МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2009
УДК 539.3
© 2009 г. Ю.И. БУТЕНКО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРАНСЛОЕВ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПОЛОС. Ч. 2
В первой части работы рассмотрена точная постановка плоской задачи теории упругости в перемещениях для полос из различных материалов (задача А - изотропный материал, задача В - ортотропный материал при
2G12 < ТЁЁ и задача C - ортотропный материал при 2G12 > JE1E2). Далее в статье сформулирована и решена задача погранслоя (убывающего от края решения) для трехслойной полосы регулярного строения из изотропных слоев (задача АА). В данной работе, опираясь на решение плоской задачи, рассматривается задача для трехслойных полос регулярного строения с изотропными несущими слоями и ортотропным заполнителем (задача АВ).
1. Симметричная задача. Основываясь на результатах работы [1], в которой приводится точное решение плоской задачи теории упругости для полосы в безразмерных координатах tk, и безразмерных перемещениях и®, u(k) рассмотрим задачу погранслоя для трехслойной полосы на заранее неизвестном участке распространения затухающего решения. Каждый k-ый слой имеет безразмерную толщину 2ak(a1 + a2 + a3 = 1) и описывается индивидуальной ортогональной системой координат tk, Zk, в которой ось tk связана со средней линией слоя, а ось Zk нормальна к ней. Ось ортотропии материала среднего слоя совпадает с осями координат.
Симметричная задача характеризуется тем, что для ортотропного слоя функции и и т^,
являются кососимметричными (и(2) = т^,*1 = 0 при Z2 = 0) и согласно [1] A^2"1 s = A^2*15 = 0. В этом случае условия стыковки первого и второго слоев при Z1 = +a1, Z2 = -a2
(1)s (2)s (1)s (2)s (1)s (2)s (1)s (2)s
и = и , и = и , a* = a* , т у = т^ записываются в виде
(q™ A11)s - q21) A21)s /Л) cos Лр(1 )a1 + (q(11) A<1)s + q™ /Л) sin ^(1)a1 +
(1) x(1)s i o(1) (1) л( 1)s • л n( 1) (2) л (2 )s Л n(2)
+ q\ a1 A\' cosлр a1 + q\ a1 A2 sinлр ;a1 = q\ A\ cosлр\ a2 +
+ q22) A42)s cos Xp22)a2
A11)s sin лр( 1)a1 - A31) s cos Xp(1)a1 - a21) sa1 cos Xp(1)a1 + A^1) s a1 sin Xp(1)a1 =
= - A22) s sin Xp|2)a2 - A^2 )s sin Xp22)a2
В22)Л[( b? A(11) s - b? A21)s/Л) cos лр( 1)a1 + (b^ A^1) s + b^ A^1 )s/X) sin Xp(1)a1 + (1.1)
+ b31) A21)s a1 sin Лр( 1)a1 + bf} A^V cos Лр( 1)a1 ] =
= - В222)Л( b32) A22) s cos Xp12)a2 + bf Af)s cos Xp22)a2)
C$X[( - b's' AY's + Ь\ч A\4 s/X) sin Xp1* ^ a! + (b^ A3
+ b6!) A41)s / X)cos Xp( 1)a1 + b5!) a2!) sa1 cos ^p(1)a1 - b^ a41)s a1 sin Xp( 1)a1 ] =
,(1Ь(1) s , г,(1Ь(1) s
(1),
n(1 b(1)5
= G$X( b\2> A\2>s sin Хр^ a2 + b62> A{42> s sin Xp22-' a2)
Параметры изотропного и ортотропного материалов q¡ , Bf (i = 1, 2), b(k) (i = 1, . приведены в статье [1]. Для задачи А слоя k имеем
¿ 2М2) s.W
i(2)
(2Ь(2)s •
í(2 )r
., 6)
(k) q1
,(k)
v2k )p(k) 1 - v 1k) p (k) 2'
(k) q1
v2k)( 1 + v1k)p( k) 2) ( 1 - v 1k) p (k)2 ) 2
r( k) G12
,(k)
(G1k) + B(1k2))
,(k)
r(k) G12
,(k)
(G(1k) + B2k))
B
(k)' 11
B(k) _ B11 _
7(k)
1- v(k)v(k) 1 - v12 v21
B
B(k) _ B12 _
(k)
B
(k)'
22
B
(k)
22
E( k)v( k) E1 v1 2
1 - v ( k ) v ( k )' 1 - v12 v21
B21 _
E(k )v(k) E2 v2 1
1 - v (k) v (k)' 1 - v12 v21
B22 _
7(k)
2
1- v(k)v(k) 1 - v12 v21
b(k) _ p(k)
,(k)
1- v1k)p( k)2
-v
v(k)( 1 + v(k)R(k)2 ) b(k) _ v 2 ( 1 + v1 p ) - v(k)
(1.2)
(1- v1k)p( k) 2 )2
12
b3k) _ p
(k)
b5k) _1 +
,(k)
21
v
(k)
2
(k )n( k)2
-1
1- v^ p
v2k )p( k)2 1-v1k)p(k)2'
b(k) _ v b4 _ v21
(k )v2k)(1+ v1k )p( k)2)
(1- vf )p(k )2 )2
-1
b6k) _
2 v!k)p( k) ( 1 - v 1k) p (k) 2) 2
а для задачи В, параметры, отличные от предыдущего, записываются в виде
(k) q1
v2k W)
1 - v 1k) p 1k) 2'
b(k) _ q(k) v(k)R(k) b1 _ q1 - v12 p1 ,
(k) q2
v2k )e2k) i v(k)p(k)2 1 - v1 p2
b(k) _ q(k) v(k)R(k) b2 _ q2 - v12 p2
(1.3)
b3k) _ вГ - vHq\
(k) ík)( k)
dk)
b
(k)
1+qfpf, b
d k)
_ P2k) - v2k1 q2k) 1+ q2k)P2k)
Система уравнений (1.1) рассматривается как линейная алгебраическая система уравнений относительно Л^5 (п = 1, ..., 4) и легко решается:
А(11)5 = Л22) 5 [ - ю1 + с1 ю2 + к1 ю3- к3ю4)] +
.(2) 5
+ A4 [ - ю5 + с2ю6 + Xa^ k2ra7- k4ra8)]
A22)s _ XA22)s(k 1 ю2 + k3ra1) + Xa42)s(k2ra6 + k4ra5)
A
(1)s
a22) s [ю4 + c1 ю3 - Xa1( k1 o2 + k3ra1)] +
(1.4)
+ A42) s [ю8 + c2 ю7 - Xa1( k2ra6 + k4 ю5)]
A
(1)s
X A22)s( - k1 ю3 + k 3 ю4) + X A42; s( - k2 ю7 + k4 ю8)
(2)s,
3
11
5
3
(q(2) В(2) b{2)\
q 1 В 22 b 3
q(l) В(!) b(!)
Vq1 B22 b3 У
чьЗ1 ) - q! )
rJ2) n(2),(2)\
k2 =
q2
V q(11)
B22 b4
" Вi)Ji )
B22 b3
'bjP ^
чЬЗ1 ) - q?1
(1.5)
k3 =
G) J51 ) -
( i ), k4 =
,(1)'
G(112) b^1 ) - .
Л Jl
( 1 )
(1.6)
C1 = q21) k1/q11) + q(12)/q11), d = q21) k2/q^ + q22)/q(11) ю1 = sin Xp(1)a1sin Xp112)a2, ю2 = cos лр(1 )a1cos Xp112)a2 ю3 = sin Xp(1)a1cos Xp112)a2, ю4 = cos Лр( 1)a1sin Xp112)a2 ю5 = sin Xp(1)a1sin Xp22)a2, ю6 = cos лр(1 )a1cos Xp22)a2 ю7 = sin Xp(1)a1cos Xp22)a2, ю8 = cos Лр( 1)a1sin Xp22)a2
Коэффициенты соотношений (1.4) выражаются через известные характеристики материалов слоев и легко вычисляются (1.5). Функции (1.6) содержат корни решения задачи для изотропного материала Р(1) и ортотропного материала р112), р22) [1] и
пока неизвестный параметр Л, характеризующий скорость убывания затухающего решения.
Выполнение статических краевых условий на лицевых поверхностях первого слоя
(a*1) = С = 0 при Z = -a1) приводит к однородной алгебраической системе уравне-
.(1)
.(2) s .(2 )s
ний относительно A2 и A4 :
Л a22)s[ - с3^1 + с4у2 + 2Xa1( k1y3 - k3 у4)] +
+ Л a42)s[ - с5у5 + c6^6 + 2Xa1( k2y7- k4 у 8)] = 0
л a22)s [ C7y4 + c8^3 - 2xa1 (k1 ^2 + k 3 у1)] +
+ Л A42)s[ C9V8 + С10У7 - 2 Xa1( k 2 ^6- k4^5)] = 0
(1.7)
c3 = 1 + b41) k 3/b31), c4 = c1- b41)k1/b31), c5 = 1 + b41) k4/b\1)
C6 = C2- b41) k 2/b31),
c9 = 1 + b61) k4/b51),
C7 = 1 + b61)k3/b51), c8 = C1- b61) k 4/b51)
'10
C2- b61)k2/J51)
(1.8)
у 1 = sin2 Xp(1)a1sin Xp112)a2, у2 = cos2Xp( 1)a1cos Xp112)a2
у 3 = sin2 Xp(1)a1cos Лр^2 )a2, у4 = cos2Xp( 1)a1sin Xp112)a2
у 5 = sin2 Лр^^^т Лр!2^, у6 = ^2Лр( 1)a1cos Лр!2^
у7 = sin2 Лp(1)a1cos Лр22 )a2, у8 = ^2Лр( 1)a1sin Лp22)a2
(1.9)
k
Существование ненулевых решений однородной системы уравнений (1.7) приводит к условию
f 0 (Х)Х2 + f ^Х)Х + /2 (X) = 0, fo(X) = (- апа22 + а\2а21)
f 2(Х) = 2а2(а22а22 — а22а22 + а22а22 — а12а22) f 2 (Х) = а22 а22 — а22 а22
(1.10) (1.11)
а22 = — С3 ¥2 + c4 ¥ 2, а22 = k 2 ¥э — а22 = — С5 ¥ 5 + c6 ¥б
а 2 2 = k2¥7 — k4¥8, а2 2 = cl¥4 + c8¥з, a2l= k 2 ¥2 + k 3 ¥2
а22 = c9 ¥8 + c 2 о¥7, а22 = k2 ¥б — k4 ¥ 5
После простейших алгебраических операций получим
f0 (X) = 4 а2 (k2k3sin Xp22)a2cos Хр22)а2 — k 2 k4cos Xp(22)a2sin Xp22)a2)
f2 (X) = 2а2[(к4 — k3) sin Xp22)a2sin Хр22)а2 + + (k 2 q(2)/q[ 2 ) — k2q(22V2 1 }) cos Xp22)a2cos Хр22)а2 ]
f2 (X) = b/2sin4Xp(()a([( k3 — k4) sin Xp22)a2sin Хр22)а2 + + (k2q22)/q22) — k2q22)/q22)) cos Xp22)a2cos Хр22)а2 ] + + [ c4 c9 — b (k 2 + c2 k4) sin22 Хр(2)а2 ] cos Xp22)a2sin Xp22 )а2 — — [ c6c7 — b (k 2 + c2k3) sin22 Хр(2)а2 ] sin Xp22)a2cos Хр22)а2
b = b62) / b52) — b42)/b32)
(1.12)
B
cc
49
(2) b(2) 22 b3
22 b3
b62) ^ 2 + b( 2 )k4 b5
B
cc
67
(2) b(2)
22 b4 2) b(1 )
22 b3
b62) ^ 2 + k3
b5
Из соотношений (1.12) видно, что функции /0(Х), /2(Х) содержат геометрические и механические характеристики первого и второго слоев в полиномиальном виде и только параметры второго слоя входят в тригонометрические функции. Функция же /2(Х) содержит тригонометрические функции с параметрами первого и второго слоев.
Для выполнения краевых условий на торце трехслойной полосы используются
Л (2) Л (2)
постоянные второго слоя Л2 , Л4 , поэтому перемещения и напряжения первого слоя [1] должны быть выражены через постоянные второго слоя с учетом (1.4):
„(2)s
+ q(2)X„(a2 — Z2)(k2 Ф2И — k3^4n)] + A47[—(q22 + q22; k4 )ф 5 „ +
a22„)S[ —(q22) + q22) k 3 )Ф2п +(q\4 c2 — q22' k2 )Ф2п +
(2),
J2),
(2) sr
,(2) , J2)ь
+ ( q22) c2 — q22> k 2 )Ф2п + q\2 Xn(a2 — Z2)(^Ф?п — k4 Ф8п )]
,(2)b
.(2)
и21)S = A22n)S[- Ф4п - С1Фзn + ^(a1- Cl)(k 1 Ф2п + k3Ф?п)] +
+ A4f [- Ф8п - C2Ф7п + Лп(a1 - Cl)(k2Ф6n + ^Ф5п)]
aX1)s = -B^V^IA2f [- (b11) + b21)k3)ф 1n + (b(11)C1-b21)k1 )фщ + (1.13)
+ b(l?\(a? - Z?)(k 1 фзп - k3ф4п)] + a42)s[-(J??1 + b21)k4)ф5n + + (J11)C2 - b21)k2)Ф6П + bí?\(a1 - Cl )(k2Ф7n - k4Ф8п)] }
a(1)s = B e"V{ a(2)s[ (J1) + ,(1), )ф + (,(1)C J1), )ф + ay = -B22 Лпе {A2n [- (b3 + b4 k3)Ф 1n + (b3 C1 - b4 k1 )Ф2n +
+ b3?\(a1 - Cl)(k 1 фЗп - k3ф4п)] + A42n)S[-(b31) + b41)k4)Ф5n +
+ (b31)C2 - b41)k2)Ф6п + b3?\(a1 - Cl )(,2Ф7п - k4Ф8п)] }
С = ^V^ { A22n) s [(b51) + b61)k3 -ф*, + (b51) C1 - b^k? )фз n -
- b5?\(a1 - Cl)(,2Ф2n + ^Ф?п)] + A42n)S[(b51) + b61)k4)Ф8п + + (b51)C2 - b61)k2)Ф7п - b5?X(a1 - Cl )(,2Ф6п + k4Ф5п)] }
Ф1п = sinЛпP(1)(a1- Q sinЛпФ2n = cosЛпP(1)(a1- Cl)cosЛпp112)a2 (1.14)
Фзп = sinЛпP(1)(a1- Q cosФ4п = cosЛпP(1)(a1- Cl) sinЛпP12)a2 Ф5п = sinЛпP(1)(al- Cl) sinЛпЭ22)a2, Ф6n = cosЛпP(1)(al- Cl)cosЛпЭ22)a2 Ф7п = sinЛпP(1)(a1- Cl) cosЛnP22)a2, Ф8п = cosЛпP(1)(a1- Cl) sinЛпЭ22)a2
Считаем, что там, где какая-либо функция фП (i = 1, ..., 8) умножается на произвольную постоянную А2п или А4п, входящую в решение задачи погранслоя, производится суммирование по всем значениям повторяющегося индекса п и соответствующего всем корням Лп с Rekn > 0.
2. Кососимметричная задача. Кососимметричная задача определяется тем, что
для среднего слоя функции u и ay кососимметричны по Z2 (u(2) = a*2*1 = 0 при Z2 = 0) и
тем самым [1] а22 )s = A42)s = 0.
Условия стыковки первого и второго слоев записываются в виде :
(q(11) A??1 s - q21) А21)sA) cos Л^Ч + (q(11) аЗ?1 s + q21) A?1 s / Л) sin Лр( 1)a1 +
+ q(1)a1 a4!) s cos Лр( 1)a1 + q(11)a1 a2 1)s sin Лв0^? = (2.1)
(2) .(2)s . л n(2) (2) Л (2)s . - 0(2)
= q? A2' sin Лр? ;a2 + q2 'A3 sin ЛР2 a2
A?1)s sin Лр( 1)a1 - A3?1 s cos Лв1-1^? - a2?) sa1 cos Лв1-1^? + A^s a1 sin Лв1-1^? =
.(2)s T n(2) .(2)s T n(2)
= A4/ cosЛР?? a2 + A3 cosЛР2 a2
b22)X[( b32) A((2) s — b42) a22)S/X) cos Xp(2)a2 + (b^ a3() S + b^ a4() s/X) sin Xp(()a2 + + b32) A22)s a2 sin Xp( 2)a2 + b32) A42)sa2 cos Xp( 2)a2 ] = = b222)X( b32) A(22)s sin Xp22)a2 + b42) A32) s sin
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.