ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2011, том 51, № 12, с. 2279-2287
УДК 519.634
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ1
© 2011 г. А. Ю. Чеботарёв
(690041 Владивосток, ул. Радио, 7, ИПМ ДВО РАН) e-mail: cheb@iam.dvo.ru Поступила в редакцию 01.03.2011 г.
Рассматривается обратная задача для эволюционного уравнения с квадратичной нелинейностью в гильбертовом пространстве, состоящая в отыскании правой части, являющейся в каждый момент времени линейной комбинацией данных функционалов, по заданным значениям этих функционалов на решении. Установлены достаточные условия существования решения в целом по времени. В качестве приложений рассмотрены обратные задачи для трехмерных уравнений тепловой конвекции вязкой несжимаемой жидкости. Доказана однозначная нелокальная по времени разрешимость задачи об определении плотности источников тепла, при условии дополнительной регулярности исходных данных и остаточно большой размерности пространства наблюдений. Библ. 11.
Ключевые слова: система Навье—Стокса, уравнения тепловой конвекции, обратные задачи, нелокальные теоремы существования и единственности решения.
1. АБСТРАКТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТИПА НАВЬЕ-СТОКСА
Рассмотрим вещественные гильбертовы сепарабельные пространства V и Н, такие что V с с Нс V', при этом вложение Vс Нявляется плотным, непрерывным и компактным. Здесь V' — пространство, сопряженное с V. Обозначим, соответственно, через ||-||, |• | и ||-||* нормы в V, Ни V',
а через (/, V) — значение функционала / е V' на элементе V е V, совпадающее со скалярным произведением в Н, если/ е Н; ((•, •)) — скалярное произведение в пространстве V.
Пусть А0 : V—* V', А1 : Н—- Н — линейные непрерывные операторы такие, что
(Ао у, у)>у||у|| 2, V > 0, (АоУ, г) = (Лог, у), (1)
(А0у, г)<у||у|| • И, (А!у, г)<Иу1 • 1г1, У> 0, |д> 0. (2)
Учитывая свойства оператора А0, скалярное произведение в пространстве V выберем в виде ((у, г)) = (АоУ, г).
Пусть В(и, V) : Vх V—»- V' билинейный непрерывный оператор такой, что
(В(и, V), V) = 0 V«, V е V (3)
и, соответственно, В[у] = В(у, у). Будем предполагать справедливость следующих неравенств:
(В (У!, у2), Уз )< С! || уЦ • ||у2|| • ||уз||; (4)
(В(У!, у2), уз)< С2И1/4 • 1И3/4 • ||у^ • уз1/4 • N13/4. (5)
Здесь постоянные С1 > 0, С2 > 0 не зависят от ук е V. Указанные неравенства соответствуют оценкам конвективных членов в трехмерных моделях динамики несжимаемой жидкости.
При рассмотрении эволюционных задач на временном интервале (0, Т) через Ь"(0, Т; X) обозначаем пространство Ь" функций, определенных на (0, Т) со значениями в банаховом пространстве X, 5 > 1.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (проект 01200962399) и ДВО РАН (проект 09-1-0МН-08).
2279
Следующая задача Коши для уравнения с операторными коэффициентами моделирует начально-краевые задачи для уравнений Навье—Стокса, магнитной гидродинамики и тепловой конвекции вязкой несжимаемой жидкости (см. [1]—[3])
у + Ау + В[у] = /(X) + , X 6(0, Т), у(0) = Уо, (6)
где У = йу/йг, А = А0 + А1;/, к : (0, Т) V', у0 6 Н.
Для постановки обратной задачи рассмотрим линейно независимую систему функционалов {Оъ О2, • ••, От) из V'. Обозначим через Ут их линейную оболочку и предположим, что функция к : (0, Т) —»- Тт неизвестна, но в каждый момент времени г 6 (0, Т) заданы значения указанных функционалов на решении у(г). Таким образом, приходим к следующей постановке.
Задача 1. Найти функции ау- 6 Ь1(0, Т),у = 1, 2, • .., т, и функцию у 6 Ь2(0, Т; V), удовлетворяющие условиям у' 6 Ь1(0, Т; V'),
т
у + Ау + В[у] = /(X) + £а*(0<2к, X 6(0, Т), у(0) = Уо. (7)
1
ШР у(X)) = X), X 6 (0, Т), ] = 1, 2, ..., т. (8)
Здесь у0 6 Ни функции/6 Ь2(0, Т; V'), qj 6 Х4(0, Т), д) 6 Х2(0, Т) заданы.
Обратные задачи для уравнений динамики жидкости связаны с определением не только гидродинамических полей, но также и внешних условий, определяющих течение, и для их постановки необходима дополнительная информация о решении уравнений. Задача 1 является абстрактным вариантом постановок обратных задач для уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости, где в качестве дополнительной информации задается конечное число моментов решения, т.е. значений определенных функционалов на решении.
Различные обратные задачи для уравнений Навье—Стокса рассмотрены в [4]—[8]. В указанных работах изучены постановки, где требуется восстановить плотность внешних сил или некоторые коэффициенты уравнений по интегральному или функциональному переопределению. При этом результаты о разрешимости и единственности решений обратных задач для нелинейных уравнений Навье—Стокса получены при существенных ограничениях, таких как локальность по времени, малость числа Рейнольдса, или для случая двумерных течений. В последние годы активно изучаются вопросы непрерывной зависимости решений обратных задач для уравнений Навье—Стокса от исходных данных (см. [9]—[11]).
Результат о нелокальной разрешимости задачи 1, несмотря на то что он устанавливается достаточно просто, позволяет доказывать существование решений различных обратных задач, включая постановки с неизвестными граничными данными. В качестве примера в работе рассмотрена задача для уравнений Буссинеска с неизвестными значениями тепловых потоков через границу. Основной результат работы состоит в доказательстве нелокальной однозначной разрешимости обратной задачи для трехмерных уравнений тепловой конвекции с неизвестной плотностью источников тепла в случае, если размерность т пространства наблюдений достаточно велика и начальные данные близки к соответствующим стационарным полям.
2. РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
— И
Определим пространство W= {г 6 V: (О, г) = 0,у = 1, 2, „., т). Через Ж обозначим замыкание пространства Wпо норме пространства Н. Пусть набор функций {а1, •.., ат, у) является решением задачи 1. Функцию у будем искать в виде у = г + w, где ы 6 Ь2(0, Т; W), а функция г удовлетворяет условиям
(г(X)) = д(X), X 6(0, Т), ] = 1, 2, ..., т.
Выберем в качестве г сумму г(г) = ^дДX) , где {с V — система, биортогональная с системой функционалов {]т , (О, му) = Ъу. Функция является решением следующей задачи.
Задача 2. Найти функцию w е Ь2(0, Т; V), удовлетворяющую условиям w' е Ь1(0, Т; V'),
(+ Л^ + B(г + ^) + B(г) - g, г) = 0 V е Ж, ^(0) = , (9)
— H
где g = / — г' — Аг — В[г], = у0 — г(0) е Ж .
Если w — решение задачи 2, то, поскольку г = V — Е™(О-, V)г- е V V V е V, для суммы у = ^ + + г е Ь2(0, Т; V) получаем равенство
у' + Лу + В[у] -/, V - £(О-, V)г, = 0 или у' + Лу + В[у] -/ = £а,(г)Оь
1 ! ' !
где ау- = (у' + Ау + В[у] — /, г) е Ь1(0, Т). При этом справедливо включение у' е Ь1(0, Т; V') и выполняются условия (8). Поэтому функции {а1, ..., ат, у} представляют решение задачи 1.
Для доказательства разрешимости задачи 2 определим галеркинские приближения м>к и выведем необходимые априорные оценки. Пусть {^1, £,2, ...} является ортонормированным в Н базисом пространства V, а через V обозначим линейную оболочку элементов {^1, £,2, ..., £,к}. Для каждого к определим приближенное решение задачи 2 следующим образом:
(г)е Жк, г е (0, Т),
(^ + Лwк + В(г + wь щ) + В^ь г) -= 0 ^ е Ж,, (10)
щ( 0) = Ек ( ^
Отметим сразу, что из условий/ е Ь2(0, Т; V'), qj е Ь4(0, Т), д' е Ь2(0, Т) следует включение g е е Ь2(0, Т; V'). Полагая = м>кв (10) и учитывая свойство ортогональности (3), получаем
^^ II II2 ( ) ( л ) ( В( ) )
- -4т" + К = (g' ™к) - (Л! ^к, *к) - (В (^к,г), ^к).
2 аг
Оценим правую часть последнего равенства, используя свойства (2), (4), (5) и неравенство Юнга:
-(Л1 ^ь ™к)< иЫ2; (g,™к)< Ы2 + 4||2, -(В( г), Щ) < С21Г1 • Н 1/2|| wк\\3/2 < 2 + 27 с24|| П4 Ы2.
(11)
Следовательно, имеем
^ + И|2 < 2Ш\* + а(г)И2, где а(г) = ^ИКОИ4 + ц. аг 2
На основании неравенства Гронуолла выводим следующие оценки:
К(г)|2 < К!, |К(г)||2аг < Кг, (12)
где
К! = К3ехрI а , К2 = К3 + К!|а(«)ds, К3 = |^0|2 + 2)||
0
0
0
0
Получим теперь оценку, гарантирующую компактность последовательности wk в Х2(0, Т; И). В системе (10) положим = wk(t) — wk(s) и проинтегрируем по t на промежутке (5, 5 + к) и по 5 на (0, Т — к), считая к > 0 достаточно малым. Тогда имеем
Т-к Т-кз+к
1 | К(з + к) - (з)|2ds = | | ск(г, з) йгйи,
^ ■ K 2
0 0 i
где
ck(t, i) = (Awk(t) + B(Кt) + Wk(t), wk(t)) + B(Wk(t), r(t)) - g(t), wk(i) - wk(t)). С помощью неравенств (4), (11) и (12) значение \ck(t, s)| оценивается сверху величиной
C( 1 + ||Wk(i)||2 + |K(t)||2 +1g(Oil* +1\r(t)||4 + ||Wk(t)|| • ||r(t)\\ • IK(i)|| + IK(t)||2 • ||Wk(i)||).
Здесь и далее через C обозначаем положительную постоянную, не зависящую от k. Для оценки интегралов от слагаемых, зависящих от t, достаточно поменять порядок интегрирования, при этом интегралы от первых пяти слагаемых оцениваются сверху через Ch, а от последних двух через Ch1/2. В результате получаем оценку равностепенной непрерывности:
T - h
I К<. + h) - *2* s Ch"J. (13)
0
Полученных оценок (12), (13) достаточно для предельного перехода при k —да в системе (10) и доказательства того, что предельная функция w является решением задачи 2, и поэтому функции y = w + r, a.j = (У + Ay + B[y] — f, Zj), j = 1, 2, ..., m, будут решением задачи 1.
Теорема 1. Пустьf е L2(0, T; V'), qj e L4(0, T), qj e L2(0, T), j = 1, 2, ..., m, y0 - r(0) e WH. Тогда существует решение задачи 1.
3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ
3
В ограниченной области Q с К с гладкой границей Г рассмотрим уравнения Буссинеска
дu/д1- vAu + (u • V)u + p0G = -Vp, divu = 0, (14)
50/51 - kA0 + uV0 = x, x efi, t e( 0, T), (15)
где u = {u(} i, p и 0 — скорость, давление и температура жидкости, v = const > 0 — коэффициент кинематической вязкости, к = const > 0 — коэффициент температуропроводности, р — коэффициент теплового расширения, G — вектор ускорения свободного падения, x — плотность тепловых источников.
Сформулируем обратные задачи для модели (14), (15), которые сводятся к абстрактной задаче 1.
3.1. Граничная обратная задача
Предположим, что
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.