ]
.(k )L
/2 vГ
Задача С при 0(к) < 0:
(к) , (к), .„( к) (к) у 1-4 - ± а ± 1 в , а
v(k )vf)-1 (1+ v( k)v3k) - v2k )v4kV
2v1
(k)
в
(k)
(k) (k) (k) (k) (k) (k) ' v1 ^3+2-(1 + v1 V3 - v2 v4 )
2v1
(k)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
В соотношениях (2.11)-(2.13) а(к), р(к), р(к), р2к) > 0.
Решение задачи А при корнях Y (2.11) записывается в виде
(k) s
(k) . (k)s 1 (k) . (k)s
q1 A1 - лq2 a2
cos xp(k )Zk +
(k) . (k)s 1 (k) . (k)s
q1 A3 + лq2 A4
sin лр( k )Zk +
+ q( k)( A2k) SZk sin Лр( k)Zk + Af) sZk cos Лр( k)Zk)
(k) s
q(k) =
A(k)s sin Лр- Zk - Ai'Xk cos *pw Zk - A3"s cos Лр- Zk + A^'Zk sin *pw Zk
,(k Ь
,(k)
(k V
,(k Ь
.(k)sy
,(k Ь
(2.14)
v(k )P(k)
v2 p (k) = , (k ) „ ( k) 2' q2 =
1- vr p1-
v2k)(1+ v( k)p( k)2) (1 - v (k) p (k) 2) 2
2
Напряжения в k-ом слое имеют вид
G
(k ) s
- b( f[( b(k }Xa[ k)s - bf Af)S ) cos Xßk Zk + ( ЬГ1ЛГ + bï'AZ" ) sin Xßw Zk +
>(k )
( k) 1 л
(k)s ,(k) .(k)s.
j( k)y
+ b(k)X( A2k) s Zk sin Xß(k)Zk + Afs Zk cos Xß( k)Zk )] ^'
G
(k ) s
= - b22)[( bf )àa( k)s - bf A?)s ) cos Xßk Zk + ( ЬГ XAks + b^'A^'* ) sin Xßw Zk +
j(k )
(kb k)» Jk),(k)
j( k),
+ bf X( Af * Zk sin Xß(k)Zk + A4k) s Zk cos Xß( k)Zk )] ^'
< k) s
G(k2)[-(bK54XA\k,s - bfA?")sinXßwZk + (bK54XA\k,s + b^'A;'*)cosXßkZk +
kh л(k)S ,(kb(k)s,
,(k )
(kh л (k)s , u(k) л (k)s,
,(k Ь
+ bfX( A2k) s Zk cos Xß(k)Zk - A4k) s Zk sin Xß(k)Zk )] ^
(2.15)
b(k) = ß
(k )
,( k)
1 Л,( k)R( k)2 1-V1 ß
- V
7(k) V 2k) ( 1 + V (k) ß (k) 2 )
'2 - ( 1 - V (k) ß (k) 2 ) 2
-V
(k ) 12
bf - ß
(k )
,(k )
21
V
(k )
2
( k)n(k ) 2
-1
1- V1 ß
, ( k) b4 - V21
( k )v2 k )( 1 + v( k)ß(k )2 )
( 1- v( k)ß(k )2 )2
-1
b5k )
1+
(k )„( k) 2 V 2 ß
1 - v (k) ß (k) 2'
( k)
( k)n(k )
2 vr ß
( 1- v( k)ß(k ) 2 )2
В частном случае для изотропного материала слоя
,( k)
1, v1
(k )
1-V
( k)
,(k )
1+V
( k)
(k) , (k)
Vj + V
2
где V( 2 = v2 k) = V(k) - коэффициент Пуассона. Тогда
-, (k)
b(k) -1- V(k), b2k) V(k),
, .( k)
(k )
,( k )
(k )
bT' - vw -1, К - V
,( k) 1 + V1
( k)
(k ) V2
-1
b5k )
2, b6k)
2/v
( k)
и при выполнении статических краевых условии на лицевых поверхностях однослойной полосы получим известные уравнения sin2X ± 2X = 0, описывающих соответственно плоский погранслой для задачи растяжения - сжатия (знак +) и изгиба (знак -). Эти уравнения хорошо изучены в монографии [2].
Задача В чаще всего имеет место для ортотропного материала при д/Е(к)Е2) > 2О^ (сдвиговая жесткость 2О(2) меньше, чем средняя жесткость на растяжение-сжатие
ху
2
2
(2.16)
Решение задачи B записывается в виде
u(k)s _ -q(k) A[k)s sin ^p(k)Ck + qf A™s cos ^С, -- q2k) A3k)s sin ^p2k)Ck + q2k) Af) s cos ^ u2k) s = AÍk)s cos ^pík)Ck + A2k) s sin ^pf )Zk +
+ A3k) s cos ^p2k )Zk + 4k)s sin ^pfCk
v (k )R (k) v( k)R (k) (k) _ v 2 P 1 (k) _ v 2 P 2
qi _1 - v1k) p 1k) 2' q2 _1 - v 1k) p 2k) 2
Напряжения определяются соотношениями
of)s _ bf)Alk)ssin^p1k)Ck - b1k)Af)scos^p1k)Ck +
+b2k) A(k) s sin ^p2k)ck - b2k) Af) s cos ^p2k )Zk) e^ of)s _ -bfA1k)ssin^pf)Zk - bf)A2k)scos^p1k)Ck + + bf A3k) s sin ^p2k)Ck - bf A(k) s cos ^p2k )Zk) e-Xt
txys _ -G^Mb?)A1k)scos^p1k)Ck + bfA2k)ssin^pf)Zk + (2.17)
+ b6k) A3k) s cos ^p2k
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.