ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СННХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, < 11, с. 107-110
УДК 537.533.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЗРАЧНОСТИ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА МЕТОДОМ ВАРИАЦИЙ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
© 2004 г. А. Ю. Антонов, М. И. Вараюнь, Н. В. Егоров
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 20.03.2003 г.
Предложен метод определения прозрачности потенциального барьера металлического катода на основе анализа экспериментальных данных. Исследовались энергетические спектры электронов для различных напряженностей полей. Показано, что если варьирование поля составляет около 10%, прозрачность барьера может быть определена с точностью до постоянного множителя. Погрешность определения не превышает 10% на большей части интервала энергий.
ВВЕДЕНИЕ
Анализ большинства существующих работ по определению коэффициента прохождения электронов через потенциальный барьер (прозрачности барьера) показывает, что этот аспект эмиссионной электроники остается сугубо теоретическим, т.е. для решения такой задачи необходимо знать потенциал в приповерхностной области и решать уравнение Шредингера. Уточнение решения такой задачи приводит лишь к незначительным поправкам основного уравнения полевой эмиссии - уравнения Фаулера-Нордгейма. Отсутствие экспериментальных методик определения прозрачности потенциального барьера делает наши представления о природе исследуемого явления недостаточно полными. Именно поэтому особую актуальность представляет разработка методов определения прозрачности по данным эксперимента, которые позволяют получить плотность пы(Е) внутреннего распределения электронов по энергиям Е, связанным с нормальными компонентами скоростей. Сравнение пы(Е) с теоретически полученными функциями поставки важно как с теоретической, так и с практической точек зрения.
На данный момент известен только один метод для экспериментального определения прозрачности - метод малых вариаций работы выхода [1-3]. Однако реализация данного метода достаточно сложна в эксперименте. Кроме того, изменяя работу выхода материала, в дальнейшем невозможно говорить о воспроизводимости результатов.
В данной работе предложена математическая методика определения прозрачности потенциального барьера по некоторому набору экспериментальных данных (энергетическому спектру выходящих электронов) при варьировании внешнего поля. Преимущество метода вариаций внешнего поля в сравнении с методом вариаций работы выхода заключается в том, что он основан на легко реализуемом в эксперименте изменении разности потенциалов между катодом и анодом.
ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ
В качестве физической модели рассматривается полубесконечный металлический образец в вакууме с приложенным к поверхности твердого тела электрическим полем и детектор энергетического распределения эмиттируемых частиц.
Внешнее распределение электронов по энергиям next(E), определяемое из данных эксперимента, зависит, кроме того, от напряженности электрического поля F (чем больше F, тем больше электронов вышло за пределы эмиттера). Изменяя напряженность поля на величину AF, получим отличное от next(E) распределение n'ext (E):
next(E) = nint(E)D(E, F), (1)
n'extiE) = nlnt(E)D(E, F). (2)
Здесь D(E, F) - прозрачность потенциального барьера, F = F + AF.
Распределения (1)-(2) являются исходными данными задачи. Схематично влияние варьирования F на потенциальный барьер отражено на рис. 1.
Предположим, что плотность внутреннего распределения электронов изменилась незначительно:
nlnt (E ) = nint (E). (3)
На основании (1), (2) и (3) легко вывести отношение n'ext(E) D(E, F)
next(E) D(E, F)'
(4)
левая часть которого может быть определена из эксперимента.
Функция прозрачности квантового барьера 0(Е, F), если не брать в рассмотрение резонансные явления, монотонно зависит от энергии Е и внешнего электрического поля F (т.е. вероятность выхода электрона с поверхности эмиттера повышается как с увеличением напряженности поля, так и с увеличением энергии электрона).
U(x), эВ 6
4
2
0
-2
-4
-6
Ф = 4.5 эВ
-40 0 40 80 120 160
Рис. 1. Приращение внешнего электрического поля.
200
x, Ä
D (E, F) = exp
2 1/2 - h (2 m)
x2
J( ^ о
F) - E)1/2dx
, (6)
D (E, F + A F) D(E + A E, F)
exp
4(2 m)
1/2
3 h
- (Ф - E)
3/2
1
(Ф - E - A E)
\e\F
(7)
|e| (F + A F))_' Тогда решение уравнения (5) представляется в виде:
AE = AE(E, AF) = (Ф - E)
1-
2/3
(8)
v F + A FJ
Предположение (5) позволяет переписать формулу (4) в виде:
next(E) ^ D(E, F) ^ D(E + AE, F) n ext ( E) D (E, F) D (E, F) ' ()
Из введенных предположений (3) и (5) следует, что на основе регистрируемой левой части (9) можно определить прозрачность барьера с точностью до постоянного множителя, т.е. определить цепочку отношений
D (En, F) D (E2, F)
Б(Еп-1; ЕГ"'Б(Е„ Е)'
где Е1, Е2, Еп - значения энергии электрона заданных точках, при этом
(10)
Это обстоятельство позволяет рассматривать варьирование напряженности электрического поля на величину АЕ как изменение энергии электрона на величину АЕ:
Б (Е, Е + АЕ) = Б (Е + АЕ, Е). (5)
Использование формулы (5) и получение зависимости АЕ = АЕ(АЕ) обусловлено тем, что эксперимент позволяет с известной степенью точности получить плотность распределения вышедших электронов по энергиям. Другими словами, правая часть (5) более приемлема для дальнейших расчетов. Энергетические спектры электронов для двух близких значений напряженности внешнего поля позволяют на основании закона (5) получить информацию о прозрачности потенциального барьера.
Прозрачность Б(Е, Е) в рамках квазиклассического приближения [4] может быть представлена в виде:
En <Ф ;
Ei+1 = Ei + A Ei;
A Ei = ( Ф - Et)
1-
F Л2/3 F + A FJ
(11)
При определенных допущениях (если, например, значение Еп достаточно велико) можно положить
Б(Еп, Е) - 1, или Б (Еп, Е) = 1, где Б (Е, Е) - прозрачность, восстановленная по данным эксперимента.
Восстановление функции Б (Е, Е) позволяет определить внутреннее распределение частиц по энергиям с помощью формулы:
nint (E, F) =
n ext ( E, F )
(12)
где т - масса частицы, й = к/2п, к - постоянная Планка, и - потенциальная функция, х1, х2 - классические точки поворота, удовлетворяющие уравнению и(х, Е) - Е = 0.
Когда в выражении (6) функция и линейна по х (т.е. и(х, Е) = Ф - \е\Ех, где е - заряд электрона, Ф - работа выхода), потенциальный барьер имеет треугольную форму. В этом случае (5) может быть записано в виде отношения:
Б (Е, Е)
Метод вариаций внешнего поля позволяет восстановить неизвестные характеристики эмиссии: прозрачность квантового барьера и энергетическое распределение частиц внутри эмиттера. Для тестирования метода в целом была проведена дополнительная проверка данного предположения и реализован численный эксперимент.
ПРОВЕРКА ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ
Предположение о независимости внутреннего распределения частиц от изменения величины внешнего поля (3) вполне обосновано с физической точки зрения. Поскольку приповерхностные заряды металла экранируют внешнее электрическое поле, глубина проникновения поля в проводник составляет величину порядка одного-двух атомарных слоев. Следовательно, поле не должно влиять на внутреннее распределение электронов по энергиям.
Для обоснованности формулы (5) было построено частное двух функций прозрачности Б(Е, Е + + АЕ)/Б(Е + АЕ, Е) , где изменение энергии от величины напряженности внешнего поля подчиняется закону (8). Удовлетворительной считалась область значений Е и АЕ, где это частное близко к единице.
x
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЗРАЧНОСТИ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА
109
За основу расчета функции прозрачности была взята общепринятая модель потенциального барьера с учетом сил зеркального изображения:
и(х, F) = Ф - \e\Fx - Р/х,
(13)
где Р = е2/16тсг0, 80 - диэлектрическая постоянная.
При моделировании использовались следующие значения параметров: работа выхода Ф = 4.5 эВ, уровень электрохимического потенциала системы ц = 11.7 эВ, напряженность электрического поля F = 109 В/м. Прозрачность барьера рассчитывалась из решения уравнения Шредингера с помощью метода Рунге-Кутты пятого порядка сходимости.
Рис. 2 наглядно иллюстрирует, что для приращений поля, не превышающих 10%, предположение (5) вполне оправдано и оказывается не совсем корректным только для электронов с малой энергией. Следовательно, оно может служить отправной точкой в экспериментальных расчетах коэффициента прохождения или в определении распределения электронов по энергиям внутри эмиттера.
Допустимость использования линейной по х функции и для вывода формулы (8) проверена путем сравнения зависимостей АЕ (энергетических спектров) от АF, полученных для линейного потенциала и потенциала вида (13).
Учет сил зеркального изображения (т.е. слагаемого Р/х в функции и(х)) приводит (5) к сложному интегральному уравнению и соответственно к усложнению методики. По этой причине для эллиптической функции Нордгейма У(у), входящей в прозрачность
В (Е, F) = ехр
4 (2 т) 1/2 Ф32 3 й eF
V* у)
(14)
Б(Е 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
Е + АЕ)/В(Е + АЕ, Е)
; 2% ; , 6%
.10%
-Е + ц = 1 эВ -Е + ц = 5 эВ -Е + ц = 10 эВ -Е + ц = 15 эВ
0
8 10 АЕ, 107 В/м
Рис. 2. Зависимость отношения 0(Е, Е + АЕ)/Л(Е + АЕ, Е) от АF для барьера с учетом сил изображения.
нов по энергиям, потенциального барьера определенной формы (13) и регистрируемого внешнего распределения электронов.
При моделировании была использована функция поставки электронов внутри металла в виде [7]:
пы (Е) = А 1п (1 + ехр (- Е / к в Т)),
(17)
(здесь у = eF1/2/Ф), использовались ее наилучшие аппроксимации [5, 6]:
V1 (у) = 1- уа, (15)
V2(у) = К - у2, (16)
где а = 1.655, к = 0.950. Решение уравнения (5), в котором прозрачность подчиняется формуле (14), было произведено с использованием функций (15)-(16), а также численно без аппроксимации эллиптического интеграла. Сравнение спектров энергий, полученных по закону (8) и из уравнения (5) с условием (14), показало совпадение значений Е{ на всем исследуемом интервале энергий (и для диапазона полей F = 108-1010 В/м). На основании этого можно сдел
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.